anthropic/claude-opus-4.1
Exercise 7: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme entweder, dass es in liegt, oder, dass es -hart ist. Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit. Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen. Achtung: Auch um zu zeigen, dass das Problem in liegt, ist eine Reduktion anzugeben! Hinweis: Um zu zeigen, dass ein Problem in liegt, geben Sie eine Reduktion für ein an, reduzieren Sie also auf ein Problem , von dem wir wissen, dass es in liegt, z.B. oder . Um zu zeigen, dass ein Problem -hart ist, geben Sie eine Reduktion an, wobei ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa , , oder .
Subproblem a (6.0/6.0P) 
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Let's analyze this problem. We have three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ with variables from $V$, and we want to know if there exists an assignment $\sigma: V \rightarrow \{0,1\}$ that satisfies exactly two of the three formulas.
First, let me think about whether this is in P or NP-hard.
This problem is asking for an assignment that satisfies exactly two formulas. Let me think...
Actually, this seems like it could be NP-hard. Let me try to reduce from SAT.
Given a CNF formula $F$, I want to construct three formulas $F_1, F_2, F_3$ such that there exists an assignment satisfying exactly two of them if and only if $F$ is satisfiable.
Let's try:
- $F_1 = F$
- $F_2 = \neg F$... wait, but $\neg F$ might not be in CNF.
Let me think differently.
Actually, let's use a different approach. Let me introduce a new variable.
Given a CNF formula $F$ with variables $V$, I'll construct:
- $F_1 = F$
- $F_2 = F \wedge z$ where $z$ is a new variable
- $F_3 = F \wedge \neg z$
Wait, this doesn't work because $F_2$ and $F_3$ can't both be satisfied simultaneously.
Let me reconsider.
Actually, let's try to reduce 3SAT to this problem.
Given a 3CNF formula $F$, I want to construct three formulas such that exactly two are satisfiable iff $F$ is satisfiable.
Let me try:
- $F_1 = F$
- $F_2 = (z)$ where $z$ is a new variable
- $F_3 = (\neg z)$
I see a clever reduction emerging. By introducing a new variable $z$, we create a mechanism to control which formulas can be satisfied. If $F$ is satisfiable, we can strategically choose $z$ to ensure exactly two formulas are satisfied. This approach provides a way to map the satisfiability of $F$ to our specific constraint of satisfying exactly two formulas.
The key insight is using the additional variable $z$ as a control mechanism to precisely manage formula satisfaction. This reduction demonstrates the problem's computational complexity and provides a pathway to prove its NP-hardness.
The construction allows us to translate the original satisfiability problem into a new problem with a specific satisfaction condition, revealing deep connections between different computational challenges.
When $F$ is satisfiable, we can strategically extend the original assignment by setting $z$ to either 1 or 0, ensuring exactly two formulas are satisfied. This provides a precise mapping between the original problem and the new formulation.
Conversely, if $F$ cannot be satisfied, no assignment will make $F_1$ true, fundamentally constraining the possible outcomes and limiting the number of satisfied clauses.
By examining the scenarios with $z = 1$ and $z = 0$, we validate the reduction's correctness, demonstrating a systematic approach to transforming the original problem.
Answer
Looking at this problem, I need to determine whether checking if exactly two out of three CNF formulas can be satisfied is in P or NP-hard.
Let me analyze: This problem asks for a satisfying assignment with a specific constraint - exactly two formulas must be satisfied. This suggests it might be NP-hard, as it involves a counting constraint on satisfiability.
I'll show it's NP-hard by reducing from SAT.
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine CNF-Formel $F$ mit Variablen aus $V$, konstruiere ich drei CNF-Formeln wie folgt:
- $F_1 = F$
- $F_2 = (z)$ wobei $z$ eine neue Variable ist (nicht in $V$)
- $F_3 = (\neg z)$
Diese Reduktion ist polynomiell, da wir nur zwei triviale einelementige Klauseln hinzufügen.
**Korrektheit:**
- Falls $F$ erfüllbar ist: Sei $\sigma$ eine erfüllende Belegung für $F$. Erweitere $\sigma$ um $z=1$. Dann erfüllt diese Belegung $F_1$ (da $F$ erfüllt ist) und $F_2$ (da $z=1$), aber nicht $F_3$ (da $\neg z = 0$). Also werden genau 2 Formeln erfüllt.
- Falls $F$ nicht erfüllbar ist: Für jede Belegung ist $F_1$ falsch. Da $F_2$ und $F_3$ sich gegenseitig ausschließen (eine fordert $z=1$, die andere $z=0$), kann höchstens eine von beiden erfüllt werden. Also wird insgesamt höchstens 1 Formel erfüllt, niemals genau 2.
Daher gilt: $F$ ist erfüllbar $\Leftrightarrow$ es existiert eine Belegung, die genau zwei der drei Formeln $F_1, F_2, F_3$ erfüllt.
</answer>
Gegeben: Drei KNF-Formeln mit Variablen aus . Problem : Gibt es eine Belegung , die genau zwei der drei Formeln erfüllt?
☐☒ ist -hart
Reduktion: Begründung: Gegeben eine CNF-Formel mit Variablen aus , konstruiere ich drei CNF-Formeln wie folgt: - - wobei eine neue Variable ist (nicht in ) - Diese Reduktion ist polynomiell, da wir nur zwei triviale einelementige Klauseln hinzufügen. Korrektheit: - Falls erfüllbar ist: Sei eine erfüllende Belegung für . Erweitere um . Dann erfüllt diese Belegung (da erfüllt ist) und (da ), aber nicht (da ). Also werden genau 2 Formeln erfüllt. - Falls nicht erfüllbar ist: Für jede Belegung ist falsch. Da und sich gegenseitig ausschließen (eine fordert , die andere ), kann höchstens eine von beiden erfüllt werden. Also wird insgesamt höchstens 1 Formel erfüllt, niemals genau 2. Daher gilt: ist erfüllbar es existiert eine Belegung, die genau zwei der drei Formeln erfüllt.
Subproblem b (8.0/8.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:Looking at this problem, I need to determine whether checking if exactly two out of three CNF formulas can be satisfied is in P or NP-hard.
Let me analyze: This problem asks for a satisfying assignment with a specific constraint - exactly two formulas must be satisfied. This suggests it might be NP-hard, as it involves a counting constraint on satisfiability.
I'll show it's NP-hard by reducing from SAT.
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine CNF-Formel $F$ mit Variablen aus $V$, konstruiere ich drei CNF-Formeln wie folgt:
- $F_1 = F$
- $F_2 = (z)$ wobei $z$ eine neue Variable ist (nicht in $V$)
- $F_3 = (\neg z)$
Diese Reduktion ist polynomiell, da wir nur zwei triviale einelementige Klauseln hinzufügen.
**Korrektheit:**
- Falls $F$ erfüllbar ist: Sei $\sigma$ eine erfüllende Belegung für $F$. Erweitere $\sigma$ um $z=1$. Dann erfüllt diese Belegung $F_1$ (da $F$ erfüllt ist) und $F_2$ (da $z=1$), aber nicht $F_3$ (da $\neg z = 0$). Also werden genau 2 Formeln erfüllt.
- Falls $F$ nicht erfüllbar ist: Für jede Belegung ist $F_1$ falsch. Da $F_2$ und $F_3$ sich gegenseitig ausschließen (eine fordert $z=1$, die andere $z=0$), kann höchstens eine von beiden erfüllt werden. Also wird insgesamt höchstens 1 Formel erfüllt, niemals genau 2.
Daher gilt: $F$ ist erfüllbar $\Leftrightarrow$ es existiert eine Belegung, die genau zwei der drei Formeln $F_1, F_2, F_3$ erfüllt.
</answer>
user:
## subproblem b (8.0 points)
**Gegeben:** Eine 2KNF-Formel $F$ mit Variablenmenge $V=\{x_1, ..., x_n\}$, eine Menge $\{1, ..., l\}$ von Farben (mit $l>0$) und eine Funktion $g: V \to \{1 ,...,l\}$, die jeder Variable eine Farbe zuordnet.
**Problem $A$:** Gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma$, sodass alle Variablen, die von $\sigma$ zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$ mit $g(x_i) \neq g(x_j)$ für alle $i<j \leq n$ mit $\sigma(x_i)=1= \sigma(x_j)$?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Let me think about this problem. We have a 2CNF formula $F$ with variables $V = \{x_1, ..., x_n\}$, a set of colors $\{1, ..., l\}$, and a function $g: V \to \{1, ..., l\}$ that assigns a color to each variable.
We want to know if there exists a satisfying assignment $\sigma$ such that all variables set to true have different colors.
First, let me recall that 2SAT (deciding if a 2CNF formula is satisfiable) is in P. This can be solved using the implication graph approach in polynomial time.
Now, the additional constraint here is that variables set to true must have different colors. This means at most one variable of each color can be set to true.
Let me think about whether this makes the problem harder or if it's still in P.
One approach: For each color class (set of variables with the same color), at most one variable can be set to true.
Let's think about this differently. If we have variables $x_i$ and $x_j$ with the same color, then we cannot have both $\sigma(x_i) = 1$ and $\sigma(x_j) = 1$. This is equivalent to adding the constraint $\neg x_i \vee \neg x_j$ to our formula.
So, we can transform our problem to: given the 2CNF formula $F$, add all constraints of the form $(\neg x_i \vee \neg x_j)$ for all pairs $(x_i, x_j)$ where $g(x_i) = g(x_j)$ and $i < j$. Let's call this extended formula $F'$.
The problem $A$ is equivalent to asking whether $F'$ is satisfiable. Since $F'$ is still a 2CNF formula (we only added 2-literal clauses), and 2SAT is in P, we can solve this in polynomial time!
I verify the key steps: adding clauses for same-colored variables prevents multiple true variables of the same color. The modified formula $F'$ remains 2CNF, with added clauses bounded by $O(n^2)$. This means we can solve the problem efficiently using standard 2SAT techniques.
The reduction shows the problem stays in polynomial time, maintaining the computational complexity of the original 2SAT problem.
Answer
Looking at this problem, I need to determine whether finding a satisfying assignment for a 2CNF formula with the additional constraint that true variables must have different colors is in P or NP-hard.
Let me analyze the structure: We have a 2CNF formula (which is in P to solve), but with an additional coloring constraint. The key insight is that the constraint "all true variables must have different colors" can be encoded as additional 2CNF clauses.
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktion: $A \le_p \mathsf{2SAT}$
Begründung:
Gegeben eine Instanz $(F, g)$ von Problem $A$, konstruiere ich eine 2KNF-Formel $F'$ wie folgt:
1. Beginne mit allen Klauseln aus $F$
2. Für jedes Paar von Variablen $x_i, x_j$ mit $i < j$ und $g(x_i) = g(x_j)$ (gleiche Farbe), füge die Klausel $(\neg x_i \vee \neg x_j)$ zu $F'$ hinzu
**Polynomialität:** Die Konstruktion ist polynomiell, da:
- Wir höchstens $\binom{n}{2} = O(n^2)$ neue Klauseln hinzufügen
- Jede neue Klausel hat genau 2 Literale
- $F'$ bleibt eine 2KNF-Formel
**Korrektheit:**
- Falls $(F, g)$ eine Lösung hat: Sei $\sigma$ eine erfüllende Belegung für $F$, bei der alle wahren Variablen unterschiedliche Farben haben. Dann erfüllt $\sigma$ auch $F'$, da:
- Alle ursprünglichen Klauseln aus $F$ sind erfüllt
- Für jede hinzugefügte Klausel $(\neg x_i \vee \neg x_j)$ mit $g(x_i) = g(x_j)$ gilt: höchstens eine der Variablen ist wahr (da sie gleiche Farbe haben), also ist die Klausel erfüllt
- Falls $F'$ erfüllbar ist: Jede erfüllende Belegung $\sigma$ für $F'$ erfüllt auch $F$ (da $F \subseteq F'$) und respektiert die Farbenbedingung, da die Klauseln $(\neg x_i \vee \neg x_j)$ verhindern, dass zwei Variablen gleicher Farbe beide wahr sind
Da 2SAT in P liegt, liegt auch Problem $A$ in P.
</answer>
Gegeben: Eine 2KNF-Formel mit Variablenmenge , eine Menge von Farben (mit ) und eine Funktion , die jeder Variable eine Farbe zuordnet. Problem : Gibt es eine erfüllende Belegung , sodass alle Variablen, die von zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung mit für alle mit ?
☒☐ ist -hart
Reduktion: Begründung: Gegeben eine Instanz von Problem , konstruiere ich eine 2KNF-Formel wie folgt: 1. Beginne mit allen Klauseln aus 2. Für jedes Paar von Variablen mit und (gleiche Farbe), füge die Klausel zu hinzu Polynomialität: Die Konstruktion ist polynomiell, da: - Wir höchstens neue Klauseln hinzufügen - Jede neue Klausel hat genau 2 Literale - bleibt eine 2KNF-Formel Korrektheit: - Falls eine Lösung hat: Sei eine erfüllende Belegung für , bei der alle wahren Variablen unterschiedliche Farben haben. Dann erfüllt auch , da: - Alle ursprünglichen Klauseln aus sind erfüllt - Für jede hinzugefügte Klausel mit gilt: höchstens eine der Variablen ist wahr (da sie gleiche Farbe haben), also ist die Klausel erfüllt - Falls erfüllbar ist: Jede erfüllende Belegung für erfüllt auch (da ) und respektiert die Farbenbedingung, da die Klauseln verhindern, dass zwei Variablen gleicher Farbe beide wahr sind Da 2SAT in P liegt, liegt auch Problem in P.
anthropic/claude-sonnet-4
Exercise 7: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme entweder, dass es in liegt, oder, dass es -hart ist. Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit. Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen. Achtung: Auch um zu zeigen, dass das Problem in liegt, ist eine Reduktion anzugeben! Hinweis: Um zu zeigen, dass ein Problem in liegt, geben Sie eine Reduktion für ein an, reduzieren Sie also auf ein Problem , von dem wir wissen, dass es in liegt, z.B. oder . Um zu zeigen, dass ein Problem -hart ist, geben Sie eine Reduktion an, wobei ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa , , oder .
Subproblem a (6.0/6.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Alright, this is asking whether problem A is in P or NP-hard, where:
Problem A: Given three KNF formulas F₁, F₂, F₃ with variables from V, is there an assignment σ:V→{0,1} that satisfies exactly two of the three formulas?
Let me think about this carefully.
First, let me understand what "satisfies exactly two" means - we need an assignment that makes exactly two of the three formulas true and one false.
Now, is this problem in P or NP-hard?
Let me think about reducing from a known NP-hard problem. One approach would be to reduce from SAT.
Actually, let me think about this more systematically. We have three formulas F₁, F₂, F₃, and we want exactly two to be satisfied.
This means we want one of the following cases:
- F₁ ∧ F₂ ∧ ¬F₃ is satisfiable
- F₁ ∧ ¬F₂ ∧ F₃ is satisfiable
- ¬F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ is satisfiable
So the problem is equivalent to asking whether
(F₁ ∧ F₂ ∧ ¬F₃) ∨ (F₁ ∧ ¬F₂ ∧ F₃) ∨ (¬F₁ ∧ F₂ ∧ F₃)
is satisfiable.
Hmm, but this doesn't immediately suggest it's in P, because SAT is NP-complete.
Let me try to think about whether I can reduce SAT to this problem.
Given a formula F, can I construct three formulas F₁, F₂, F₃ such that F is satisfiable if and only if exactly two of F₁, F₂, F₃ are satisfiable?
I've found a clever reduction strategy. By setting F₁ as the original formula, F₂ as always true, and F₃ as always false, I can map the SAT problem directly to this new problem. This means exactly two formulas are satisfied if and only if the original formula F is satisfied. The reduction proves the problem is NP-hard, as it can transform SAT into this specific three-formula satisfaction problem.
The key insight is how the fixed truth values of F₂ and F₃ create a precise mapping that preserves the satisfiability condition of the original formula.
By constructing F₁ as the original SAT formula, F₂ as the always-true empty CNF, and F₃ as the always-false CNF with an empty clause, I can create a reduction that captures the satisfiability challenge.
This approach allows me to transform the SAT problem into a carefully structured set of formulas that reveal the computational complexity.
The key insight is how the satisfiability of these three formulas reveals whether the original formula F can be satisfied, providing a pathway to prove the NP-hardness of the problem.
By constructing F₁ as the original formula, F₂ as a trivially true formula, and F₃ as a trivially false formula, we create a precise mapping that captures the satisfiability conditions. This strategic construction allows us to transform the SAT problem into an equivalent instance of the target problem A.
The reduction leverages the variables from the original formula, ensuring a direct connection between the input and the constructed formulas. I verify F₂ and F₃ can be expressed as CNF formulas over the same variable set V. The empty CNF formula and empty clause work without introducing new variables. This confirms the reduction's technical details, establishing the NP-hardness of problem A through a valid SAT reduction.
Answer
Looking at this problem, I need to determine whether problem A is in P or NP-hard.
Problem A asks: Given three KNF formulas F₁, F₂, F₃, is there an assignment that satisfies exactly two of them?
Let me try to show this is NP-hard by reducing from SAT.
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine CNF-Formel $F$ über Variablen $V$ als Eingabe für SAT, konstruiere ich drei Formeln:
- $F_1 = F$ (die ursprüngliche Formel)
- $F_2 = \top$ (die leere CNF-Formel ohne Klauseln, immer erfüllt)
- $F_3 = \bot$ (CNF-Formel $\{\emptyset\}$ mit der leeren Klausel, nie erfüllt)
**Korrektheit:**
$(\Rightarrow)$ Falls $F$ erfüllbar ist, sei $\sigma$ eine erfüllende Belegung für $F$. Dann gilt $\sigma(F_1) = \sigma(F) = 1$, $\sigma(F_2) = 1$, $\sigma(F_3) = 0$. Also sind genau zwei Formeln erfüllt.
$(\Leftarrow)$ Falls eine Belegung $\sigma$ genau zwei der drei Formeln erfüllt, dann muss (da $F_2$ immer wahr und $F_3$ immer falsch ist) gelten: $\sigma(F_1) = 1$, $\sigma(F_2) = 1$, $\sigma(F_3) = 0$. Somit erfüllt $\sigma$ die Formel $F_1 = F$.
Da SAT NP-vollständig ist, folgt dass $A$ NP-hart ist.
</answer>
Gegeben: Drei KNF-Formeln mit Variablen aus . Problem : Gibt es eine Belegung , die genau zwei der drei Formeln erfüllt?
☐☒ ist -hart
Reduktion: Begründung: Gegeben eine CNF-Formel über Variablen als Eingabe für SAT, konstruiere ich drei Formeln: - (die ursprüngliche Formel) - (die leere CNF-Formel ohne Klauseln, immer erfüllt) - (CNF-Formel mit der leeren Klausel, nie erfüllt) Korrektheit: Falls erfüllbar ist, sei eine erfüllende Belegung für . Dann gilt , , . Also sind genau zwei Formeln erfüllt. Falls eine Belegung genau zwei der drei Formeln erfüllt, dann muss (da immer wahr und immer falsch ist) gelten: , , . Somit erfüllt die Formel . Da SAT NP-vollständig ist, folgt dass NP-hart ist.
Subproblem b (8.0/8.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:Looking at this problem, I need to determine whether problem A is in P or NP-hard.
Problem A asks: Given three KNF formulas F₁, F₂, F₃, is there an assignment that satisfies exactly two of them?
Let me try to show this is NP-hard by reducing from SAT.
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine CNF-Formel $F$ über Variablen $V$ als Eingabe für SAT, konstruiere ich drei Formeln:
- $F_1 = F$ (die ursprüngliche Formel)
- $F_2 = \top$ (die leere CNF-Formel ohne Klauseln, immer erfüllt)
- $F_3 = \bot$ (CNF-Formel $\{\emptyset\}$ mit der leeren Klausel, nie erfüllt)
**Korrektheit:**
$(\Rightarrow)$ Falls $F$ erfüllbar ist, sei $\sigma$ eine erfüllende Belegung für $F$. Dann gilt $\sigma(F_1) = \sigma(F) = 1$, $\sigma(F_2) = 1$, $\sigma(F_3) = 0$. Also sind genau zwei Formeln erfüllt.
$(\Leftarrow)$ Falls eine Belegung $\sigma$ genau zwei der drei Formeln erfüllt, dann muss (da $F_2$ immer wahr und $F_3$ immer falsch ist) gelten: $\sigma(F_1) = 1$, $\sigma(F_2) = 1$, $\sigma(F_3) = 0$. Somit erfüllt $\sigma$ die Formel $F_1 = F$.
Da SAT NP-vollständig ist, folgt dass $A$ NP-hart ist.
</answer>
user:
## subproblem b (8.0 points)
**Gegeben:** Eine 2KNF-Formel $F$ mit Variablenmenge $V=\{x_1, ..., x_n\}$, eine Menge $\{1, ..., l\}$ von Farben (mit $l>0$) und eine Funktion $g: V \to \{1 ,...,l\}$, die jeder Variable eine Farbe zuordnet.
**Problem $A$:** Gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma$, sodass alle Variablen, die von $\sigma$ zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$ mit $g(x_i) \neq g(x_j)$ für alle $i<j \leq n$ mit $\sigma(x_i)=1= \sigma(x_j)$?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Let me analyze this problem carefully.
We have a 2CNF formula F with variables V = {x_1, ..., x_n}, a set of colors {1, ..., l}, and a function g: V → {1, ..., l} that assigns a color to each variable.
The problem asks: Is there a satisfying assignment σ such that all variables that are set to true have different colors?
Let me think about this step by step.
First, let's consider what this constraint means. If σ(x_i) = 1 and σ(x_j) = 1, then we need g(x_i) ≠ g(x_j). This means that among all variables set to true, no two can have the same color.
Now, 2CNF-SAT is in P (we know this), but we have an additional constraint about colors.
Let me try to think of this as either:
1. A reduction to a problem in P (showing A ∈ P)
2. A reduction from an NP-hard problem (showing A is NP-hard)
For approach 1: Can I reduce this to 2CNF-SAT or some other problem in P?
The constraint is that variables set to true must have different colors. This is like saying we can set at most one variable of each color to true.
Actually, let me think of this differently. For each color c ∈ {1, ..., l}, let V_c = {x ∈ V : g(x) = c} be the set of variables with color c.
The constraint means that for each color c, at most one variable in V_c can be set to true.
So I can transform the 2CNF formula as follows:
- Keep all the original clauses
- For each color c, add clauses ensuring at most one variable in V_c is true
Wait, but "at most one true" for a set of variables is not easily expressible in 2CNF.
I can express "at most one true" in 2CNF by creating pairwise negation clauses for variables of the same color. This means adding 2-clauses that prevent multiple variables of the same color from being true simultaneously.
The reduction becomes straightforward: I'll modify the original formula by adding color-based constraints while preserving the original 2CNF structure. This approach ensures that no two variables with the same color can be true at the same time.
By constructing F' with these additional clauses, I create a formula that's satisfiable only when variables set to true have distinct colors. This elegant transformation allows me to prove the problem belongs to P by leveraging the polynomial-time solvability of 2CNF-SAT.
The key insight involves adding clauses that prevent same-colored variables from simultaneously being true, which ensures the satisfying assignment respects the coloring constraint.
The reduction's computational complexity remains polynomial, with clause additions scaling quadratically with the input size. This guarantees the problem can be efficiently solved, placing it within the complexity class P.
Answer
Looking at this problem, I need to determine if we can efficiently solve the constrained 2CNF satisfiability problem where variables set to true must have different colors.
Since 2CNF-SAT is in P, let me try to reduce this problem to 2CNF-SAT to show it's in P.
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktion: $A \le_p \mathsf{2CNF\text{-}SAT}$
Begründung:
Gegeben eine 2CNF-Formel $F$ über Variablen $V$ und Farbfunktion $g: V \to \{1,...,l\}$, konstruiere ich eine neue 2CNF-Formel $F'$ wie folgt:
1. Füge alle ursprünglichen Klauseln von $F$ zu $F'$ hinzu
2. Für jede Farbe $c \in \{1,...,l\}$ und jedes Paar verschiedener Variablen $x_i, x_j$ mit $g(x_i) = g(x_j) = c$, füge die Klausel $(\neg x_i \vee \neg x_j)$ zu $F'$ hinzu
**Korrektheit:**
$(\Rightarrow)$ Falls $\sigma$ eine erfüllende Belegung für $F$ ist, bei der alle auf wahr gesetzten Variablen verschiedene Farben haben:
- $\sigma$ erfüllt alle ursprünglichen Klauseln von $F$
- Für jedes Paar $x_i, x_j$ gleicher Farbe gilt: höchstens eine Variable ist wahr, also $\sigma(\neg x_i \vee \neg x_j) = 1$
- Somit erfüllt $\sigma$ auch $F'$
$(\Leftarrow)$ Falls $\sigma$ die Formel $F'$ erfüllt:
- $\sigma$ erfüllt $F$ (da alle ursprünglichen Klauseln enthalten sind)
- Für jedes Paar $x_i, x_j$ gleicher Farbe erfüllt $\sigma$ die Klausel $(\neg x_i \vee \neg x_j)$, d.h. höchstens eine Variable ist wahr
- Also haben alle auf wahr gesetzten Variablen verschiedene Farben
Die Konstruktion ist polynomiell, da höchstens $O(n^2)$ zusätzliche Klauseln hinzugefügt werden.
</answer>
Gegeben: Eine 2KNF-Formel mit Variablenmenge , eine Menge von Farben (mit ) und eine Funktion , die jeder Variable eine Farbe zuordnet. Problem : Gibt es eine erfüllende Belegung , sodass alle Variablen, die von zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung mit für alle mit ?
☒☐ ist -hart
Reduktion: Begründung: Gegeben eine 2CNF-Formel über Variablen und Farbfunktion , konstruiere ich eine neue 2CNF-Formel wie folgt: 1. Füge alle ursprünglichen Klauseln von zu hinzu 2. Für jede Farbe und jedes Paar verschiedener Variablen mit , füge die Klausel zu hinzu Korrektheit: Falls eine erfüllende Belegung für ist, bei der alle auf wahr gesetzten Variablen verschiedene Farben haben: - erfüllt alle ursprünglichen Klauseln von - Für jedes Paar gleicher Farbe gilt: höchstens eine Variable ist wahr, also - Somit erfüllt auch Falls die Formel erfüllt: - erfüllt (da alle ursprünglichen Klauseln enthalten sind) - Für jedes Paar gleicher Farbe erfüllt die Klausel , d.h. höchstens eine Variable ist wahr - Also haben alle auf wahr gesetzten Variablen verschiedene Farben Die Konstruktion ist polynomiell, da höchstens zusätzliche Klauseln hinzugefügt werden.
deepseek/deepseek-chat-v3.1
Exercise 7: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme entweder, dass es in liegt, oder, dass es -hart ist. Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit. Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen. Achtung: Auch um zu zeigen, dass das Problem in liegt, ist eine Reduktion anzugeben! Hinweis: Um zu zeigen, dass ein Problem in liegt, geben Sie eine Reduktion für ein an, reduzieren Sie also auf ein Problem , von dem wir wissen, dass es in liegt, z.B. oder . Um zu zeigen, dass ein Problem -hart ist, geben Sie eine Reduktion an, wobei ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa , , oder .
Subproblem a (6.0/6.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
First, I need to determine if problem A is in P or NP-hard. Problem A asks: Given three CNF formulas F1, F2, F3 with variables from V, is there an assignment σ: V → {0,1} that satisfies exactly two of them?
I should consider whether this is easy or hard. Since it involves CNF formulas, which are related to SAT, and SAT is NP-complete, this might be NP-hard. But it's about satisfying exactly two out of three, which could be tricky.
To show it's in P, I need to reduce it to a problem in P, like 2COL or 2KNF-SAT. But 2KNF-SAT is probably 2-SAT, which is in P. However, CNF formulas here could be arbitrary, so F1, F2, F3 might not be 2-CNF; they could have larger clauses.
The problem doesn't specify that the CNF formulas are bounded in clause size, so they could be general CNF, which means SAT is NP-complete for them.
But I need to check if exactly two are satisfiable.
Perhaps I can think about the combinations.
Let me denote S_i as the set of assignments that satisfy F_i.
We want an assignment that is in exactly two of S1, S2, S3.
This is equivalent to: (σ satisfies F1 and F2 but not F3) or (σ satisfies F1 and F3 but not F2) or (σ satisfies F2 and F3 but not F1).
Each of these conditions can be expressed as a logical formula.
For example, σ satisfies F1 ∧ F2 ∧ ¬F3.
But ¬F3 is not necessarily in CNF, and it might be hard to handle.
Since F3 is a CNF formula, ¬F3 is a DNF formula, which is not easy to work with.
Perhaps I can reduce this to a known problem.
Maybe this problem is NP-hard because it's similar to other counting problems.
I recall that deciding if exactly k formulas are satisfiable for a set of formulas is NP-hard in general.
But here it's only three formulas.
Perhaps for three, it might be easier, but I doubt it.
Let me try to reduce from a known NP-hard problem.
A common one is 3SAT or SAT.
Suppose I want to reduce SAT to this.
That is, given a CNF formula F, I want to construct three CNF formulas such that F is satisfiable iff exactly two of them are satisfiable.
If I can do that, then A is NP-hard.
Let me try.
One idea: let F1 = F, F2 = something always true, F3 = something always false.
But if F2 is always true and F3 always false, then for any assignment, if σ satisfies F, then it satisfies F1 and F2, but not F3, so exactly two.
If σ does not satisfy F, then it might satisfy only F2 (since F2 is true), so exactly one, or if it satisfies F2 only, but F3 is false, so it satisfies only F2, so not exactly two.
Set F2 to be a tautology, say a clause with a variable and its negation, but CNF might not allow that directly, but I can have a tautological CNF, like (x ∨ ¬x) for some variable, but that's a clause, and CNF can have multiple clauses, so I can have a CNF that is always true, e.g., by having a clause that is always true.
Similarly, I can have a CNF that is always false, like a clause with a contradiction, but CNF must have clauses, and a clause with no literals is unsatisfiable, but typically CNF formulas are sets of clauses, and an empty clause means unsatisfiable, but I need to define it properly.
Let me define:
For a given SAT instance F, I can set:
F1 = F
F2 = a tautology, e.g., a CNF formula that is always true. How to make a CNF always true? I can use a new variable, say t, and have F2 = (t ∨ ¬t), but that's not a standard CNF because it's a single clause with two literals, but it is a valid CNF formula with one clause. Actually, (t ∨ ¬t) is a clause that is always true, so the CNF consisting of that one clause is satisfiable by any assignment, and in fact, it's always true.
Similarly, for F3, I can make it always false. How? A CNF formula that is unsatisfiable. For example, I can have a clause that is empty or contradictory, but typically, we can have F3 be a CNF with an empty clause, or with a clause like (x) and (¬x) for some variable x, but that would require two clauses.
To make it simple, I can introduce a new variable, say u, and set F3 to be the CNF containing the clause (u) and (¬u), which is unsatisfiable.
But F3 needs to be a single CNF formula, so I can define F3 as the conjunction of (u) and (¬u), which is a CNF with two clauses: one with just u, one with just ¬u.
That is unsatisfiable.
Now, for F2, I can set F2 to be a tautology, say by having a clause (v ∨ ¬v) for some new variable v.
But I need to use variables from V, but the problem says "Variablen aus V", but V might not have extra variables, so I probably need to introduce new variables.
The problem says "mit Variablen aus V", but V is given, so for the reduction, I might need to extend V or use new variables.
In reductions, we often introduce new variables.
So, for a given SAT instance F with variables, say, from set W, I can define the three formulas with variables from V = W ∪ {t, u} or something.
Now, set:
F1 = F
F2 = (t ∨ ¬t) // which is always true
F3 = (u) ∧ (¬u) // which is always false
Now, for any assignment σ:
- If σ satisfies F, then it satisfies F1 and F2 (since F2 is always true), but not F3 (since F3 is false), so exactly two satisfied.
- If σ does not satisfy F, then it does not satisfy F1, satisfies F2 (always true), and does not satisfy F3, so it satisfies only F2, so exactly one, not two.
Therefore, F is satisfiable iff exactly two of F1, F2, F3 are satisfiable.
But F2 and F3 use new variables t and u, which are not in the original V, but in the reduction, I need to define the three formulas, so I can include them.
The problem says "mit Variablen aus V", but for the reduction, V might be extended.
In the input, V is given, but when reducing, I need to specify the formulas with variables, so I can define V' = V ∪ {t, u} or something, but actually, in the problem statement, it says "Gegeben: Drei KNF-Formeln F1, F2, F3 mit Variablen aus V", so V is part of the input, but for the reduction, I need to construct F1, F2, F3 with variables from some set.
When reducing from SAT, the SAT instance has its own variables, say X, so I need to define V and the formulas.
Typically, in reductions, we define the new instance based on the old one.
So, for a SAT instance S with variables X, I can define:
Let V = X ∪ {t, u} where t and u are new variables not in X.
Then F1 = S (the CNF formula)
F2 = the CNF formula consisting of a single clause (t ∨ ¬t)
F3 = the CNF formula consisting of two clauses: (u) and (¬u)
Now, as argued, S is satisfiable iff exactly two of F1, F2, F3 are satisfiable.
Therefore, SAT ≤p A, so A is NP-hard.
But is this correct? F2 is a CNF with one clause (t ∨ ¬t), which is valid CNF, and it's always true.
F3 is CNF with clauses (u) and (¬u), which is unsatisfiable.
Yes.
And the reduction is polynomial, since I'm just adding two new variables and simple formulas.
So, A is NP-hard.
But the problem might be that V is given, but in the reduction, I'm defining V as part of the output.
In the input for A, V is given, but when reducing from another problem, I need to construct the instance of A, which includes specifying V and the three formulas.
So yes, I can do that.
Therefore, A is NP-hard.
Now, for the answer format, I need to say whether it's in P or NP-hard.
Based on this, it should be NP-hard.
But let me confirm if there's a way it could be in P.
Suppose the formulas are such that I can check each pair or something, but since SAT is NP-complete, and I reduced from SAT, it should be hard.
Perhaps if the formulas are restricted, but here they are general CNF.
So, I think A is NP-hard.
Now, for the options:
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option> should be 0
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option> should be 1
And for the answer, I need to provide the reduction.
Reduction: SAT ≤p A
Begründung: As above.
But I need to write it in the template.
The template is:
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
So, I need to fill in the blanks.
Reduktion: SAT ≤p A
But SAT is not explicitly mentioned, but I can use it.
Perhaps I should specify the problems.
The problem A is defined, so I can say SAT reduces to A.
In the hint, it says to use known problems like 3COL, SAT, CLIQUE.
So, I'll use SAT.
Now, for the Begründung, I need to sketch the correctness.
So, let me write it.
First, for the option tags.
<option id="1">0</option> // since not in P
<option id="2">1</option> // since NP-hard
Now, for the answer:
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine $\mathsf{SAT}$-Instanz $F$ mit Variablenmenge $X$. Wir definieren eine Instanz von $A$ wie folgt: Sei $V = X \cup \{t, u\}$ mit neuen Variablen $t$ und $u$. Definiere die drei KNF-Formeln:
- $F_1 = F$
- $F_2$ als die KNF-Formel, die nur die Klausel $(t \lor \neg t)$ enthält (immer erfüllt).
- $F_3$ als die KNF-Formel, die die Klauseln $(u)$ und $(\neg u)$ enthält (immer unerfüllt).
Dann gilt: $F$ ist erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung gibt, die genau zwei der drei Formeln erfüllt.
- Wenn $F$ erfüllbar ist, gibt es eine Belegung $\sigma$, die $F$ erfüllt. Erweitere $\sigma$ beliebig auf $t$ und $u$ (z.B. beide 0). Dann erfüllt $\sigma$ $F_1$ und $F_2$ (da $F_2$ immer wahr), aber nicht $F_3$, also genau zwei.
- Wenn $F$ nicht erfüllbar ist, dann für jede Belegung: $F_1$ nicht erfüllt, $F_2$ immer erfüllt, $F_3$ nie erfüllt, also nur $F_2$ erfüllt, also genau eine, nicht zwei.
Daher ist die Reduktion korrekt und polynomiell.
</answer>
I think that's good.
But in the reduction, I defined F2 and F3 with new variables, but the variables are included in V, so it's fine.
Also, note that F2 is a CNF with one clause, which is fine.
Similarly for F3.
So, I think this works.
Therefore, for subproblem a, A is NP-hard.
Answer
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine $\mathsf{SAT}$-Instanz $F$ mit Variablenmenge $X$. Wir definieren eine Instanz von $A$ wie folgt: Sei $V = X \cup \{t, u\}$ mit neuen Variablen $t$ und $u$. Definiere die drei KNF-Formeln:
- $F_1 = F$
- $F_2$ als die KNF-Formel, die nur die Klausel $(t \lor \neg t)$ enthält (immer erfüllt).
- $F_3$ als die KNF-Formel, die die Klauseln $(u)$ und $(\neg u)$ enthält (immer unerfüllt).
Dann gilt: $F$ ist erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung gibt, die genau zwei der drei Formeln erfüllt.
- Wenn $F$ erfüllbar ist, gibt es eine Belegung $\sigma$, die $F$ erfüllt. Erweitere $\sigma$ beliebig auf $t$ und $u$ (z.B. beide 0). Dann erfüllt $\sigma$ $F_1$ und $F_2$ (da $F_2$ immer wahr), aber nicht $F_3$, also genau zwei.
- Wenn $F$ nicht erfüllbar ist, dann für jede Belegung: $F_1$ nicht erfüllt, $F_2$ immer erfüllt, $F_3$ nie erfüllt, also nur $F_2$ erfüllt, also genau eine, nicht zwei.
Daher ist die Reduktion korrekt und polynomiell.
</answer>
Gegeben: Drei KNF-Formeln mit Variablen aus . Problem : Gibt es eine Belegung , die genau zwei der drei Formeln erfüllt?
☐☒ ist -hart
Reduktion: Begründung: Gegeben eine -Instanz mit Variablenmenge . Wir definieren eine Instanz von wie folgt: Sei mit neuen Variablen und . Definiere die drei KNF-Formeln: - - als die KNF-Formel, die nur die Klausel enthält (immer erfüllt). - als die KNF-Formel, die die Klauseln und enthält (immer unerfüllt). Dann gilt: ist erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung gibt, die genau zwei der drei Formeln erfüllt. - Wenn erfüllbar ist, gibt es eine Belegung , die erfüllt. Erweitere beliebig auf und (z.B. beide 0). Dann erfüllt und (da immer wahr), aber nicht , also genau zwei. - Wenn nicht erfüllbar ist, dann für jede Belegung: nicht erfüllt, immer erfüllt, nie erfüllt, also nur erfüllt, also genau eine, nicht zwei. Daher ist die Reduktion korrekt und polynomiell.
Subproblem b (8.0/8.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine $\mathsf{SAT}$-Instanz $F$ mit Variablenmenge $X$. Wir definieren eine Instanz von $A$ wie folgt: Sei $V = X \cup \{t, u\}$ mit neuen Variablen $t$ und $u$. Definiere die drei KNF-Formeln:
- $F_1 = F$
- $F_2$ als die KNF-Formel, die nur die Klausel $(t \lor \neg t)$ enthält (immer erfüllt).
- $F_3$ als die KNF-Formel, die die Klauseln $(u)$ und $(\neg u)$ enthält (immer unerfüllt).
Dann gilt: $F$ ist erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung gibt, die genau zwei der drei Formeln erfüllt.
- Wenn $F$ erfüllbar ist, gibt es eine Belegung $\sigma$, die $F$ erfüllt. Erweitere $\sigma$ beliebig auf $t$ und $u$ (z.B. beide 0). Dann erfüllt $\sigma$ $F_1$ und $F_2$ (da $F_2$ immer wahr), aber nicht $F_3$, also genau zwei.
- Wenn $F$ nicht erfüllbar ist, dann für jede Belegung: $F_1$ nicht erfüllt, $F_2$ immer erfüllt, $F_3$ nie erfüllt, also nur $F_2$ erfüllt, also genau eine, nicht zwei.
Daher ist die Reduktion korrekt und polynomiell.
</answer>
user:
## subproblem b (8.0 points)
**Gegeben:** Eine 2KNF-Formel $F$ mit Variablenmenge $V=\{x_1, ..., x_n\}$, eine Menge $\{1, ..., l\}$ von Farben (mit $l>0$) und eine Funktion $g: V \to \{1 ,...,l\}$, die jeder Variable eine Farbe zuordnet.
**Problem $A$:** Gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma$, sodass alle Variablen, die von $\sigma$ zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$ mit $g(x_i) \neq g(x_j)$ für alle $i<j \leq n$ mit $\sigma(x_i)=1= \sigma(x_j)$?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
First, I need to determine if problem A is in P or NP-hard. The problem involves a 2KNF formula F, which is a 2-CNF formula, and we know that 2-SAT is in P. But here, there's an additional constraint: in the satisfying assignment, all variables set to true must have distinct colors assigned by function g.
The question is whether there exists a satisfying assignment where the true variables have distinct colors. Since 2-SAT is in P, but this has an extra constraint, I need to see if this makes it harder.
I should consider reducing from a known problem. Maybe I can reduce from graph coloring or something similar, but let's think carefully.
The color constraint is that no two true variables share the same color. This is like saying the set of true variables must be an independent set in some sense, but not exactly; it's about colors, so it's like a coloring constraint.
Since 2-SAT is in P, and we're adding a constraint that might be manageable, perhaps this is still in P. But I need to be sure.
I recall that 2-SAT can be solved in polynomial time by building a graph and checking for strongly connected components. Here, we have an additional constraint that the true variables must have distinct colors. This means that for each color, at most one variable of that color can be true.
So, essentially, we need a satisfying assignment where for each color class, at most one variable is set to true.
This sounds similar to a problem where we have a 2-SAT formula and we want an assignment that respects a partition where each part has at most one true.
I think this might be reducible to 2-SAT itself or something in P.
Perhaps I can model this as a 2-SAT problem with additional constraints.
But let's think about complexity. If the number of colors is large, but since the variables are fixed, and colors are given, we might be able to solve it by considering the color classes.
Notice that the constraint "all true variables have distinct colors" is equivalent to: for each color c, at most one variable with color c is set to true.
This is a cardinality constraint: for each color class, at most one true.
But since the color classes are given, and we have a 2-SAT formula, we might be able to encode this in 2-SAT or handle it efficiently.
I remember that for 2-SAT, we can add constraints like "at most one" for a set of variables, but "at most one" constraints are not directly expressible in 2-CNF because "at most one" for k variables requires clauses that are not binary if k>2, but here, for each color class, we have a set of variables, and we want at most one true per color class.
The "at most one" constraint for a set S of variables can be expressed using implications: for each pair of variables in S, we can add a clause that not both are true, which is a 2-CNF clause: (¬x ∨ ¬y) for each pair x,y in S.
But if we do that for each color class, we add clauses that are still 2-CNF, because each clause has two literals.
So, if I take the original 2-CNF formula F, and for each color c, for every pair of variables x_i, x_j with g(x_i) = g(x_j) = c, I add the clause (¬x_i ∨ ¬x_j), which ensures that at most one variable per color is true.
Then, the new formula is still a 2-CNF formula, because all added clauses are 2-Clauses.
Then, solving the new 2-CNF formula would give us a satisfying assignment where all true variables have distinct colors, because the added clauses prevent two variables of the same color from being true simultaneously.
And since 2-SAT is in P, we can solve this new formula in polynomial time.
Therefore, problem A is in P.
So, for the options, I should set option 1 to 1 (meaning A in P) and option 2 to 0 (not NP-hard).
Now, for the reduction, since I'm showing it's in P, I need to reduce A to a problem in P, specifically to 2-SAT.
So, reduction: A ≤_p 2SAT
But 2SAT is in P, so that's fine.
In the answer template, it says "Reduktion: ? ≤_p ?", so I need to specify which way.
Since I'm showing A is in P, I reduce A to a problem in P, so A ≤_p B where B is in P.
Here, B is 2SAT.
But 2SAT is the problem of satisfying a 2-CNF formula, which is in P.
In this case, from A, which is given F, g, etc., I construct a new 2-CNF formula F' that includes the original clauses plus the additional clauses for the color constraints.
Then, F' is satisfiable iff there is a satisfying assignment for F with all true variables having distinct colors.
So, the reduction is from A to 2SAT.
In the reduction, I need to define the function.
So, for the answer, I should describe the reduction.
Let me write it step by step.
Given an instance of A: a 2KNF formula F with variables V, a set of colors, and a function g: V → {1,...,l}
I construct a new 2-CNF formula F' as follows:
F' contains all clauses from F.
Additionally, for each color c, and for every pair of distinct variables x, y in V such that g(x) = g(y) = c, I add the clause (¬x ∨ ¬y) to F'.
Now, F' is a 2-CNF formula because all clauses are 2-clauses.
Then, I output F' as an instance of 2SAT.
Now, correctness: If there is a satisfying assignment σ for F' , then σ satisfies F (since F' includes F), and for each color c, since all pairs of variables with color c have the clause (¬x ∨ ¬y), which means that for each pair, not both are true, so at most one variable per color is true. Thus, all true variables have distinct colors.
Conversely, if there is a satisfying assignment σ for F such that all true variables have distinct colors, then for each color c, at most one variable is true, so for every pair of variables with same color, not both are true, so σ satisfies all added clauses (¬x ∨ ¬y). Thus, σ satisfies F'.
Therefore, the instance of A is yes iff the instance of 2SAT is yes.
Also, the reduction is polynomial because we add at most O(n^2) clauses, where n is the number of variables, which is polynomial.
So, this shows that A ≤_p 2SAT, and since 2SAT ∈ P, A ∈ P.
Now, for the answer format.
I need to output the options and the answer.
So, for option id=1, since A in P, I set it to 1.
Option id=2, not NP-hard, set to 0.
Then for answer id=3, I need to write the reduction and justification.
The template is:
Reduktion: ? ≤_p ?
Begründung:
???
So, for reduction, I should say A ≤_p 2SAT or something.
In the context, 2SAT might be written as 2KNF-SAT or something, but since it's given in the problem as 2KNF, probably 2KNF-SAT is fine.
In the hint, it says 2KNF-SAT, so I can use that.
So, Reduktion: A ≤_p 2KNF-SAT
Begründung: ... as above.
Let me write it neatly.
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktion: $A \le_p \mathsf{2KNF\text{-}SAT}$
Begründung:
Gegeben eine Instanz von $A$: eine 2KNF-Formel $F$ mit Variablenmenge $V$, eine Farbmenge $\{1, \dots, l\}$ und eine Funktion $g: V \to \{1, \dots, l\}$. Wir konstruieren eine neue 2KNF-Formel $F'$ wie folgt: $F'$ enthält alle Klauseln von $F$. Zusätzlich fügen wir für jede Farbe $c$ und für jedes Paar distincter Variablen $x, y \in V$ mit $g(x) = g(y) = c$ die Klausel $(\neg x \lor \neg y)$ hinzu. Da alle Klauseln in $F'$ höchstens zwei Literale haben, ist $F'$ eine 2KNF-Formel.
Korrektheit: Wenn $F'$ erfüllbar ist, gibt es eine Belegung $\sigma$, die $F'$ erfüllt. Da $F'$ $F$ enthält, erfüllt $\sigma$ auch $F$. Die hinzugefügten Klauseln $(\neg x \lor \neg y)$ für gleiche Farben stellen sicher, dass für jede Farbe $c$ höchstens eine Variable mit Farbe $c$ auf Wahr gesetzt ist, also alle auf Wahr gesetzten Variablen unterschiedliche Farben haben. Umgekehrt, wenn es eine erfüllende Belegung $\sigma$ für $F$ gibt, bei der alle auf Wahr gesetzten Variablen unterschiedliche Farben haben, dann erfüllt $\sigma$ auch alle hinzugefügten Klauseln $(\neg x \lor \neg y)$, da für gleiche Farben nicht beide Variablen wahr sein können. Thus, $\sigma$ erfüllt $F'$. Daher ist die Instanz von $A$ genau dann ja, wenn $F'$ erfüllbar ist.
Die Reduktion ist polynomiell, da die Anzahl der hinzugefügten Klauseln durch $O(|V|^2)$ beschränkt ist. Da $\mathsf{2KNF\text{-}SAT} \in \mathsf{P}$, folgt $A \in \mathsf{P}$.
</answer>
Gegeben: Eine 2KNF-Formel mit Variablenmenge , eine Menge von Farben (mit ) und eine Funktion , die jeder Variable eine Farbe zuordnet. Problem : Gibt es eine erfüllende Belegung , sodass alle Variablen, die von zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung mit für alle mit ?
☒☐ ist -hart
Reduktion: Begründung: Gegeben eine Instanz von : eine 2KNF-Formel mit Variablenmenge , eine Farbmenge und eine Funktion . Wir konstruieren eine neue 2KNF-Formel wie folgt: enthält alle Klauseln von . Zusätzlich fügen wir für jede Farbe und für jedes Paar distincter Variablen mit die Klausel hinzu. Da alle Klauseln in höchstens zwei Literale haben, ist eine 2KNF-Formel. Korrektheit: Wenn erfüllbar ist, gibt es eine Belegung , die erfüllt. Da enthält, erfüllt auch . Die hinzugefügten Klauseln für gleiche Farben stellen sicher, dass für jede Farbe höchstens eine Variable mit Farbe auf Wahr gesetzt ist, also alle auf Wahr gesetzten Variablen unterschiedliche Farben haben. Umgekehrt, wenn es eine erfüllende Belegung für gibt, bei der alle auf Wahr gesetzten Variablen unterschiedliche Farben haben, dann erfüllt auch alle hinzugefügten Klauseln , da für gleiche Farben nicht beide Variablen wahr sein können. Thus, erfüllt . Daher ist die Instanz von genau dann ja, wenn erfüllbar ist. Die Reduktion ist polynomiell, da die Anzahl der hinzugefügten Klauseln durch beschränkt ist. Da , folgt .
deepseek/deepseek-r1-0528
Exercise 7: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme entweder, dass es in liegt, oder, dass es -hart ist. Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit. Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen. Achtung: Auch um zu zeigen, dass das Problem in liegt, ist eine Reduktion anzugeben! Hinweis: Um zu zeigen, dass ein Problem in liegt, geben Sie eine Reduktion für ein an, reduzieren Sie also auf ein Problem , von dem wir wissen, dass es in liegt, z.B. oder . Um zu zeigen, dass ein Problem -hart ist, geben Sie eine Reduktion an, wobei ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa , , oder .
Subproblem a (6.0/6.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Wir betrachten das Problem A: Gegeben drei KNF-Formeln F1, F2, F3 mit Variablen aus V. Gibt es eine Belegung σ, die genau zwei der drei Formeln erfüllt?
Zuerst überlegen wir, ob A in P liegt oder NP-hart ist.
Um zu zeigen, dass A in P liegt, müssten wir A auf ein Problem in P reduzieren. Um zu zeigen, dass A NP-hart ist, müssten wir ein bekanntes NP-hartes Problem auf A reduzieren.
Wir wissen, dass SAT für KNF-Formeln NP-vollständig ist, aber hier haben wir drei Formeln und eine spezifische Bedingung (genau zwei erfüllt).
Betrachten wir die Komplexität.
Eine naive Herangehensweise: Wir könnten für alle möglichen Belegungen prüfen, aber das wäre exponentiell in der Anzahl der Variablen, also nicht effizient.
Stattdessen denken wir an Reduktionen.
Angenommen, wir wollen zeigen, dass A NP-hart ist. Dann müssen wir ein bekanntes NP-hartes Problem auf A reduzieren. Ein gängiges Problem ist 3SAT.
Wir versuchen, 3SAT auf A zu reduzieren.
Gegeben eine 3KNF-Formel F, die wir auf Erfüllbarkeit prüfen wollen. Wir wollen dies auf eine Instanz von A reduzieren, d.h., wir konstruieren drei KNF-Formeln G1, G2, G3, so dass F erfüllbar ist genau dann, wenn es eine Belegung gibt, die genau zwei von G1,G2,G3 erfüllt.
Wie können wir das machen?
Eine Idee: Wir könnten G1 = F, G2 = F, G3 = eine unerfüllbare Formel setzen. Dann, wenn F erfüllbar ist, erfüllt σ sowohl G1 als auch G2, also zwei Formeln, und G3 nicht. Aber dann erfüllt σ zwei Formeln, was genau zwei ist? Ja, aber wenn F unerfüllbar ist, dann erfüllt σ weder G1 noch G2, und G3 auch nicht, also erfüllt es null Formeln, nicht genau zwei. Also funktioniert das nicht, denn wir brauchen, dass im unerfüllbaren Fall keine Belegung existiert, die genau zwei erfüllt.
Wenn F unerfüllbar ist, dann ist G1 unerfüllbar, G2 unerfüllbar, G3 unerfüllbar, also gibt es keine Belegung, die irgendeine erfüllt, also sicher nicht genau zwei. Aber im erfüllbaren Fall erfüllt σ zwei Formeln (G1 und G2). Das scheint zu funktionieren?
Aber G3 ist unerfüllbar, also wird G3 nie erfüllt. Also für jede Belegung: wenn F erfüllt, dann erfüllt σ G1 und G2, also zwei, und G3 nicht. Wenn F nicht erfüllt, dann erfüllt σ weder G1 noch G2, und G3 auch nicht, also null. Also gibt es genau dann eine Belegung, die genau zwei erfüllt, wenn F erfüllbar ist.
Aber die Reduktion muss polynomiell sein, und G3 als unerfüllbare KNF-Formel ist leicht konstruierbar, z.B. eine Klausel mit einem Widerspruch wie (x) ∧ (¬x) für eine neue Variable? Aber wir können eine feste unerfüllbare Formel nehmen, aber die muss in der Eingabe vorkommen, und die Eingabe hat Variablen aus V. Wir können eine neue Variable einführen? Aber die Formeln müssen über denselben Variablen sein? Die Problemstellung sagt "mit Variablen aus V", also wahrscheinlich dieselben Variablen für alle drei Formeln.
In der Definition: "mit Variablen aus V", also haben alle drei Formeln Variablen aus derselben Menge V.
Wenn wir G3 unerfüllbar machen wollen, aber mit Variablen aus V, dann muss G3 für alle Belegungen unerfüllbar sein, z.B. G3 = (x ∧ ¬x) für ein x in V. Aber wenn V gegeben ist, können wir ein x in V wählen? Aber V ist gegeben, und wir wissen nicht, ob V nicht leer ist. Wenn V leer ist, dann ist eine Formel ohne Variablen entweder immer wahr oder immer falsch, je nach Klauseln.
Um eine explizit unerfüllbare Formel zu haben, brauchen wir mindestens eine Variable. Wenn V leer ist, dann ist jede Klausel ohne Variablen: eine leere Klausel ist unerfüllbar, aber wenn keine Klauseln, dann erfüllbar. Um sicher unerfüllbar zu sein, müssen wir eine Klausel haben, die unerfüllbar ist, z.B. die leere Klausel. Aber in KNF ist eine Formel mit einer leeren Klausel unerfüllbar.
Also können wir G3 als eine Formel setzen, die eine leere Klausel enthält, also immer unerfüllbar ist.
Oder wir fügen eine neue Variable hinzu? Aber die Problemstellung sagt "mit Variablen aus V", also dürfen wir keine neuen Variablen einführen?
Lesen: "mit Variablen aus V", also die Formeln verwenden nur Variablen aus V, aber V ist gegeben, und wir können V erweitern? Normalerweise in Reduktionen dürfen wir neue Variablen einführen, aber hier ist V festgelegt.
In der Eingabe sind drei Formeln mit Variablen aus V, aber V ist Teil der Eingabe. Wenn wir die Reduktion machen, können wir die Menge V erweitern, indem wir neue Variablen hinzufügen, aber dann müssen wir die Formeln entsprechend anpassen.
In der Problemdefinition: "Gegeben: Drei KNF-Formeln F1,F2,F3 mit Variablen aus V." Also V ist gegeben, und die Formeln sind über diesen Variablen.
Für die Reduktion, wenn wir eine neue Variable brauchen, müssen wir V erweitern, aber das ist erlaubt, solange die Reduktion polynomiell ist.
Um G3 unerfüllbar zu machen, können wir eine neue Variable y einführen und G3 = (y) ∧ (¬y) setzen. Dann ist G3 unerfüllbar, unabhängig von den anderen Variablen.
Dann setzen wir G1 = F, G2 = F, G3 = (y) ∧ (¬y), wobei y eine neue Variable ist.
Dann ist die Menge der Variablen V' = V ∪ {y}.
Dann: wenn F erfüllbar ist, sei σ eine erfüllende Belegung für F. Erweitere σ auf y beliebig, sagen wir σ(y)=0. Dann erfüllt σ G1 (da F erfüllt), G2 (da F erfüllt), und G3 nicht (da y und ¬y im Widerspruch). Also erfüllt σ genau zwei Formeln: G1 und G2.
Wenn F unerfüllbar ist, dann für jede Belegung σ: σ erfüllt weder G1 noch G2, und G3 auch nicht (da unerfüllbar). Also erfüllt σ null Formeln, nicht genau zwei.
Also gibt es eine Belegung, die genau zwei erfüllt, genau dann wenn F erfüllbar ist.
Somit haben wir 3SAT auf A reduziert, da 3SAT ein Spezialfall von SAT ist, und SAT auf KNF reduziert werden kann, aber hier ist F eine 3KNF, also können wir annehmen, dass F in 3KNF ist, und G1 und G2 sind dieselbe, also auch 3KNF, und G3 ist in KNF mit einer neuen Variable.
G3 = (y) ∧ (¬y), das ist eine Konjunktion von zwei Klauseln: {y} und {¬y}, also in KNF.
Die Reduktion ist polynomiell, da wir nur eine neue Variable hinzufügen und die Formeln kopieren.
Also ist A NP-hart.
Aber ist A auch in NP? Das wurde nicht gefragt, nur ob in P oder NP-hart. Aber wenn es NP-hart ist, dann ist es nicht in P, außer P=NP.
Die Frage ist, entweder in P oder NP-hart. Es könnte beides sein, aber wenn es NP-hart ist und P≠NP, dann nicht in P.
Aber hier haben wir gezeigt, dass 3SAT ≤p A, also ist A NP-hart.
Gibt es eine Möglichkeit, dass A in P liegt? Wahrscheinlich nicht, aber wir müssen es nur klassifizieren.
In der Reduktion oben: wenn F unerfüllbar ist, gibt es keine Belegung, die genau zwei erfüllt, und wenn erfüllbar, gibt es eine.
Aber in A, wenn es eine Belegung gibt, die genau zwei erfüllt, dann ist F erfüllbar, aber umgekehrt, wenn F erfüllbar ist, gibt es eine Belegung, die genau zwei erfüllt, nämlich die, die F erfüllt, und sie erfüllt G1 und G2.
Aber was, wenn es Belegungen gibt, die nur eine oder drei erfüllen? In diesem Fall, wenn F erfüllbar ist, erfüllt die Belegung, die F erfüllt, zwei Formeln, aber es könnte andere Belegungen geben, die z.B. G1 und G3 erfüllen? Aber G3 ist unerfüllbar, also kann keine Belegung G3 erfüllen. Also erfüllt jede Belegung G3 nicht. Und wenn F erfüllt, erfüllt sie G1 und G2, also zwei. Wenn F nicht erfüllt, erfüllt sie weder G1 noch G2, also null.
Also keine Belegung erfüllt drei, und nur wenn F erfüllbar, gibt es Belegungen, die zwei erfüllen.
Also korrekt.
Können wir zeigen, dass A in P liegt? Wahrscheinlich nicht, da es NP-hart ist.
Aber vielleicht gibt es einen effizienten Algorithmus.
Eine andere Sicht: Die Anzahl der erfüllten Formeln ist eine Funktion von σ. Wir können für jede Formel prüfen, ob sie erfüllt ist, aber das erfordert, SAT zu lösen, was NP-hart ist.
Aber hier müssen wir nicht nur für eine, sondern für eine Belegung, die genau zwei erfüllt.
Wir können es als Verbindung sehen.
Angenommen, wir definieren für jede Formel eine Variable, aber das hilft nicht direkt.
Vielleicht können wir die Bedingung "genau zwei erfüllt" als logische Formel ausdrücken.
Sei a = 1 wenn F1 erfüllt, sonst 0, analog b für F2, c für F3.
Dann wollen wir, dass a + b + c = 2.
Aber a,b,c hängen von σ ab.
Die Bedingung ist, dass genau zwei von den drei wahr sind.
Das ist äquivalent zu: (F1 ∧ F2 ∧ ¬F3) ∨ (F1 ∧ ¬F2 ∧ F3) ∨ (¬F1 ∧ F2 ∧ F3)
Aber ¬F3 bedeutet, dass F3 nicht erfüllt ist, was nicht direkt eine Formel ist, sondern eine Aussage über die Belegung.
In der Logik: die Aussage "F3 ist nicht erfüllt" ist äquivalent zu "¬F3 ist erfüllt", aber ¬F3 ist nicht notwendigerweise in KNF, und selbst wenn, ist es schwierig.
Die gesamte Aussage ist: es gibt σ, so dass genau zwei der Fi erfüllt sind.
Das ist äquivalent zu: es gibt σ, so dass (F1 ∧ F2 ∧ ¬F3) ∨ (F1 ∧ ¬F2 ∧ F3) ∨ (¬F1 ∧ F2 ∧ F3) gilt.
Aber ¬F3 bedeutet, dass für alle Erweiterungen? Nein, für die gegebene Belegung σ ist ¬F3 wahr, wenn σ erfüllt ¬F3, d.h. wenn σ nicht F3 erfüllt.
Also ist die Bedingung, dass σ erfüllt: (F1 ∧ F2 ∧ ¬F3) ∨ (F1 ∧ ¬F2 ∧ F3) ∨ (¬F1 ∧ F2 ∧ F3)
Diese Formel ist in der Aussagenlogik, aber nicht in KNF, und sie hat eine Größe, die linear in der Größe der Eingabe ist, da F1,F2,F3 gegeben sind.
Aber um ihre Erfüllbarkeit zu prüfen, müssen wir eine Formel über V haben, die diese Disjunktion ist.
Jedes der drei Konjunkte ist eine Konjunktion von F1, F2, etc., aber F1, F2, F3 sind selbst Formeln.
Die Gesamtformel ist also eine Disjunktion von Termen, wobei jeder Term eine Konjunktion von drei Teilformeln ist.
Um die Erfüllbarkeit dieser Formel zu prüfen, ist es nicht offensichtlich, dass es in P ist, da die Teilformeln komplex sein können.
Tatsächlich, da wir SAT auf diese Formel reduzieren können, wie oben gezeigt, ist sie NP-hart.
In unserer Reduktion haben wir gezeigt, dass SAT auf A reduzierbar ist, also ist A NP-hart.
Aber in der Reduktion haben wir eine neue Variable eingeführt, aber das ist erlaubt.
Gibt es ein Problem, wenn V leer ist? Wenn V leer ist und F eine Formel ohne Variablen, dann ist F entweder erfüllbar oder nicht, je nach Klauseln. Aber in unserem G3 mit neuer Variable, wenn V leer war, dann fügen wir y hinzu, also V'={y}, und G3 ist unerfüllbar. Wenn F erfüllbar ist (als konstante Formel), dann ist G1 erfüllbar, G2 erfüllbar, G3 nicht, also gibt es Belegung (y=0 oder y=1) die zwei erfüllt. Wenn F unerfüllbar, dann G1 und G2 unerfüllbar, G3 unerfüllbar, keine Belegung erfüllt zwei. Also funktioniert es.
Daher ist A NP-hart.
Jetzt die Frage: ist A in P? Wenn ja, müssten wir es auf ein Problem in P reduzieren, aber da es NP-hart ist, und wenn P≠NP, dann nicht, aber die Aufgabe verlangt nur, entweder in P oder NP-hart zu zeigen.
In diesem Fall haben wir gezeigt, dass es NP-hart ist, also wählen wir, dass es NP-hart ist.
Aber in der Reduktion haben wir SAT auf A reduziert, und SAT ist NP-vollständig, also ist A NP-hart.
Aber A könnte auch in NP sein, aber das ist nicht gefragt.
Für die Antwort: wir sagen, dass A NP-hart ist.
Also für die Optionen:
<option id="1">0</option> // für A in P, da 0 bedeutet wohl nein? Die Optionen sind:
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option> // wenn wir 1 setzen, heißt das, wir wählen diese Option, also dass es in P liegt.
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option> // wenn wir 1 setzen, heißt das, wir wählen diese Option.
Wir müssen eine der beiden auswählen.
Da wir gezeigt haben, dass es NP-hart ist, setzen wir:
<option id="1">0</option> // nicht in P
<option id="2">1</option> // NP-hart
Und dann die Reduktion angeben.
In der Reduktion: wir haben SAT auf A reduziert, aber in der Aufgabe steht, dass wir für NP-Härte ein bekanntes NP-hartes Problem auf A reduzieren, z.B. 3SAT.
Wir können 3SAT nehmen.
Also Reduktion: 3SAT ≤p A
Gegeben eine 3KNF-Formel F über Variablenmenge W.
Wir konstruieren drei KNF-Formeln G1, G2, G3 über einer Variablenmenge V, die W erweitert.
Setze V = W ∪ {y}, wobei y eine neue Variable.
Setze G1 = F
G2 = F
G3 = (y) ∧ (¬y) // das ist eine KNF-Formel mit zwei Klauseln: {y} und {¬y}
Korrektheit:
Wenn F erfüllbar ist, sei σ eine erfüllende Belegung für F. Erweitere σ zu σ' auf V, indem σ'(y) beliebig gesetzt wird, z.B. 0. Dann erfüllt σ' G1 (da F erfüllt), G2 (da F erfüllt), und G3 nicht (da y und ¬y im Widerspruch). Also erfüllt σ' genau zwei der drei Formeln.
Wenn F unerfüllbar ist, dann für jede Belegung τ:V→{0,1}, τ erfüllt weder G1 noch G2 (da F unerfüllbar), und τ erfüllt auch G3 nicht (da G3 unerfüllbar). Also erfüllt τ höchstens null oder? Null Formeln, also nicht genau zwei. Somit gibt es keine Belegung, die genau zwei erfüllt.
Daher ist F erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung gibt, die genau zwei der drei Formeln G1,G2,G3 erfüllt.
Die Reduktion ist polynomiell, da nur eine neue Variable hinzugefügt und Formeln kopiert werden.
Also ist A NP-hart.
Für die Antwort:
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{3SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine Instanz von $\mathsf{3SAT}$, d.h. eine 3KNF-Formel $F$ über Variablenmenge $W$. Wir konstruieren eine Instanz von $A$ wie folgt: Sei $V = W \cup \{y\}$ mit einer neuen Variable $y$. Setze $G_1 = F$, $G_2 = F$, und $G_3 = (y) \land (\neg y)$, wobei $(y) \land (\neg y)$ als KNF-Formel mit den beiden Klauseln $\{y\}$ und $\{\neg y\}$ dargestellt wird.
Korrektheit:
- Wenn $F$ erfüllbar ist, dann gibt es eine Belegung $\sigma$ für $W$, die $F$ erfüllt. Erweitere $\sigma$ zu $\sigma'$ auf $V$ durch Setzen von $\sigma'(y)=0$ (oder beliebig). Dann erfüllt $\sigma'$ sowohl $G_1$ als auch $G_2$, da sie gleich $F$ sind. Aber $\sigma'$ erfüllt $G_3$ nicht, da $G_3$ unerfüllbar ist. Also werden genau zwei Formeln erfüllt.
- Wenn $F$ unerfüllbar ist, dann gibt es keine Belegung, die $G_1$ oder $G_2$ erfüllt. Da $G_3$ ebenfalls unerfüllbar ist, gibt es keine Belegung, die irgendeine der Formeln erfüllt. Insbesondere gibt es keine Belegung, die genau zwei Formeln erfüllt.
Somit ist $F$ erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung gibt, die genau zwei der Formeln $G_1,G_2,G_3$ erfüllt.
</answer>
Das sollte passen.
Könnte man es ohne neue Variable machen? Zum Beispiel, wenn wir G3 als eine feste unerfüllbare Formel über V nehmen, aber wenn V leer ist, und F erfüllbar, aber wenn V leer, und F erfüllbar, dann brauchen wir eine unerfüllbare G3, aber wenn V leer, können wir keine unerfüllbare Formel machen, außer mit einer leeren Klausel. Aber in KNF, wenn V leer, ist eine Formel unerfüllbar genau dann, wenn sie die leere Klausel enthält. Also setze G3 als die Formel, die nur die leere Klausel enthält. Dann ist G3 unerfüllbar. Und wenn V leer, und F erfüllbar, dann G1 und G2 erfüllbar, G3 nicht. Wenn F unerfüllbar, dann G1 und G2 unerfüllbar, G3 unerfüllbar. Also funktioniert es auch ohne neue Variable, indem wir G3 als die unerfüllbare KNF-Formel setzen (mit der leeren Klausel). Aber die leere Klausel ist in der KNF-Darstellung erlaubt. Und wenn V nicht leer, können wir immer die leere Klausel hinzufügen, aber eine Formel mit leerer Klausel ist unerfüllbar, egal was. Also können wir G3 als eine feste unerfüllbare KNF-Formel setzen, z.B. die Formel, die aus einer leeren Klausel besteht. In der Praxis, in der Reduktion, können wir G3 als eine Konstante setzen, die immer unerfüllbar ist.
In der Eingabe müssen die Formeln KNF sein, und die leere Klausel ist erlaubt. Also setze G3 = \bot, dargestellt als KNF mit einer leeren Klausel.
Dann brauchen wir keine neue Variable.
In der Reduktion: G1 = F, G2 = F, G3 = \bot (unerfüllbare Formel).
Variablenmenge V bleibt gleich.
Wenn F erfüllbar, dann gibt es σ, das F erfüllt, also G1 und G2 erfüllt, G3 nicht, also genau zwei.
Wenn F unerfüllbar, dann keine Belegung erfüllt G1 oder G2, und G3 nicht, also null.
Perfekt, und keine neue Variable nötig.
Das ist sogar einfacher.
In der Begründung können wir das angeben.
Also:
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{3SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine 3KNF-Formel $F$ über Variablenmenge $W$. Wir konstruieren eine Instanz von $A$: Sei $V = W$ (dieselben Variablen). Setze $F_1 = F$, $F_2 = F$, und $F_3 = \bot$, wobei $\bot$ die unerfüllbare KNF-Formel ist, dargestellt durch eine einzelne leere Klausel (oder äquivalent, eine Formel, die immer falsch ist).
Korrektheit:
- Wenn $F$ erfüllbar ist, dann gibt es eine Belegung $\sigma$ für $V$, die $F$ erfüllt. Dann erfüllt $\sigma$ sowohl $F_1$ als auch $F_2$, aber nicht $F_3$ (da $F_3$ unerfüllbar). Also werden genau zwei der drei Formeln erfüllt.
- Wenn $F$ unerfüllbar ist, dann gibt es keine Belegung, die $F_1$ oder $F_2$ erfüllt. Da $F_3$ auch unerfüllbar ist, erfüllt keine Belegung irgendeine der Formeln. Insbesondere gibt es keine Belegung, die genau zwei Formeln erfüllt.
Somit ist $F$ erfüllbar genau dann, wenn die Instanz $(F_1,F_2,F_3)$ eine positive Instanz von $A$ ist.
</answer>
Ja, das ist gut.
In der Problemstellung heißen die Formeln F1,F2,F3, aber in der Reduktion setzen wir sie als F1,F2,F3, aber in der Eingabe für A sind es drei Formeln, die wir hier als F1=F, F2=F, F3=⊥ setzen.
Also klar.
Somit ist die Antwort.
Answer
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{3SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine Instanz von $\mathsf{3SAT}$, d.h. eine 3KNF-Formel $F$ über einer Variablenmenge $W$. Wir konstruieren eine Instanz von $A$ wie folgt: Die Variablenmenge sei $V = W$. Definiere die drei KNF-Formeln:
- $F_1 = F$
- $F_2 = F$
- $F_3 = \bot$, wobei $\bot$ die unerfüllbare KNF-Formel ist, dargestellt durch eine einzelne leere Klausel (d.h., $F_3$ ist für alle Belegungen falsch).
Korrektheit der Reduktion:
- **Wenn $F$ erfüllbar ist:** Dann existiert eine Belegung $\sigma: V \to \{0,1\}$, die $F$ erfüllt. Da $F_1 = F$ und $F_2 = F$, erfüllt $\sigma$ sowohl $F_1$ als auch $F_2$. Da $F_3 = \bot$ unerfüllbar ist, erfüllt $\sigma$ $F_3$ nicht. Somit erfüllt $\sigma$ genau zwei der drei Formeln ($F_1$ und $F_2$).
- **Wenn $F$ unerfüllbar ist:** Dann gibt es keine Belegung, die $F$ erfüllt, also erfüllt keine Belegung $F_1$ oder $F_2$. Zusätzlich ist $F_3 = \bot$ unerfüllbar, also erfüllt keine Belegung $F_3$. Daher erfüllt jede Belegung höchstens null Formeln (insbesondere nicht genau zwei).
Somit ist $F$ erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung gibt, die genau zwei der Formeln $F_1, F_2, F_3$ erfüllt. Die Reduktion ist polynomiell, da die Konstruktion nur das Kopieren von $F$ und das Erstellen der konstanten unerfüllbaren Formel $F_3$ erfordert.
</answer>
Gegeben: Drei KNF-Formeln mit Variablen aus . Problem : Gibt es eine Belegung , die genau zwei der drei Formeln erfüllt?
☐☒ ist -hart
Reduktion: Begründung: Gegeben eine Instanz von , d.h. eine 3KNF-Formel über einer Variablenmenge . Wir konstruieren eine Instanz von wie folgt: Die Variablenmenge sei . Definiere die drei KNF-Formeln: - - - , wobei die unerfüllbare KNF-Formel ist, dargestellt durch eine einzelne leere Klausel (d.h., ist für alle Belegungen falsch). Korrektheit der Reduktion: - Wenn erfüllbar ist: Dann existiert eine Belegung , die erfüllt. Da und , erfüllt sowohl als auch . Da unerfüllbar ist, erfüllt nicht. Somit erfüllt genau zwei der drei Formeln ( und ). - Wenn unerfüllbar ist: Dann gibt es keine Belegung, die erfüllt, also erfüllt keine Belegung oder . Zusätzlich ist unerfüllbar, also erfüllt keine Belegung . Daher erfüllt jede Belegung höchstens null Formeln (insbesondere nicht genau zwei). Somit ist erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung gibt, die genau zwei der Formeln erfüllt. Die Reduktion ist polynomiell, da die Konstruktion nur das Kopieren von und das Erstellen der konstanten unerfüllbaren Formel erfordert.
Subproblem b (8.0/8.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{3SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine Instanz von $\mathsf{3SAT}$, d.h. eine 3KNF-Formel $F$ über einer Variablenmenge $W$. Wir konstruieren eine Instanz von $A$ wie folgt: Die Variablenmenge sei $V = W$. Definiere die drei KNF-Formeln:
- $F_1 = F$
- $F_2 = F$
- $F_3 = \bot$, wobei $\bot$ die unerfüllbare KNF-Formel ist, dargestellt durch eine einzelne leere Klausel (d.h., $F_3$ ist für alle Belegungen falsch).
Korrektheit der Reduktion:
- **Wenn $F$ erfüllbar ist:** Dann existiert eine Belegung $\sigma: V \to \{0,1\}$, die $F$ erfüllt. Da $F_1 = F$ und $F_2 = F$, erfüllt $\sigma$ sowohl $F_1$ als auch $F_2$. Da $F_3 = \bot$ unerfüllbar ist, erfüllt $\sigma$ $F_3$ nicht. Somit erfüllt $\sigma$ genau zwei der drei Formeln ($F_1$ und $F_2$).
- **Wenn $F$ unerfüllbar ist:** Dann gibt es keine Belegung, die $F$ erfüllt, also erfüllt keine Belegung $F_1$ oder $F_2$. Zusätzlich ist $F_3 = \bot$ unerfüllbar, also erfüllt keine Belegung $F_3$. Daher erfüllt jede Belegung höchstens null Formeln (insbesondere nicht genau zwei).
Somit ist $F$ erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung gibt, die genau zwei der Formeln $F_1, F_2, F_3$ erfüllt. Die Reduktion ist polynomiell, da die Konstruktion nur das Kopieren von $F$ und das Erstellen der konstanten unerfüllbaren Formel $F_3$ erfordert.
</answer>
user:
## subproblem b (8.0 points)
**Gegeben:** Eine 2KNF-Formel $F$ mit Variablenmenge $V=\{x_1, ..., x_n\}$, eine Menge $\{1, ..., l\}$ von Farben (mit $l>0$) und eine Funktion $g: V \to \{1 ,...,l\}$, die jeder Variable eine Farbe zuordnet.
**Problem $A$:** Gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma$, sodass alle Variablen, die von $\sigma$ zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$ mit $g(x_i) \neq g(x_j)$ für alle $i<j \leq n$ mit $\sigma(x_i)=1= \sigma(x_j)$?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Wir haben ein Problem A, das wie folgt definiert ist:
- Eingabe: Eine 2KNF-Formel F über Variablen V={x1,...,xn}, eine Menge von Farben {1,...,l} (l>0) und eine Funktion g: V → {1,...,l}, die jeder Variable eine Farbe zuordnet.
- Frage: Gibt es eine erfüllende Belegung σ von F, so dass für alle Paare von Variablen, die auf 1 gesetzt sind, sie unterschiedliche Farben haben? Das heißt, wenn σ(xi)=1 und σ(xj)=1, dann muss g(xi) ≠ g(xj) sein.
Wir müssen entscheiden, ob A in P liegt oder NP-hart ist.
Zuerst überlegen wir, ob A in P liegt. Dazu müssten wir einen polynomiellen Algorithmus angeben oder eine Reduktion auf ein Problem in P.
Alternativ, wenn es NP-hart ist, müssen wir eine Reduktion von einem bekannten NP-harten Problem auf A angeben.
Betrachten wir die Anforderungen:
- F ist in 2KNF, also können wir die Erfüllbarkeit von F in Polynomzeit entscheiden (2SAT ist in P).
- Zusätzlich haben wir eine Farbbedingung: Die Variablen, die auf 1 gesetzt sind, müssen alle unterschiedliche Farben haben.
Die Farbbedingung ähnelt einer Färbungsbedingung: Die Menge der Variablen, die auf 1 gesetzt sind, muss eine unabhängige Menge in einem Konfliktgraphen sein, wobei ein Konflikt zwischen Variablen besteht, die die gleiche Farbe haben.
Genauer: Wenn zwei Variablen die gleiche Farbe haben, können sie nicht beide auf 1 gesetzt werden. Also, für jede Farbe c, können höchstens eine Variable mit Farbe c auf 1 gesetzt werden.
Tatsächlich: Die Bedingung ist, dass die Menge S = {x | σ(x)=1} eine Menge ist, in der keine zwei Variablen dieselbe Farbe haben. Das bedeutet, dass S höchstens eine Variable pro Farbe enthält. Also ist S eine Teilmenge von V, die jede Farbe höchstens einmal enthält.
Nun, die Frage ist, ob es eine solche Menge S gibt, die:
1. Die 2KNF-Formel F erfüllt, und
2. S enthält für jede Farbe höchstens eine Variable.
Aber beachte: S definiert eine partielle Belegung, indem die Variablen in S auf 1 gesetzt werden, und die anderen? Die Bedingung sagt nichts über die Variablen, die auf 0 gesetzt sind. In der Belegung können Variablen auf 0 oder 1 gesetzt sein, aber nur die auf 1 gesetzten müssen die Farbbedingung erfüllen.
In der Definition: "alle Variablen, die von σ zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben". Also nur die auf 1 gesetzten Variablen müssen paarweise verschiedene Farben haben.
Nun, um zu entscheiden, ob A in P oder NP-hart ist.
Erstens: Wenn es keine Farbbedingung gäbe, dann wäre es nur 2SAT, was in P ist. Aber mit der zusätzlichen Bedingung, dass die auf 1 gesetzten Variablen alle verschiedene Farben haben, wird es schwieriger.
Beachte, dass die Farbbedingung wie eine "at-most-one" Bedingung pro Farbe ist. Für jede Farbe, können wir höchstens eine Variable auswählen, die diese Farbe hat und auf 1 setzen.
Also, das Problem ähnelt der Auswahl einer Menge von Variablen, die F erfüllen, mit der Einschränkung, dass für jede Farbe höchstens eine Variable gewählt wird.
Wir können dies als ein Constraint Satisfaction Problem sehen.
Eine Möglichkeit: Wir können eine neue Formel konstruieren, die die Farbbedingungen mit einbezieht.
Die Farbbedingung: Für jede Farbe c, und für jedes Paar von verschiedenen Variablen xi, xj mit g(xi)=g(xj)=c, müssen wir sicherstellen, dass nicht beide auf 1 gesetzt werden. Das heißt, für jedes solche Paar, muss gelten: ¬(xi ∧ xj), was äquivalent ist zu (¬xi ∨ ¬xj).
Da F bereits in 2KNF ist, und (¬xi ∨ ¬xj) ist eine 2-Klausel, können wir diese Klauseln zu F hinzufügen.
Genauer: Für jede Farbe c, betrachte alle Variablen mit g(x)=c. Wenn es k Variablen mit Farbe c gibt, dann müssen wir für jedes Paar i<j von solchen Variablen die Klausel (¬xi ∨ ¬xj) hinzufügen, um sicherzustellen, dass höchstens eine von ihnen auf 1 gesetzt wird.
Dann ist die resultierende Formel F' = F ∧ (alle diese paarweisen Klauseln).
Dann ist die Frage: Ist F' erfüllbar? Denn wenn es eine Belegung gibt, die F' erfüllt, dann erfüllt sie F und erfüllt die Bedingung, dass für jede Farbe höchstens eine Variable auf 1 gesetzt ist (weil die paarweisen Klauseln sicherstellen, dass keine zwei gleichen Farben beide 1 sind).
Umgekehrt, wenn es eine Belegung gibt, die F erfüllt und die Farbbedingung erfüllt, dann erfüllt sie auch die zusätzlichen Klauseln, also F'.
F' ist eine KNF-Formel, aber was ist ihre Klausellänge? Die Klauseln, die wir hinzufügen, sind alle der Größe 2, also ist F' in KNF, aber die Anzahl der Klauseln könnte groß sein.
Für eine Farbe c mit m Variablen, gibt es binom(m,2) Paare, also O(m^2) Klauseln. Insgesamt, wenn l Farben, und n Variablen, dann ist die Gesamtzahl der hinzugefügten Klauseln höchstens sum_{c} binom(m_c,2) ≤ binom(n,2) = O(n^2), da die Summe der m_c gleich n ist.
Also ist die Größe von F' polynomiell in der Größe der Eingabe.
F' ist eine KNF-Formel, aber nicht unbedingt 2KNF? F ist 2KNF, und wir fügen nur 2-Klauseln hinzu, also ist F' auch eine 2KNF-Formel.
2KNF bedeutet, dass jede Klausel höchstens zwei Literale hat. Die hinzugefügten Klauseln (¬xi ∨ ¬xj) haben genau zwei Literale, also ja, F' ist eine 2KNF-Formel.
Und 2SAT ist in P. Also können wir in Polynomzeit entscheiden, ob F' erfüllbar ist.
Und F' ist erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung gibt, die F erfüllt und die Farbbedingung erfüllt.
Also ist das Problem A in P.
Aber ist das korrekt?
Die Farbbedingung in A ist: alle Variablen, die auf 1 gesetzt sind, haben unterschiedliche Farben. Das bedeutet, dass für jede Farbe, höchstens eine Variable auf 1 gesetzt ist. Und genau das wird durch die hinzugefügten Klauseln (¬xi ∨ ¬xj) für jedes Paar gleicher Farbe sichergestellt.
Denn wenn zwei Variablen gleicher Farbe beide auf 1 gesetzt wären, dann wäre (¬xi ∨ ¬xj) verletzt.
Und wenn es keine zwei gleichen Farben auf 1 gibt, dann sind alle diese Klauseln erfüllt.
Also ja.
Daher ist A in P.
Aber die Aufgabe sagt: "um zu zeigen, dass A in P liegt, geben Sie eine Reduktion A ≤p B für ein B in P an".
Also müssen wir eine Reduktion angeben.
Wir können reduzieren auf 2SAT, da 2SAT in P ist.
Reduktion: Gegeben eine Instanz von A (F, g, l), konstruieren wir eine 2KNF-Formel F' wie oben: F' = F ∧ { (¬x_i ∨ ¬x_j) | für jedes Paar i,j mit i≠j und g(x_i)=g(x_j) }
Dann ist die Instanz von 2SAT: Ist F' erfüllbar?
Und wie oben begründet, ist dies äquivalent.
Die Reduktion ist polynomiell, da F' in Polynomzeit konstruiert werden kann.
Also, A ≤p 2SAT, und 2SAT in P, also A in P.
Daher ist A nicht NP-hart, es sei denn P=NP.
Also für die Optionen:
<option id="1">1</option> (da A in P)
<option id="2">0</option> (nicht NP-hart)
Aber die Optionen sind:
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option> → das wählen wir, also 1
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option> → nein, also 0
Jetzt die Antwort:
Reduktion: $A \le_p \mathsf{2SAT}$
Begründung: Wir reduzieren A auf 2SAT. Gegeben eine Instanz von A: eine 2KNF-Formel F, eine Farbmenge {1,...,l}, und eine Färbung g: V → {1,...,l}. Wir konstruieren eine 2KNF-Formel F' wie folgt: F' = F ∧ \bigwedge_{1 \leq i < j \leq n, g(x_i)=g(x_j)} (\neg x_i \lor \neg x_j)
Dann ist F' erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung gibt, die F erfüllt und für die alle Variablen, die auf 1 gesetzt sind, unterschiedliche Farben haben. Denn die zusätzlichen Klauseln stellen sicher, dass für jede Farbe höchstens eine Variable auf 1 gesetzt ist. Da F' eine 2KNF-Formel ist, können wir die Erfüllbarkeit in Polynomzeit entscheiden. Die Konstruktion von F' ist polynomiell, da die Anzahl der hinzugefügten Klauseln O(n^2) ist.
Also ist A auf 2SAT reduzierbar und da 2SAT in P, liegt A in P.
Beachte: Die Eingabe für 2SAT ist nur die Formel F', die wir konstruieren.
In der Reduktion müssen wir angeben, auf welches Problem wir reduzieren. Hier 2SAT.
In der Vorlage: Reduktion: ? ≤p ?
Wir reduzieren A auf 2SAT, also A ≤p 2SAT.
Korrekt.
Gibt es ein Problem? Die Farbmenge und g werden nicht direkt in F' übergeben, aber wir verwenden g nur, um die Klauseln zu generieren, und danach brauchen wir g nicht mehr. Die Instanz von 2SAT ist nur die Formel F'.
Also ja.
Wir könnten auch auf ein anderes Problem in P reduzieren, aber 2SAT ist hier passend.
Also, Antwort:
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktion: $A \le_p \mathsf{2SAT}$
Begründung:
Gegeben eine Instanz von $A$: eine 2KNF-Formel $F$ über Variablen $V = \{x_1, \dots, x_n\}$, eine Farbmenge $\{1, \dots, l\}$ und eine Färbung $g: V \to \{1, \dots, l\}$. Wir konstruieren eine 2KNF-Formel $F'$ wie folgt:
\[
F' = F \land \bigwedge_{\substack{1 \leq i < j \leq n \\ g(x_i) = g(x_j)}} (\neg x_i \lor \neg x_j)
\]
Die zusätzlichen Klauseln $(\neg x_i \lor \neg x_j)$ für jedes Paar von Variablen $x_i, x_j$ mit gleicher Farbe ($g(x_i) = g(x_j)$) stellen sicher, dass höchstens eine Variable pro Farbe auf $1$ gesetzt werden kann.
- **Korrektheit:**
- Wenn es eine erfüllende Belegung $\sigma$ für $F$ gibt, die die Farbbedingung erfüllt (d.h., alle auf $1$ gesetzten Variablen haben unterschiedliche Farben), dann erfüllt $\sigma$ auch $F'$, da $F$ erfüllt ist und keine zwei Variablen gleicher Farbe beide auf $1$ gesetzt sind, sodass alle hinzugefügten Klauseln erfüllt sind.
- Wenn $F'$ erfüllbar ist, dann erfüllt eine erfüllende Belegung $\sigma$ sowohl $F$ als auch die zusätzlichen Klauseln. Letztere garantieren, dass für keine Farbe zwei Variablen beide auf $1$ gesetzt sind, sodass die Farbbedingung erfüllt ist.
Die Reduktion ist polynomiell, da die Anzahl der hinzugefügten Klauseln durch $\binom{n}{2} = O(n^2)$ beschränkt ist und jede Klausel in konstanter Zeit konstruiert werden kann. Da $\mathsf{2SAT} \in \mathsf{P}$, folgt $A \in \mathsf{P}$.
</answer>
Gegeben: Eine 2KNF-Formel mit Variablenmenge , eine Menge von Farben (mit ) und eine Funktion , die jeder Variable eine Farbe zuordnet. Problem : Gibt es eine erfüllende Belegung , sodass alle Variablen, die von zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung mit für alle mit ?
☒☐ ist -hart
Reduktion: Begründung: Gegeben eine Instanz von : eine 2KNF-Formel über Variablen , eine Farbmenge und eine Färbung . Wir konstruieren eine 2KNF-Formel wie folgt: Die zusätzlichen Klauseln für jedes Paar von Variablen mit gleicher Farbe () stellen sicher, dass höchstens eine Variable pro Farbe auf gesetzt werden kann. - Korrektheit: - Wenn es eine erfüllende Belegung für gibt, die die Farbbedingung erfüllt (d.h., alle auf gesetzten Variablen haben unterschiedliche Farben), dann erfüllt auch , da erfüllt ist und keine zwei Variablen gleicher Farbe beide auf gesetzt sind, sodass alle hinzugefügten Klauseln erfüllt sind. - Wenn erfüllbar ist, dann erfüllt eine erfüllende Belegung sowohl als auch die zusätzlichen Klauseln. Letztere garantieren, dass für keine Farbe zwei Variablen beide auf gesetzt sind, sodass die Farbbedingung erfüllt ist. Die Reduktion ist polynomiell, da die Anzahl der hinzugefügten Klauseln durch beschränkt ist und jede Klausel in konstanter Zeit konstruiert werden kann. Da , folgt .
google/gemini-2.5-pro
Exercise 7: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme entweder, dass es in liegt, oder, dass es -hart ist. Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit. Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen. Achtung: Auch um zu zeigen, dass das Problem in liegt, ist eine Reduktion anzugeben! Hinweis: Um zu zeigen, dass ein Problem in liegt, geben Sie eine Reduktion für ein an, reduzieren Sie also auf ein Problem , von dem wir wissen, dass es in liegt, z.B. oder . Um zu zeigen, dass ein Problem -hart ist, geben Sie eine Reduktion an, wobei ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa , , oder .
Subproblem a (6.0/6.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
**Evaluating Problem Complexity** I've been wrestling with Problem A and its computational complexity. Initially, I leaned towards an NP-hardness proof, given the CNF formula inputs. However, I'm now exploring potential polynomial-time reductions from known P problems to see if that can establish membership in P. **Assessing Formula Satisfiability** I've shifted my focus to the core satisfiability questions embedded within problem A. Breaking down the "exactly two" condition has yielded three distinct scenarios, each involving a combination of formula satisfiability and unsatisfiability. I'm now evaluating how the complexity of individually testing these scenarios affects the problem's overall classification. **Reframing Satisfiability Strategies** Okay, so I've formally defined the conditions for a valid assignment using logical expressions. Simplifying further, the problem boils down to the satisfiability of three distinct formulas, each combining original CNF formulas with their negations. My challenge now is efficiently handling the negation's impact on formula type and exploring potential transformations. **Formulating Reduction Approach** I'm now attempting a reduction strategy. The core idea is to efficiently translate Problem A's conditions into SAT instances. I see that the negation of a CNF formula creates a DNF formula which necessitates transformation into CNF. This conversion has significant implications on clause expansion and thus, the final problem complexity. **Constructing Equivalent CNF Formulas** I'm in the process of determining the complexity of Problem A and am now focused on converting the logical expressions into CNF. The key is negating the CNF formulas, resulting in DNF formulas that must be transformed. This involves introducing new variables and converting the equivalences into CNF clauses. I've verified that these transformations are of polynomial size relative to the inputs. **Formulating the Reduction Strategy** My approach now revolves around constructing polynomial-sized CNF formulas from the given input. I'm creating equivalent CNF representations for the core logic of Problem A. The negation of the original CNF formulas is a DNF, which I have to convert back to CNF. This conversion, along with combining formulas, will form the basis for the SAT calls. **Implementing SAT Oracle Calls** I've formulated the conditions for a successful reduction. By leveraging the CNF conversion, I can now apply a SAT oracle to the three generated formulas. Essentially, if any of these SAT instances returns "true," I know the original problem has a valid solution. **Establishing NP-Hardness** I've confirmed the reduction's validity. Reducing a known NP-complete problem, SAT, to problem A allows me to show that problem A is indeed NP-hard. By carefully choosing formulas, I've managed to encode the satisfiability of a CNF formula within the "exactly two" constraint. **Refining NP-Hardness Proof** Okay, so I've rigorously proven the NP-hardness of Problem A. Reducing SAT to Problem A was the core of the solution. The crucial step involved constructing tautologies and contradictions alongside the original formula. I've confirmed the construction is polynomial and its correctness is irrefutable. I am confident that Problem A is NP-hard. **Proving NP-Hardness Finalized** I've completed the NP-hardness proof. By leveraging a reduction from SAT to Problem A, I've established that Problem A is at least as hard as a canonical NP-complete problem. The core of the proof rests on constructing an instance where the "exactly two" condition reflects the original formula's satisfiability. This proves the final result. **Analyzing the Problem Structure** I'm now confident in my understanding of the problem's structure. The core lies in the relationships between satisfiability and unsatisfiability across the three CNF formulas. The reduction approach, as I have written, reduces the problem to evaluating the satisfiability of three other formulas. **Synthesizing Reduction Strategy** I've outlined the reduction, focusing on transforming SAT instances into an equivalent "exactly two" problem. I am confident that the construction from the SAT formula is correct and that proving NP-hardness of Problem A is nearly complete. **Defining Reduction and Correctness** After refining the NP-hardness proof, I'm documenting the full reduction. This centers on transforming SAT instances into equivalent "exactly two" instances. The proof hinges on the equivalence between a satisfying assignment for the SAT formula and the "exactly two" condition of the generated formulas. The correctness argument is the key.
Answer
<options>
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
</options>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Wir zeigen, dass das Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, indem wir das bekannte $\mathsf{NP}$-harte Problem $\mathsf{SAT}$ polynomiell auf $A$ reduzieren.
Sei $\Phi$ eine beliebige KNF-Formel über einer Variablenmenge $V$, die eine Instanz von $\mathsf{SAT}$ ist. Wir konstruieren daraus eine Instanz von Problem $A$, also drei KNF-Formeln $(F_1, F_2, F_3)$, wie folgt:
- $F_1 := \Phi$
- $F_2 := (x \lor \neg x)$, wobei $x$ eine beliebige Variable ist (z.B. eine aus $V$ oder eine neue). Dies ist eine Tautologie.
- $F_3 := (x \land \neg x)$, was der KNF-Formel $(x) \land (\neg x)$ entspricht. Dies ist ein Widerspruch.
Diese Reduktion ist in Polynomialzeit durchführbar, da die erzeugten Formeln $F_2$ und $F_3$ konstante Größe haben und $F_1$ einfach die Eingabeformel $\Phi$ ist.
**Korrektheit der Reduktion:**
Wir müssen zeigen, dass $\Phi$ genau dann erfüllbar ist, wenn es eine Belegung $\sigma$ gibt, die genau zwei der Formeln $F_1, F_2, F_3$ erfüllt.
($\Rightarrow$) Angenommen, $\Phi$ ist erfüllbar. Sei $\sigma$ eine erfüllende Belegung für $\Phi$.
- $\sigma$ erfüllt $F_1$, da $F_1 = \Phi$.
- $\sigma$ erfüllt $F_2$, da $F_2$ eine Tautologie ist und von jeder Belegung erfüllt wird.
- $\sigma$ erfüllt $F_3$ nicht, da $F_3$ ein Widerspruch ist und von keiner Belegung erfüllt werden kann.
Somit erfüllt $\sigma$ genau zwei Formeln, nämlich $F_1$ und $F_2$. Die Antwort für die Instanz $(F_1, F_2, F_3)$ von Problem $A$ ist also "Ja".
($\Leftarrow$) Angenommen, es gibt eine Belegung $\sigma$, die genau zwei der Formeln $F_1, F_2, F_3$ erfüllt. Es gibt drei Möglichkeiten:
1. $\sigma$ erfüllt $F_1$ und $F_2$, aber nicht $F_3$. Da $\sigma$ die Formel $F_1 = \Phi$ erfüllt, ist $\Phi$ erfüllbar.
2. $\sigma$ erfüllt $F_1$ und $F_3$, aber nicht $F_2$. Dieser Fall kann nicht eintreten, da keine Belegung die widersprüchliche Formel $F_3$ erfüllen kann.
3. $\sigma$ erfüllt $F_2$ und $F_3$, aber nicht $F_1$. Dieser Fall kann ebenfalls nicht eintreten, da $F_3$ unerfüllbar ist.
Da nur der erste Fall möglich ist, muss $\Phi$ erfüllbar sein, wenn die Instanz von $A$ eine "Ja"-Instanz ist.
Zusammenfassend ist $\Phi$ genau dann erfüllbar, wenn die konstruierte Instanz von $A$ eine "Ja"-Antwort hat. Da $\mathsf{SAT}$ $\mathsf{NP}$-hart ist, ist somit auch das Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart.
</answer>
Gegeben: Drei KNF-Formeln mit Variablen aus . Problem : Gibt es eine Belegung , die genau zwei der drei Formeln erfüllt?
☐☒ ist -hart
Reduktion: Begründung: Wir zeigen, dass das Problem -hart ist, indem wir das bekannte -harte Problem polynomiell auf reduzieren. Sei eine beliebige KNF-Formel über einer Variablenmenge , die eine Instanz von ist. Wir konstruieren daraus eine Instanz von Problem , also drei KNF-Formeln , wie folgt: - - , wobei eine beliebige Variable ist (z.B. eine aus oder eine neue). Dies ist eine Tautologie. - , was der KNF-Formel entspricht. Dies ist ein Widerspruch. Diese Reduktion ist in Polynomialzeit durchführbar, da die erzeugten Formeln und konstante Größe haben und einfach die Eingabeformel ist. Korrektheit der Reduktion: Wir müssen zeigen, dass genau dann erfüllbar ist, wenn es eine Belegung gibt, die genau zwei der Formeln erfüllt. () Angenommen, ist erfüllbar. Sei eine erfüllende Belegung für . - erfüllt , da . - erfüllt , da eine Tautologie ist und von jeder Belegung erfüllt wird. - erfüllt nicht, da ein Widerspruch ist und von keiner Belegung erfüllt werden kann. Somit erfüllt genau zwei Formeln, nämlich und . Die Antwort für die Instanz von Problem ist also "Ja". () Angenommen, es gibt eine Belegung , die genau zwei der Formeln erfüllt. Es gibt drei Möglichkeiten: 1. erfüllt und , aber nicht . Da die Formel erfüllt, ist erfüllbar. 2. erfüllt und , aber nicht . Dieser Fall kann nicht eintreten, da keine Belegung die widersprüchliche Formel erfüllen kann. 3. erfüllt und , aber nicht . Dieser Fall kann ebenfalls nicht eintreten, da unerfüllbar ist. Da nur der erste Fall möglich ist, muss erfüllbar sein, wenn die Instanz von eine "Ja"-Instanz ist. Zusammenfassend ist genau dann erfüllbar, wenn die konstruierte Instanz von eine "Ja"-Antwort hat. Da -hart ist, ist somit auch das Problem -hart.
Subproblem b (8.0/8.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<options>
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
</options>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Wir zeigen, dass das Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, indem wir das bekannte $\mathsf{NP}$-harte Problem $\mathsf{SAT}$ polynomiell auf $A$ reduzieren.
Sei $\Phi$ eine beliebige KNF-Formel über einer Variablenmenge $V$, die eine Instanz von $\mathsf{SAT}$ ist. Wir konstruieren daraus eine Instanz von Problem $A$, also drei KNF-Formeln $(F_1, F_2, F_3)$, wie folgt:
- $F_1 := \Phi$
- $F_2 := (x \lor \neg x)$, wobei $x$ eine beliebige Variable ist (z.B. eine aus $V$ oder eine neue). Dies ist eine Tautologie.
- $F_3 := (x \land \neg x)$, was der KNF-Formel $(x) \land (\neg x)$ entspricht. Dies ist ein Widerspruch.
Diese Reduktion ist in Polynomialzeit durchführbar, da die erzeugten Formeln $F_2$ und $F_3$ konstante Größe haben und $F_1$ einfach die Eingabeformel $\Phi$ ist.
**Korrektheit der Reduktion:**
Wir müssen zeigen, dass $\Phi$ genau dann erfüllbar ist, wenn es eine Belegung $\sigma$ gibt, die genau zwei der Formeln $F_1, F_2, F_3$ erfüllt.
($\Rightarrow$) Angenommen, $\Phi$ ist erfüllbar. Sei $\sigma$ eine erfüllende Belegung für $\Phi$.
- $\sigma$ erfüllt $F_1$, da $F_1 = \Phi$.
- $\sigma$ erfüllt $F_2$, da $F_2$ eine Tautologie ist und von jeder Belegung erfüllt wird.
- $\sigma$ erfüllt $F_3$ nicht, da $F_3$ ein Widerspruch ist und von keiner Belegung erfüllt werden kann.
Somit erfüllt $\sigma$ genau zwei Formeln, nämlich $F_1$ und $F_2$. Die Antwort für die Instanz $(F_1, F_2, F_3)$ von Problem $A$ ist also "Ja".
($\Leftarrow$) Angenommen, es gibt eine Belegung $\sigma$, die genau zwei der Formeln $F_1, F_2, F_3$ erfüllt. Es gibt drei Möglichkeiten:
1. $\sigma$ erfüllt $F_1$ und $F_2$, aber nicht $F_3$. Da $\sigma$ die Formel $F_1 = \Phi$ erfüllt, ist $\Phi$ erfüllbar.
2. $\sigma$ erfüllt $F_1$ und $F_3$, aber nicht $F_2$. Dieser Fall kann nicht eintreten, da keine Belegung die widersprüchliche Formel $F_3$ erfüllen kann.
3. $\sigma$ erfüllt $F_2$ und $F_3$, aber nicht $F_1$. Dieser Fall kann ebenfalls nicht eintreten, da $F_3$ unerfüllbar ist.
Da nur der erste Fall möglich ist, muss $\Phi$ erfüllbar sein, wenn die Instanz von $A$ eine "Ja"-Instanz ist.
Zusammenfassend ist $\Phi$ genau dann erfüllbar, wenn die konstruierte Instanz von $A$ eine "Ja"-Antwort hat. Da $\mathsf{SAT}$ $\mathsf{NP}$-hart ist, ist somit auch das Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart.
</answer>
user:
## subproblem b (8.0 points)
**Gegeben:** Eine 2KNF-Formel $F$ mit Variablenmenge $V=\{x_1, ..., x_n\}$, eine Menge $\{1, ..., l\}$ von Farben (mit $l>0$) und eine Funktion $g: V \to \{1 ,...,l\}$, die jeder Variable eine Farbe zuordnet.
**Problem $A$:** Gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma$, sodass alle Variablen, die von $\sigma$ zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$ mit $g(x_i) \neq g(x_j)$ für alle $i<j \leq n$ mit $\sigma(x_i)=1= \sigma(x_j)$?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
**Analyzing Problem Complexity**
I've been reviewing the characteristics of Problem A, focusing on its input parameters, particularly the 2-CNF formula and the set of colors. My current focus is on identifying potential algorithms for solving the problem, considering the constraints imposed by the input and the goal of efficiently determining if a solution exists.
**Considering Algorithm Possibilities**
I'm now breaking down the problem by assessing the impact of the satisfiability and coloring constraints. The polynomial-time solvability of the 2-SAT component is a key advantage. However, the coloring constraint, which requires an independent set within a graph induced by the color assignments, adds a layer of complexity. I need to determine if this combined condition remains tractable.
**Revisiting Formula Formulation**
The analysis has progressed to a concrete logical representation. I've reframed the problem as a conjunction of the original 2-CNF formula and additional clauses derived from the coloring constraint, namely $(\neg x_i \lor \neg x_j)$ for same-colored variables. The critical step now is to determine the complexity of this combined formula: can this augmented formula still be solved in polynomial time, or is there a possibility that the additional constraints push the problem into NP-hard territory?
**Formulating the Problem Formally**
I'm now formalizing the reduction from Problem A to 2-SAT. The construction of the augmented 2-CNF formula, denoted as F', is proving relatively straightforward. It involves adding clauses based on the coloring function to enforce the independence constraint in the graph induced by the color assignments. I'm also documenting the polynomial time reduction for completeness and to show the reduction is computationally efficient.
**Confirming P-Completeness**
I'm formalizing the polynomial-time reduction and verifying the problem is indeed in P. We have established that the augmented formula, $F'$, constructed by adding clauses that reflect the coloring constraints, is still a 2-CNF formula. Because we know 2-SAT is solvable in polynomial time, the entire problem is also in P. I will provide the details on the complexity and demonstrate the reduction is in polynomial time and is therefore computationally efficient.
**Verifying Correctness of Reduction**
I've successfully completed the polynomial-time reduction, and am now focused on proving its correctness. I'm working on demonstrating the equivalence of the problem's solution and the satisfiability of the augmented 2-CNF formula, $F'$. My next step is to definitively show both directions of the "if and only if" proof hold, which is critical for concluding the problem belongs to P.
**Formalizing the Problem Solution**
I've now meticulously documented the correctness proof for the polynomial-time reduction, demonstrating its validity. The central component is the "if and only if" proof, which confirms the equivalence between the problem's satisfiability and the satisfiability of the 2-CNF formula $F'$. I am now confident the problem is in P and have confirmed that $A \le_p \mathsf {2KNF\text{-}SAT}$.
**Determining Computational Complexity**
I'm now focused on the problem's complexity. The reduction of problem $A$ to 2-SAT is complete, and I am confident in the polynomial time complexity of the transformation. My next step is to ensure the reduction's correctness, by confirming that the problem's instance has a "yes" answer if and only if the reduced formula $F'$ is satisfiable.
**Formalizing the Proof**
I'm now assembling the final write-up, synthesizing the reduction, its proof of correctness, and the complexity analysis. The core of the argument hinges on demonstrating the equivalence between the satisfiability of the original problem instance and the satisfiability of the modified 2-CNF formula, affirming its membership in P. The polynomial time complexity is already known, so the final steps will be about writing the proof in an academic standard.
**Summarizing the Reduction**
I'm now consolidating all the details into a concise explanation, including the problem definition, the reduction to 2-SAT, the proof of correctness, and complexity. The final form of the proof should be clear and concise, suitable for an academic submission. My main aim is to create a flawless, easily understood proof.
**Formulating Final Solution**
I'm writing the formal proof of the polynomial-time reduction, emphasizing its clarity and conciseness. I'm focusing on the correctness proof, demonstrating both directions of the equivalence to solidify the conclusion that the problem belongs to P. The explanation has been refined with clarity, for better understanding.
**Formulating the Answer**
I'm now constructing the final answer, encapsulating the reduction, its justification, and the problem's complexity analysis. The core of the argument is the polynomial time reduction to 2-SAT and the proof of its correctness. The final solution is a concise statement, incorporating the reduction and a brief, yet comprehensive explanation.
**Summarizing the Solution**
I'm now writing the final answer, the reduction to 2-SAT and the proof of correctness. I'm focusing on clarity and brevity, ensuring each step in the logic is easy to follow. The answer should be concise and complete, making it suitable for submission.
Answer
<options>
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
</options>
<answer id="3">
Reduktion: $A \le_p \mathsf{2KNF\text{-}SAT}$
Begründung:
Wir zeigen, dass das Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, indem wir es polynomiell auf das Problem $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$ reduzieren, welches bekanntlich in $\mathsf{P}$ ist.
Sei $(F, g)$ eine Instanz von Problem $A$, wobei $F$ eine 2KNF-Formel über der Variablenmenge $V=\{x_1, ..., x_n\}$ ist und $g: V \to \{1, ..., l\}$ eine Farbfunktion. Die Bedingung des Problems ist, dass in einer erfüllenden Belegung $\sigma$ von $F$ alle Variablen, die auf Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben müssen. Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass für jedes Paar von Variablen $x_i, x_j$ mit der gleichen Farbe ($g(x_i)=g(x_j)$) nicht beide gleichzeitig auf Wahr gesetzt werden dürfen. Diese Bedingung lässt sich durch die logische Klausel $(\neg x_i \lor \neg x_j)$ ausdrücken.
Wir konstruieren eine neue 2KNF-Formel $F'$ wie folgt:
$F'$ ist die Konjunktion von $F$ und einer Menge von neuen Klauseln $F_g$. Die Menge $F_g$ wird wie folgt gebildet: Für jedes Paar von verschiedenen Variablen $(x_i, x_j)$ mit $i \neq j$, für die $g(x_i) = g(x_j)$ gilt, fügen wir die Klausel $(\neg x_i \lor \neg x_j)$ zu $F_g$ hinzu.
Die resultierende Formel ist $F' = F \land \bigwedge_{C \in F_g} C$.
Da $F$ eine 2KNF-Formel ist und alle Klauseln in $F_g$ ebenfalls 2-Klauseln sind, ist $F'$ eine 2KNF-Formel.
Die Reduktion ist in Polynomialzeit durchführbar. Die Anzahl der Variablen ist $n$. Es gibt $\binom{n}{2}$ Paare von Variablen. Für jedes Paar prüfen wir, ob die Farben gleich sind und fügen gegebenenfalls eine Klausel hinzu. Die Größe von $F'$ ist also polynomiell in der Größe der Eingabe.
**Korrektheit der Reduktion:**
Wir skizzieren, warum die Instanz $(F, g)$ von $A$ eine Ja-Antwort hat genau dann, wenn die Formel $F'$ erfüllbar ist.
($\Rightarrow$) Angenommen, es gibt eine erfüllende Belegung $\sigma$ für $F$, die die Farbbedingung erfüllt.
- $\sigma$ erfüllt per Definition alle Klauseln in $F$.
- Betrachten wir eine Klausel $(\neg x_i \lor \neg x_j)$ aus $F_g$. Sie wurde hinzugefügt, weil $g(x_i)=g(x_j)$. Da $\sigma$ die Farbbedingung erfüllt, kann nicht gleichzeitig $\sigma(x_i)=1$ und $\sigma(x_j)=1$ gelten. Also ist mindestens eine der Variablen auf 0 gesetzt, was die Klausel $(\neg x_i \lor \neg x_j)$ wahr macht.
- Somit erfüllt $\sigma$ alle Klauseln in $F'$, also ist $F'$ erfüllbar.
($\Leftarrow$) Angenommen, $F'$ ist erfüllbar und sei $\sigma$ eine erfüllende Belegung.
- Da $F'$ die Konjunktion von $F$ und $F_g$ ist, muss $\sigma$ sowohl $F$ als auch alle Klauseln in $F_g$ erfüllen.
- Dass $\sigma$ $F$ erfüllt, ist die erste Bedingung für eine Lösung von $A$.
- Dass $\sigma$ alle Klauseln in $F_g$ erfüllt, bedeutet, dass für jedes Paar $x_i, x_j$ mit $g(x_i)=g(x_j)$ die Klausel $(\neg x_i \lor \neg x_j)$ wahr ist. Dies impliziert, dass nicht beide, $\sigma(x_i)$ und $\sigma(x_j)$, 1 sein können. Dies ist genau die Farbbedingung des Problems $A$.
- Also ist $\sigma$ eine gültige Lösung für die Instanz $(F, g)$ von $A$.
Da $A$ auf $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$ polynomiell reduzierbar ist und $\mathsf{2KNF\text{-}SAT} \in \mathsf{P}$, liegt auch $A$ in $\mathsf{P}$.
</answer>
Gegeben: Eine 2KNF-Formel mit Variablenmenge , eine Menge von Farben (mit ) und eine Funktion , die jeder Variable eine Farbe zuordnet. Problem : Gibt es eine erfüllende Belegung , sodass alle Variablen, die von zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung mit für alle mit ?
☒☐ ist -hart
Reduktion: Begründung: Wir zeigen, dass das Problem in liegt, indem wir es polynomiell auf das Problem reduzieren, welches bekanntlich in ist. Sei eine Instanz von Problem , wobei eine 2KNF-Formel über der Variablenmenge ist und eine Farbfunktion. Die Bedingung des Problems ist, dass in einer erfüllenden Belegung von alle Variablen, die auf Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben müssen. Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass für jedes Paar von Variablen mit der gleichen Farbe () nicht beide gleichzeitig auf Wahr gesetzt werden dürfen. Diese Bedingung lässt sich durch die logische Klausel ausdrücken. Wir konstruieren eine neue 2KNF-Formel wie folgt: ist die Konjunktion von und einer Menge von neuen Klauseln . Die Menge wird wie folgt gebildet: Für jedes Paar von verschiedenen Variablen mit , für die gilt, fügen wir die Klausel zu hinzu. Die resultierende Formel ist . Da eine 2KNF-Formel ist und alle Klauseln in ebenfalls 2-Klauseln sind, ist eine 2KNF-Formel. Die Reduktion ist in Polynomialzeit durchführbar. Die Anzahl der Variablen ist . Es gibt Paare von Variablen. Für jedes Paar prüfen wir, ob die Farben gleich sind und fügen gegebenenfalls eine Klausel hinzu. Die Größe von ist also polynomiell in der Größe der Eingabe. Korrektheit der Reduktion: Wir skizzieren, warum die Instanz von eine Ja-Antwort hat genau dann, wenn die Formel erfüllbar ist. () Angenommen, es gibt eine erfüllende Belegung für , die die Farbbedingung erfüllt. - erfüllt per Definition alle Klauseln in . - Betrachten wir eine Klausel aus . Sie wurde hinzugefügt, weil . Da die Farbbedingung erfüllt, kann nicht gleichzeitig und gelten. Also ist mindestens eine der Variablen auf 0 gesetzt, was die Klausel wahr macht. - Somit erfüllt alle Klauseln in , also ist erfüllbar. () Angenommen, ist erfüllbar und sei eine erfüllende Belegung. - Da die Konjunktion von und ist, muss sowohl als auch alle Klauseln in erfüllen. - Dass erfüllt, ist die erste Bedingung für eine Lösung von . - Dass alle Klauseln in erfüllt, bedeutet, dass für jedes Paar mit die Klausel wahr ist. Dies impliziert, dass nicht beide, und , 1 sein können. Dies ist genau die Farbbedingung des Problems . - Also ist eine gültige Lösung für die Instanz von . Da auf polynomiell reduzierbar ist und , liegt auch in .
openai/gpt-5
Exercise 7: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme entweder, dass es in liegt, oder, dass es -hart ist. Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit. Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen. Achtung: Auch um zu zeigen, dass das Problem in liegt, ist eine Reduktion anzugeben! Hinweis: Um zu zeigen, dass ein Problem in liegt, geben Sie eine Reduktion für ein an, reduzieren Sie also auf ein Problem , von dem wir wissen, dass es in liegt, z.B. oder . Um zu zeigen, dass ein Problem -hart ist, geben Sie eine Reduktion an, wobei ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa , , oder .
Subproblem a (6.0/6.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
**Evaluating satisfiability problem** I need to tackle the question: Can we find an assignment that satisfies exactly two out of three CNF formulas? This seems similar to the "exactly two of three" satisfiability. The related problem appears to be NP-complete. I think we could reduce from SAT or 3SAT, ensuring that satisfying exactly two formulas corresponds to satisfying the original. However, XOR-SAT might not fit since it's in P. In essence, I need to check if there's an assignment making the count of satisfied formulas equal to two, represented as (F1∧F2∧¬F3) ∨ (F1∧F3∧¬F2) ∨ (F2∧F3∧¬F1).**Analyzing CNF formulas** I'm thinking about a situation where the problem deals with the negation of CNF formulas. Since negation of a CNF gives a DNF, I'm realizing that the conjunction of such disjunctions doesn’t remain CNF or 2CNF. This presents a SAT instance, equivalent to testing the satisfiability of a boolean formula involving CNFs and their negations. So is it SAT complete? Typically, SAT is NP-complete, but input sizes for F1, F2, F3 are polynomial. If I reduce SAT, I could set F1 to φ, F2 to true, and F3 to false, such that exactly two are satisfied if φ holds true. I'll need to evaluate that assignment to confirm!**Exploring CNF configurations** If I set F2 and F3 as tautologies, then I'd get exactly two satisfied formulas only when F1 is false, which would lead to an unsatisfiable case. However, if I let F2 be true and F3 false, then F1 must be true for exactly two satisfactions. This reduces our problem to checking the satisfiability of F1. Now, F3 as a false formula might create an empty clause, while F2, being a tautology, can be an empty CNF. I realize I can use constructs like F2 = x ∨ ¬x to ensure that we have a tautology. This feels like a solid approach!**Clarifying variable restrictions** I'm considering that a single clause like x ∨ ¬x is indeed tautologically true, making any CNF with it also a tautology. However, for F3, which is (x ∧ ¬x), that yields unsatisfiability because it's contradictory. But I must remember that the formulas need to use variables specifically from V, which complicates things. I think introducing a dummy variable isn’t allowed since all formulas must stick to the provided variables. If I construct F2 and F3 using only the variables of φ by adding a tautological clause y ∨ ¬y, where y is in V, I have to consider what happens if V is empty. That’s a significant point!**Addressing SAT reduction challenges** I'm exploring the requirement to create a reduction from SAT to my problem, ensuring V is not empty by possibly introducing a dummy variable. However, since all formulas must use variables strictly from V, we need a way to work within those limits. If φ has an empty CNF, I can treat it as either true or false, but then I need to be cautious about my mapping for F2 and F3. Using tautologies like x ∨ ¬x for F2 seems feasible if V is non-empty. In cases where V is empty, I feel allowed to designate F2 as an empty conjunction (true) and F3 as an empty clause (false). This maintains alignment with CNF definitions. Overall, I believe my approach can handle these nuances, ensuring our reduction still shows NP-hardness while respecting the rules about variable use. I'll also specify that if V is empty, I can still work with constants appropriately. Therefore, the reduction B = SAT (CNF-SAT) ≤p A is confirmed!**Defining reduction and correctness** I'm working on mapping φ to the triple (F1=φ, F2=(x ∨ ¬x) if V is non-empty, else an empty CNF for true, and F3=(x) ∧ (¬x) if V is non-empty, or an empty clause for false). The key point is that for any assignment σ, F2 is always true and F3 is always false, so we achieve exactly two of the three holding if and only if F1 is satisfied. This indicates that φ is satisfiable if the instance in A is yes, and the mapping is polynomial. I'll specify that “SAT ≤p A,” confirming NP-hardness. We can use a concise definition of the function f to clarify, ensuring that everything aligns properly. I can also note that if V is empty, we define F2 and F3 accordingly, maintaining that F2 is a tautology and F3 is unsatisfiable. Let's craft the final format in German, emphasizing the reduction's correctness while making sure it's clear and succinct!
Answer
<option id="1">0</option> <option id="2">1</option> <answer id="3"> Reduktion: SAT ≤p A Begründung: Gegeben eine KNF-Formel φ über Variablenmenge V. Definiere eine Abbildung f, die φ auf ein Triple (F1,F2,F3) abbildet: - F1 := φ. - Falls V ≠ ∅, wähle ein beliebiges x ∈ V und setze F2 := (x ∨ ¬x) (eine tautologische Klausel), F3 := (x) ∧ (¬x) (zwei widersprüchliche Einheitsklauseln). - Falls V = ∅, setze F2 := ⊤ (leere Konjunktion) und F3 := ⊥ (leere Klausel). Alle drei Formeln sind KNF-Formeln über Variablen aus V, und f ist in polynomieller Zeit berechenbar. Korrektheitsskizze: Für jede Belegung σ gilt stets σ ⊨ F2 und σ ⊭ F3. Damit sind genau zwei der drei Formeln F1,F2,F3 unter σ erfüllt genau dann, wenn σ ⊨ F1. Also ist φ erfüllbar genau dann, wenn f(φ) eine Belegung hat, die genau zwei der drei Formeln erfüllt. Damit zeigt f die Reduktion SAT ≤p A und A ist NP-hart. </answer>
Gegeben: Drei KNF-Formeln mit Variablen aus . Problem : Gibt es eine Belegung , die genau zwei der drei Formeln erfüllt?
☐☒ ist -hart
Reduktion: SAT ≤p A Begründung: Gegeben eine KNF-Formel φ über Variablenmenge V. Definiere eine Abbildung f, die φ auf ein Triple (F1,F2,F3) abbildet: - F1 := φ. - Falls V ≠ ∅, wähle ein beliebiges x ∈ V und setze F2 := (x ∨ ¬x) (eine tautologische Klausel), F3 := (x) ∧ (¬x) (zwei widersprüchliche Einheitsklauseln). - Falls V = ∅, setze F2 := ⊤ (leere Konjunktion) und F3 := ⊥ (leere Klausel). Alle drei Formeln sind KNF-Formeln über Variablen aus V, und f ist in polynomieller Zeit berechenbar. Korrektheitsskizze: Für jede Belegung σ gilt stets σ ⊨ F2 und σ ⊭ F3. Damit sind genau zwei der drei Formeln F1,F2,F3 unter σ erfüllt genau dann, wenn σ ⊨ F1. Also ist φ erfüllbar genau dann, wenn f(φ) eine Belegung hat, die genau zwei der drei Formeln erfüllt. Damit zeigt f die Reduktion SAT ≤p A und A ist NP-hart.
Subproblem b (8.0/8.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: SAT ≤p A
Begründung:
Gegeben eine KNF-Formel φ über Variablenmenge V. Definiere eine Abbildung f, die φ auf ein Triple (F1,F2,F3) abbildet:
- F1 := φ.
- Falls V ≠ ∅, wähle ein beliebiges x ∈ V und setze F2 := (x ∨ ¬x) (eine tautologische Klausel), F3 := (x) ∧ (¬x) (zwei widersprüchliche Einheitsklauseln).
- Falls V = ∅, setze F2 := ⊤ (leere Konjunktion) und F3 := ⊥ (leere Klausel).
Alle drei Formeln sind KNF-Formeln über Variablen aus V, und f ist in polynomieller Zeit berechenbar.
Korrektheitsskizze: Für jede Belegung σ gilt stets σ ⊨ F2 und σ ⊭ F3. Damit sind genau zwei der drei Formeln F1,F2,F3 unter σ erfüllt genau dann, wenn σ ⊨ F1. Also ist φ erfüllbar genau dann, wenn f(φ) eine Belegung hat, die genau zwei der drei Formeln erfüllt. Damit zeigt f die Reduktion SAT ≤p A und A ist NP-hart.
</answer>
user:
## subproblem b (8.0 points)
**Gegeben:** Eine 2KNF-Formel $F$ mit Variablenmenge $V=\{x_1, ..., x_n\}$, eine Menge $\{1, ..., l\}$ von Farben (mit $l>0$) und eine Funktion $g: V \to \{1 ,...,l\}$, die jeder Variable eine Farbe zuordnet.
**Problem $A$:** Gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma$, sodass alle Variablen, die von $\sigma$ zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$ mit $g(x_i) \neq g(x_j)$ für alle $i<j \leq n$ mit $\sigma(x_i)=1= \sigma(x_j)$?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
**Analyzing complexity of 2-CNF problem** I'm working on figuring out the complexity of a given problem involving a 2-CNF formula (2SAT) with variables and colors. The challenge is to see if there's a satisfying assignment that allows variables set to true to have distinct colors, meaning no two true variables can share a color. Essentially, this adds a cardinality constraint per color group. I'm curious whether this remains solvable in polynomial time, so I'll analyze it further.**Clarifying constraints on 2-CNF problem** I need to ensure that satisfying assignments meet the condition of having at most one true variable per color. To do this, I can encode additional constraints as 2-CNF clauses. For any two variables with the same color, I can add a clause to prevent both from being true. This simplifies our problem to the satisfiability of a modified 2-CNF formula, which remains within P. However, I have to keep in mind that the number of added clauses can be O(n²), but that's still polynomial!**Reducing to 2SAT** I'm seeing that we can reduce problem A to 2SAT by transforming the original formula F along with its variables and coloring function into a new formula F'. The reduction indicates that A being solvable is equivalent to F' being satisfiable. I think it’s cleaner to focus on the 2KNF-SAT for simplicity. I need to present this reduction in the format "A ≤p 2KNF-SAT." Also, while considering alternatives like the independent set, it’s not essential since it’s NP-hard, and I also have to keep in mind some edge cases regarding the variable count.**Mapping precision in reduction** I need to be careful with the mapping for this reduction. We're starting with a 2CNF formula F over variables V and colors l with a function g. The output will be a new 2CNF formula F' defined as F plus extra clauses ensuring that no two variables of the same color can be true. This means F' is satisfiable if and only if we have a valid assignment for F with at most one true variable per color. It’s crucial to note that this reduction runs in polynomial time, ensuring it’s consistent and valid.**Finalizing the reduction approach** I need to ensure that the pairwise constraints enforce at most one true variable per color in my answer. For the reduction format, I'm set to write "A ≤p 2KNF-SAT," which keeps things consistent with earlier references. It’s clear from the construction that we're dealing with a polynomial time solution, adding O(n²) clauses. I have to double-check that the mappings are correct and stay in 2-CNF because we’re using clauses like (¬x ∨ ¬y). Finally, any unused colors won't pose issues as they don't affect the constraints.
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktion: A ≤p 2KNF-SAT
Begründung:
Gegeben eine Instanz (F, V, l, g). Konstruiere eine 2KNF-Formel F' über denselben Variablen durch
F' := F ∧ ⋀_{c=1}^l ⋀_{i<j, g(x_i)=g(x_j)=c} (¬x_i ∨ ¬x_j).
Diese Zusatzklauseln erzwingen, dass nicht zwei Variablen derselben Farbe zugleich wahr sein können. Die Anzahl der hinzugefügten Klauseln ist höchstens O(n^2), die Konstruktion ist polynomiell, und F' ist eine 2KNF-Formel.
Korrektheit:
- Wenn es eine erfüllende Belegung σ von F gibt, in der alle wahren Variablen paarweise verschiedene Farben haben, dann verletzt σ keine Klausel (¬x_i ∨ ¬x_j) für gleichfarbige Paare; also erfüllt σ auch F'.
- Umgekehrt garantiert jede erfüllende Belegung σ von F' die Erfüllung aller (¬x_i ∨ ¬x_j) für gleichfarbige Paare, also ist pro Farbe höchstens eine Variable wahr. Damit haben alle wahren Variablen unterschiedliche Farben und σ erfüllt F.
Also ist (F, g, l) ein Ja-Fall von A genau dann, wenn F' erfüllbar ist. Da 2KNF-SAT ∈ P, folgt A ∈ P.
</answer>
Gegeben: Eine 2KNF-Formel mit Variablenmenge , eine Menge von Farben (mit ) und eine Funktion , die jeder Variable eine Farbe zuordnet. Problem : Gibt es eine erfüllende Belegung , sodass alle Variablen, die von zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung mit für alle mit ?
☒☐ ist -hart
Reduktion: A ≤p 2KNF-SAT
Begründung:
Gegeben eine Instanz (F, V, l, g). Konstruiere eine 2KNF-Formel F' über denselben Variablen durch
F' := F ∧ ⋀_{c=1}^l ⋀_{i<j, g(x_i)=g(x_j)=c} (¬x_i ∨ ¬x_j).
Diese Zusatzklauseln erzwingen, dass nicht zwei Variablen derselben Farbe zugleich wahr sein können. Die Anzahl der hinzugefügten Klauseln ist höchstens O(n^2), die Konstruktion ist polynomiell, und F' ist eine 2KNF-Formel.
Korrektheit:
- Wenn es eine erfüllende Belegung σ von F gibt, in der alle wahren Variablen paarweise verschiedene Farben haben, dann verletzt σ keine Klausel (¬x_i ∨ ¬x_j) für gleichfarbige Paare; also erfüllt σ auch F'.
- Umgekehrt garantiert jede erfüllende Belegung σ von F' die Erfüllung aller (¬x_i ∨ ¬x_j) für gleichfarbige Paare, also ist pro Farbe höchstens eine Variable wahr. Damit haben alle wahren Variablen unterschiedliche Farben und σ erfüllt F.
Also ist (F, g, l) ein Ja-Fall von A genau dann, wenn F' erfüllbar ist. Da 2KNF-SAT ∈ P, folgt A ∈ P.openai/gpt-oss-120b
Exercise 7: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme entweder, dass es in liegt, oder, dass es -hart ist. Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit. Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen. Achtung: Auch um zu zeigen, dass das Problem in liegt, ist eine Reduktion anzugeben! Hinweis: Um zu zeigen, dass ein Problem in liegt, geben Sie eine Reduktion für ein an, reduzieren Sie also auf ein Problem , von dem wir wissen, dass es in liegt, z.B. oder . Um zu zeigen, dass ein Problem -hart ist, geben Sie eine Reduktion an, wobei ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa , , oder .
Subproblem a (6.0/6.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
We need to decide if problem A is in P or NP-hard. Problem: Given three CNF formulas F1,F2,F3 over same variable set V, does there exist an assignment that satisfies exactly two of the three formulas? This is similar to "Exactly-2 SAT" variant. Known problem "Exactly-2 SAT" (given CNF formula, does there exist assignment satisfying exactly half of clauses) is NP-complete? Not sure. Here we have three formulas, need exactly two satisfied. Could be NP-complete: we could reduce from SAT: given a formula F, create F1=F, F2= tautology, F3 = unsatisfiable? Need exactly two satisfied: need satisfy F1 and F2, not F3. Since F2 always true, F3 always false, condition reduces to existence of assignment satisfying F1: that's SAT. But need exactly two satisfied: we need F1 true, F2 true, F3 false. Since F3 false always, it's satisfied? Wait false means not satisfied; unsatisfiable formula is never satisfied, okay. So exactly two satisfied would be true if and only if there exists assignment that satisfies F1 (since F2 always true, F3 never true). So that reduces SAT to the problem. Indeed we can define F2 to be a tautology (e.g., (x ∨ ¬x)), F3 to be contradiction (e.g., (x ∧ ¬x) which as CNF is (x) ∧ (¬x) maybe unsatisfiable). However CNF must be a conjunction of clauses; a contradiction can be a clause (x) ∧ (¬x). That's unsatisfiable. So the reduction is: given SAT instance F, set F1 = F, F2 = (x ∨ ¬x) (or any tautology clause), F3 = (x) ∧ (¬x). Then there exists assignment satisfying exactly two iff F is satisfiable. This reduction is polynomial. Therefore problem is NP-hard. Also problem is in NP: we can guess assignment and check. So NP-complete. But the question only asks either P or NP-hard. So answer: NP-hard = 1 for option 2.
But they also require providing a reduction, and note that also to show P we need reduction to P. For NP-hard we need B ≤p A. So B = SAT. Provide reduction as described.
Thus output:
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\text{SAT}\le_p A$
Begründung:
Gegeben eine CNF‑Formel $F$ (Instanz von SAT).
Wir konstruieren drei Formeln $F_1,F_2,F_3$ über derselben Variablenmenge $V$:
* $F_1 := F$.
* $F_2 := (x \lor \lnot x)$ für eine beliebige Variable $x\in V$ (eine Tautologie, damit $F_2$ unter jeder Belegung erfüllt ist).
* $F_3 := (x) \land (\lnot x)$ (ein Widerspruch, also niemals erfüllt).
Die Konstruktion ist eindeutig in polynomialer Zeit möglich.
Nun gilt:
Es gibt eine Belegung $\sigma$ mit genau zwei erfüllten Formeln unter $\{F_1,F_2,F_3\}$
$\Longleftrightarrow$ $\sigma$ erfüllt $F_1$ (weil $F_2$ immer erfüllt, $F_3$ nie)
$\Longleftrightarrow$ $F$ ist erfüllbar.
Damit ist $F\in\text{SAT}$ genau dann, wenn die erzeugte Instanz $\langle F_1,F_2,F_3\rangle$ ein „Ja“-Antwort für $A$ hat. Die Reduktion ist also korrekt und polynomial. Da SAT NP‑schwer ist, ist auch $A$ NP‑hart (und offensichtlich in NP, also NP‑vollständig).
</answer>
Answer
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\text{SAT}\le_p A$
Begründung:
Gegeben sei eine CNF‑Formel $F$ (Instanz von SAT) über Variablenmenge $V$.
Wir konstruieren drei Formeln $F_1,F_2,F_3$ über derselben Variablenmenge:
* $F_1 := F$.
* $F_2 := (x \lor \lnot x)$ für ein beliebiges $x\in V$ (eine Tautologie, also unter jeder Belegung erfüllt).
* $F_3 := (x) \land (\lnot x)$ (ein Widerspruch; niemals erfüllt).
Die Konstruktion ist eindeutig in polynomialer Zeit möglich.
Nun gilt:
\[
\exists\;\sigma:V\to\{0,1\}\text{ mit genau zwei erfüllten Formeln among }F_1,F_2,F_3
\iff
\sigma \text{ erfüllt }F_1
\]
denn $F_2$ ist immer erfüllt und $F_3$ ist nie erfüllt.
Somit gibt es eine solche Belegung genau dann, wenn $F$ erfüllbar ist, d.h. genau dann, wenn die SAT‑Instanz mit „Ja“ beantwortet wird.
Damit ist die Abbildung $F \mapsto (F_1,F_2,F_3)$ eine polynomialzeit‑Reduktion von SAT auf das gegebene Problem $A$. Da SAT NP‑hart ist, ist $A$ ebenfalls NP‑hart (und liegt offensichtlich in NP, also ist $A$ NP‑vollständig).
</answer>
Gegeben: Drei KNF-Formeln mit Variablen aus . Problem : Gibt es eine Belegung , die genau zwei der drei Formeln erfüllt?
☐☒ ist -hart
Reduktion: Begründung: Gegeben sei eine CNF‑Formel (Instanz von SAT) über Variablenmenge . Wir konstruieren drei Formeln über derselben Variablenmenge: * . * für ein beliebiges (eine Tautologie, also unter jeder Belegung erfüllt). * (ein Widerspruch; niemals erfüllt). Die Konstruktion ist eindeutig in polynomialer Zeit möglich. Nun gilt: denn ist immer erfüllt und ist nie erfüllt. Somit gibt es eine solche Belegung genau dann, wenn erfüllbar ist, d.h. genau dann, wenn die SAT‑Instanz mit „Ja“ beantwortet wird. Damit ist die Abbildung eine polynomialzeit‑Reduktion von SAT auf das gegebene Problem . Da SAT NP‑hart ist, ist ebenfalls NP‑hart (und liegt offensichtlich in NP, also ist NP‑vollständig).
Subproblem b (8.0/8.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\text{SAT}\le_p A$
Begründung:
Gegeben sei eine CNF‑Formel $F$ (Instanz von SAT) über Variablenmenge $V$.
Wir konstruieren drei Formeln $F_1,F_2,F_3$ über derselben Variablenmenge:
* $F_1 := F$.
* $F_2 := (x \lor \lnot x)$ für ein beliebiges $x\in V$ (eine Tautologie, also unter jeder Belegung erfüllt).
* $F_3 := (x) \land (\lnot x)$ (ein Widerspruch; niemals erfüllt).
Die Konstruktion ist eindeutig in polynomialer Zeit möglich.
Nun gilt:
\[
\exists\;\sigma:V\to\{0,1\}\text{ mit genau zwei erfüllten Formeln among }F_1,F_2,F_3
\iff
\sigma \text{ erfüllt }F_1
\]
denn $F_2$ ist immer erfüllt und $F_3$ ist nie erfüllt.
Somit gibt es eine solche Belegung genau dann, wenn $F$ erfüllbar ist, d.h. genau dann, wenn die SAT‑Instanz mit „Ja“ beantwortet wird.
Damit ist die Abbildung $F \mapsto (F_1,F_2,F_3)$ eine polynomialzeit‑Reduktion von SAT auf das gegebene Problem $A$. Da SAT NP‑hart ist, ist $A$ ebenfalls NP‑hart (und liegt offensichtlich in NP, also ist $A$ NP‑vollständig).
user:
## subproblem b (8.0 points)
**Gegeben:** Eine 2KNF-Formel $F$ mit Variablenmenge $V=\{x_1, ..., x_n\}$, eine Menge $\{1, ..., l\}$ von Farben (mit $l>0$) und eine Funktion $g: V \to \{1 ,...,l\}$, die jeder Variable eine Farbe zuordnet.
**Problem $A$:** Gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma$, sodass alle Variablen, die von $\sigma$ zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$ mit $g(x_i) \neq g(x_j)$ für alle $i<j \leq n$ mit $\sigma(x_i)=1= \sigma(x_j)$?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
We need decide if problem is in P or NP-hard. Problem: 2CNF formula + color assignment to variables; need satisfying assignment where true variables have distinct colors (no two true variables share same color). Equivalent to find a satisfying assignment with at most one true per color class. This is like constraint that for each color, at most one variable of that color is set true. This is like 2SAT with additional "at most one" constraints per color, which are cardinality constraints. For each color c, the set of variables of that color must have at most one true, which can be expressed as a set of binary clauses: for any two variables x_i, x_j with same color, add clause (¬x_i ∨ ¬x_j). That's a 2CNF. So we can transform problem into a new 2CNF formula: original F plus all pairwise (¬x_i ∨ ¬x_j) for same color. This is still 2CNF, solvable in polynomial time (linear). So problem in P. Need reduction to known P problem, e.g., 2SAT. So A ≤_p 2SAT (or directly algorithm). Provide reduction.
Provide option: A in P = 1, NP-hard =0.
Now write answer with reduction: input (F,g) map to formula F' = F ∧ Π_{c} ∧_{i<j, g(x_i)=g(x_j)=c} (¬x_i ∨ ¬x_j). This is polynomial size because number of pairs per color at most n^2. This reduction is polynomial. Then satisfiability of F' corresponds to existence of required assignment. Hence A ≤_p 2SAT, and 2SAT∈P, so A∈P.
Provide answer.
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktion: $A\le_p \mathsf{2SAT}$
Begründung:
Gegeben sei eine Instanz des Problems $A$, also
* eine 2‑KNF‑Formel $F$ über den Variablen $V=\{x_1,\dots ,x_n\}$,
* eine Farbfunktion $g:V\to\{1,\dots ,l\}$.
Wir konstruieren in polynomialer Zeit eine neue 2‑KNF‑Formel $F'$ wie folgt
\[
F' \;:=\; F\;\land\;\bigwedge_{\substack{i<j\\ g(x_i)=g(x_j)}}(\lnot x_i \,\lor\, \lnot x_j).
\]
Der zweite Teil besteht aus allen Paar‑Klauseln, die für jedes Farb‑Kollektiv $c$ genau die Aussage „es können nicht beide Variablen derselben Farbe wahr sein“ ausdrücken.
Da jede dieser Klauseln nur zwei Literale besitzt, ist $F'$ wieder eine 2‑KNF‑Formel.
Die Anzahl der hinzugefügten Klauseln ist höchstens $\binom{n}{2}$, also polynomial in $n$; die Konstruktion ist daher polynomialzeitmachbar.
Nun gilt:
*Wenn* es eine Belegung $\sigma$ gibt, die $F$ erfüllt und bei der alle wahr gesetzten Variablen unterschiedliche Farben besitzen, dann erfüllt $\sigma$ per Definition jede der Klauseln $(\lnot x_i\lor\lnot x_j)$ für Variablen mit gleicher Farbe – weil höchstens eine von ihnen wahr ist. Also erfüllt $\sigma$ auch $F'$.
*Umgekehrt*: Erfüllt eine Belegung $\sigma$ die Formel $F'$, dann erfüllt sie zunächst $F$ (da $F$ ein Teil von $F'$ ist) und sie verletzt keine der Klauseln $(\lnot x_i\lor\lnot x_j)$. Letztere Klauseln verhindern genau, dass zwei Variablen derselben Farbe gleichzeitig wahr sind. Deshalb besitzt $\sigma$ die geforderte Eigenschaft, dass alle wahren Variablen unterschiedliche Farben haben.
Damit ist
\[
\exists\;\sigma\text{ mit den Bedingungen von }A\quad\Longleftrightarrow\quad F' \text{ ist erfüllbar}.
\]
Die Abbildung $(F,g)\mapsto F'$ ist eine polynomialzeit‑Reduktion von $A$ auf das klassische \(\mathsf{2SAT}\)-Entscheidungsproblem. Da \(\mathsf{2SAT}\in\mathsf{P}\) ist, folgt, dass $A\in\mathsf{P}$ (und naturgemäß liegt $A$ in NP).
\[
\boxed{A\in\mathsf{P}}
\]
</answer>
Gegeben: Eine 2KNF-Formel mit Variablenmenge , eine Menge von Farben (mit ) und eine Funktion , die jeder Variable eine Farbe zuordnet. Problem : Gibt es eine erfüllende Belegung , sodass alle Variablen, die von zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung mit für alle mit ?
☒☐ ist -hart
Reduktion: Begründung: Gegeben sei eine Instanz des Problems , also * eine 2‑KNF‑Formel über den Variablen , * eine Farbfunktion . Wir konstruieren in polynomialer Zeit eine neue 2‑KNF‑Formel wie folgt Der zweite Teil besteht aus allen Paar‑Klauseln, die für jedes Farb‑Kollektiv genau die Aussage „es können nicht beide Variablen derselben Farbe wahr sein“ ausdrücken. Da jede dieser Klauseln nur zwei Literale besitzt, ist wieder eine 2‑KNF‑Formel. Die Anzahl der hinzugefügten Klauseln ist höchstens , also polynomial in ; die Konstruktion ist daher polynomialzeitmachbar. Nun gilt: Wenn es eine Belegung gibt, die erfüllt und bei der alle wahr gesetzten Variablen unterschiedliche Farben besitzen, dann erfüllt per Definition jede der Klauseln für Variablen mit gleicher Farbe – weil höchstens eine von ihnen wahr ist. Also erfüllt auch . Umgekehrt: Erfüllt eine Belegung die Formel , dann erfüllt sie zunächst (da ein Teil von ist) und sie verletzt keine der Klauseln . Letztere Klauseln verhindern genau, dass zwei Variablen derselben Farbe gleichzeitig wahr sind. Deshalb besitzt die geforderte Eigenschaft, dass alle wahren Variablen unterschiedliche Farben haben. Damit ist Die Abbildung ist eine polynomialzeit‑Reduktion von auf das klassische -Entscheidungsproblem. Da ist, folgt, dass (und naturgemäß liegt in NP).
qwen/qwen3-235b-a22b
Exercise 7: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme entweder, dass es in liegt, oder, dass es -hart ist. Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit. Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen. Achtung: Auch um zu zeigen, dass das Problem in liegt, ist eine Reduktion anzugeben! Hinweis: Um zu zeigen, dass ein Problem in liegt, geben Sie eine Reduktion für ein an, reduzieren Sie also auf ein Problem , von dem wir wissen, dass es in liegt, z.B. oder . Um zu zeigen, dass ein Problem -hart ist, geben Sie eine Reduktion an, wobei ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa , , oder .
Subproblem a (6.0/6.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Okay, let's tackle this problem. So, the problem A is: given three CNF formulas F1, F2, F3, is there a truth assignment that satisfies exactly two of them? We need to determine if A is in P or NP-hard by providing a reduction.
First, I need to recall that to show A is in P, we can reduce it to a problem known to be in P. Alternatively, if it's NP-hard, we reduce a known NP-hard problem to A. The hint says that even for showing membership in P, we need a reduction.
Hmm. Let's think. The problem requires exactly two of the three formulas to be satisfied. Let's consider possible approaches.
Wait, each of the formulas is a CNF, which could be NP-hard to satisfy on their own. But the problem isn't about satisfying all three, but exactly two. How can we model this?
Suppose we consider the problem as a combination of possibilities. For each pair of formulas (F1 and F2, F1 and F3, F2 and F3), we need that there's an assignment that satisfies exactly those two. But how do we check this?
But wait, if we can model this as a combination of AND and OR operations between the satisfiability of the different formulas. However, SAT solvers can't directly handle such combinations unless we can encode them.
Wait, but if we can reduce this problem to checking if at least one of the three possibilities (each pair) is satisfiable. For example, the assignment must satisfy F1 and F2 but not F3, or F1 and F3 but not F2, or F2 and F3 but not F1. Then, the problem reduces to checking if any of these three combinations is satisfiable.
So, for each of these three cases, we can create a new formula that represents the conjunction of two formulas and the negation of the third. Then, if any of these three new formulas is satisfiable, then the original problem has a yes answer.
Wait, but how do we model "F1 is satisfied and F2 is satisfied and F3 is not satisfied"? That would be equivalent to F1 ∧ F2 ∧ ¬F3. However, ¬F3 is not a CNF formula. Converting ¬F3 to CNF might be possible, but it could be exponentially large. But since we are allowed to use reductions, perhaps we can model this.
Wait, but here's the problem: the original problem uses CNF formulas. The negation of a CNF formula (which is a DNF) would not be in CNF. However, SAT for CNF is NP-hard, but SAT for DNF is in P. But how does that affect our problem?
Alternatively, perhaps we can model each of the three possibilities as follows. Let's take the first case: σ satisfies F1 and F2, and does not satisfy F3.
So, σ must satisfy F1 and F2, and there must be at least one clause in F3 that σ does not satisfy.
But how can we model this as a logical formula? Let's think. For σ to satisfy F1 and F2, it must satisfy F1 ∧ F2. And to not satisfy F3, there must be at least one clause in F3 that is false under σ. However, F3 is a conjunction of clauses, so ¬F3 is equivalent to the disjunction of the negations of each clause in F3. So, ¬F3 is equivalent to ∨_{c ∈ F3} ¬c. But each ¬c would be a disjunction of literals negated (since each clause is a disjunction, so ¬c would be a conjunction of the negated literals, wait, no. Wait, a clause c is a disjunction of literals. So ¬c would be a conjunction of the negations of each literal in c. For example, if c = x ∨ y, then ¬c is ¬x ∧ ¬y. So ¬F3 is equivalent to the disjunction of all those ¬c for each clause c in F3. But this is a DNF formula.
So the condition that σ satisfies F1 ∧ F2 and ¬F3 is equivalent to σ satisfying F1 ∧ F2 ∧ (¬c for some c in F3). But how can we model this as a single formula?
But this seems complicated. However, if we can model this as a conjunction of F1, F2, and a clause ¬c (from F3), then perhaps we can create a new formula that combines these. However, this approach might not be feasible for a polynomial-time reduction.
Alternatively, perhaps the problem is NP-hard. Let's think about possible reductions. Suppose we try to reduce from SAT. But how?
Wait, another approach: Let's consider that if we can model this problem as a combination of three different SAT instances. But if each of these instances is in NP, then the problem A would be in NP. But the question is whether A is in P or NP-hard.
Wait, but the problem A is asking for the existence of an assignment that satisfies exactly two of the three formulas. Let's think of a way to model this.
Suppose we have three formulas F1, F2, F3. The problem is equivalent to the logical OR of the following three possibilities:
1. F1 and F2 are satisfiable, and F3 is not satisfiable under the same assignment.
2. F1 and F3 are satisfiable, and F2 is not.
3. F2 and F3 are satisfiable, and F1 is not.
But how can we check if any of these three conditions hold?
Each of these three conditions can be thought of as a conjunction of two formulas and the negation of the third. However, the negation complicates things.
Alternatively, for each of the three possibilities, we can create a new formula that combines the two formulas to be satisfied and the negation of the third. Then, if any of these three new formulas is satisfiable, then the answer is yes.
Wait, but how to represent this. For example, for the first case, we want σ to satisfy F1 and F2 and not satisfy F3. However, this is equivalent to σ must satisfy F1 ∧ F2 and σ must not satisfy F3. Similarly for the other cases.
But checking if F1 ∧ F2 is satisfiable and that F3 is not satisfied by that assignment. Wait, but the assignment that satisfies F1 ∧ F2 may or may not satisfy F3. So perhaps the problem reduces to checking if (F1 ∧ F2 ∧ ¬F3) is satisfiable OR (F1 ∧ F3 ∧ ¬F2) is satisfiable OR (F2 ∧ F3 ∧ ¬F1) is satisfiable.
But how can we model this as a single SAT instance? The problem is that each of these three combinations would be a separate SAT problem. However, the original problem A is a yes instance if any of these three combinations is satisfiable. But how can we check this in polynomial time?
But if each of these three combinations can be checked in polynomial time, then the entire problem would be in P. However, checking SAT for each of these combinations would be NP-hard, unless there's some structure we can exploit.
Alternatively, perhaps the problem is NP-hard. Let's try to think of a reduction. Let's take a known NP-hard problem, such as SAT, and reduce it to A.
Suppose we have a CNF formula F. We want to construct three formulas F1, F2, F3 such that there's an assignment satisfying exactly two of them iff F is satisfiable.
How can we do that? Let's think. Let's set F1 = F, and F2 and F3 to be tautologies. Wait, but then any assignment that satisfies F would satisfy all three, so exactly two would not be possible. Hmm, that's not helpful.
Alternatively, perhaps create F1 = F, F2 = F, F3 = ¬F. Wait, but ¬F is not a CNF. Alternatively, perhaps F3 is a contradiction. Wait, but how?
Wait, here's an idea. Let's construct F1 = F, F2 = F, F3 = some tautology. Then, if F is satisfiable, then any assignment that satisfies F would satisfy F1 and F2, and since F3 is a tautology, all three are satisfied. So that's not good.
Alternatively, maybe set F1 = F, F2 = a tautology, F3 = a tautology. Then, any assignment would satisfy F2 and F3, so to satisfy exactly two, F must be satisfied. But then the problem A would be equivalent to checking if F is satisfiable. Because then exactly two would be satisfied only if F is satisfied (since F2 and F3 are always true, you need F (F1) to be true, so that F1 is true and F2 and F3 are true, which would be three. Wait, no. Wait, if F1 is F, F2 and F3 are tautologies. Then, any assignment would satisfy F2 and F3. So to have exactly two satisfied, F1 must be false. Because then F2 and F3 are true, F1 is false, so exactly two. Wait, that's the opposite. So if F is unsatisfiable, then F1 is always false, so exactly two (F2 and F3) are satisfied. If F is satisfiable, then there exists an assignment where F1 is true, so all three are satisfied, which would not be acceptable. But the problem A asks for existence of an assignment that satisfies exactly two. So if F is unsatisfiable, then yes, because all assignments would have F1 false, and F2 and F3 true. But if F is satisfiable, then there exists an assignment where all three are true, but there might still be other assignments where F1 is false. Wait, but the problem A requires that there exists at least one assignment that satisfies exactly two. So if F is unsatisfiable, then F1 is always false, so every assignment would satisfy exactly two (F2 and F3). So A would be yes. But if F is satisfiable, then there exists assignments where all three are satisfied (so that assignment would have three), but there might also be assignments where F1 is false (so two). Wait, but in that case, the answer would still be yes. Because there exists at least one assignment that satisfies exactly two. Wait, this approach might not work.
Hmm, this seems tricky. Let's think again. We need a reduction from SAT to problem A. So given a formula F, we need to create F1, F2, F3 such that F is satisfiable iff there exists an assignment that satisfies exactly two of F1, F2, F3.
Another idea: Let's set F1 = F, F2 = F, F3 = some formula that is always true. Then, if F is satisfiable, then there's an assignment that satisfies all three (so that's three), but if F is not satisfiable, then F1 and F2 are never satisfied, so any assignment would have F3 satisfied, but only one. So this doesn't work.
Alternatively, create F1 = F, F2 = F, F3 = ¬F. But ¬F is not a CNF. However, we can represent ¬F as a DNF. But the problem allows the input formulas to be CNF. So we can't use ¬F directly. Unless we can find a way to encode this.
Wait, but perhaps we can use a padding approach. Suppose we create three formulas such that exactly two are satisfied iff F is satisfied. For example:
Let F1 = F ∧ X, where X is a new variable.
F2 = F ∧ ¬X.
F3 = a contradiction (like Y ∧ ¬Y, which is unsatisfiable).
Wait, but then:
If F is unsatisfiable, then F1 and F2 are both unsatisfiable, and F3 is unsatisfiable. So no assignment can satisfy any of them. So exactly zero.
If F is satisfiable, then:
An assignment can set X to true or false.
If X is true, then F must be satisfied to satisfy F1. Then F1 is satisfied, F2 is not (since X is true, ¬X is false), F3 is not. So only one satisfied.
If X is false, then F2 is satisfied only if F is satisfied. So same as above.
But F3 is a contradiction, so never satisfied.
So in this case, the maximum number of satisfied formulas is one. Not helpful.
Hmm. Another approach: Let's create F1 = F, F2 = F, F3 = a tautology. Then:
If F is satisfiable, then there exists an assignment that satisfies F1 and F2 (so all three are satisfied), and other assignments where F is false, so F3 is the only one satisfied. So there are assignments that satisfy exactly two (if F is false, then only F3 is satisfied, so no). Wait, no. If F is false, then F3 is satisfied (tautology), but F1 and F2 are not. So exactly one. So in this setup, the problem A would have yes if there exists an assignment that satisfies exactly two. But in this case, when F is true, all three are satisfied (so three), and when F is false, only F3 is satisfied. So the only way to have exactly two is if there's an assignment where F is true and F3 is false, but F3 is a tautology, so impossible.
Not helpful.
Alternative idea: Let's create three formulas such that exactly two are satisfied iff F is satisfied. For example:
Let F1 = F.
Let F2 = F.
Let F3 = a new tautology.
Wait, then:
If F is satisfiable, then there's an assignment that satisfies F1 and F2. Since F3 is a tautology, all three are satisfied. So three.
But we need exactly two. So this approach doesn't work.
Another idea: To have F1 = F, F2 = F ∨ G, F3 = F ∨ ¬G, where G is a new formula. Not sure.
Alternatively, think of creating three formulas where exactly two can be satisfied only if F is satisfied, and the third is constructed such that it can be unsatisfied. But I'm not seeing it.
Alternatively, think of reducing from 3-coloring or another problem. But maybe SAT is easier.
Wait, perhaps the problem is in P. How?
If we can find a way to model the problem as a combination of problems in P. For example, if we can model it as a 2CNF formula. Because 2-SAT is in P.
Wait, but the problem involves three CNF formulas. Suppose we can construct a new formula that combines all three, but in a way that allows us to model the exactly two condition as a 2CNF. But how?
Alternatively, think of each of the three possibilities (satisfy two, not the third) and model each as a 2CNF. But unless the original formulas are 2CNF, this might not work.
But the original formulas can be arbitrary CNF. So this approach might not work.
Hmm. Let's think again. The problem requires that exactly two of the three formulas are satisfied. Suppose we can model this as a logical OR of three possibilities:
1. F1 and F2 are satisfied and F3 is not.
2. F1 and F3 are satisfied and F2 is not.
3. F2 and F3 are satisfied and F1 is not.
Each of these conditions requires that two formulas are satisfied and the third is not. So the problem reduces to checking if any of these three conditions is satisfiable.
Now, each of these three conditions can be viewed as the conjunction of two SAT problems and the negation of a third. However, checking whether there exists an assignment that satisfies F1 ∧ F2 and ¬F3 is equivalent to checking if the formula (F1 ∧ F2) ∧ (¬F3) is satisfiable.
But ¬F3 is the negation of a CNF formula, which is equivalent to a DNF formula. However, SAT for DNF is in P. Wait, but combining a CNF (F1 ∧ F2) with a DNF (¬F3) would not be straightforward. Because the conjunction of a CNF and a DNF would be a more complex formula.
Wait, but the formula (F1 ∧ F2) ∧ ¬F3 is equivalent to F1 ∧ F2 ∧ ¬F3. But how can we check if this is satisfiable?
But SAT for CNF is NP-hard. However, checking if there's an assignment that satisfies F1 ∧ F2 and does not satisfy F3 is equivalent to checking if F1 ∧ F2 is satisfiable and that F3 is not implied by F1 ∧ F2. But this seems like a coNP-hard problem, perhaps.
Alternatively, if we can model this as a combination of SAT and UNSAT, which would make it harder than NP.
But this suggests that the problem A might not be in P, since each of these three conditions would require checking a coNP condition. Therefore, the problem might be NP-hard.
But how to proceed? Let's think of a reduction from SAT to A.
Let's take an arbitrary CNF formula F. We need to construct three formulas F1, F2, F3 such that there's an assignment satisfying exactly two of them iff F is satisfiable.
Let's try this: Let F1 = F, F2 = F, F3 = (some tautology T). Now, what happens?
If F is satisfiable:
- There exists an assignment that satisfies F, which would satisfy F1 and F2. Since T is a tautology, F3 is also satisfied. So all three are satisfied. Not good.
But there might be other assignments. For example, if F is satisfiable, but we choose an assignment that doesn't satisfy F. Then F1 and F2 are not satisfied, but F3 is. So only one.
So in this case, there's no assignment that satisfies exactly two. Unless there exists an assignment that satisfies exactly F3 and one of F1 or F2. But since F3 is a tautology, it's always satisfied. So any assignment must satisfy F3. Therefore, to have exactly two satisfied, the assignment must satisfy F3 and exactly one of F1 or F2. But since F1 and F2 are both F, this would require that F is satisfied (so both F1 and F2 are satisfied) and F3, leading to three. Or if F is not satisfied, then F3 is satisfied, but F1 and F2 are not. So exactly one. Therefore, in this construction, the problem A would return yes iff F is unsatisfiable. Because if F is unsatisfiable, then F1 and F2 are never satisfied, and F3 is always satisfied. So every assignment satisfies exactly one (F3), not two. Wait, this doesn't work.
Hmm. Maybe another approach. Let's create F1 = F, F2 = ¬F ∧ T, F3 = ¬F ∧ T. But again, ¬F is not a CNF.
Alternatively, introduce new variables. Let's say we create three formulas such that exactly two can be satisfied iff F is satisfiable.
Let me think of the following construction. Let F1 = F ∧ X, where X is a new variable. F2 = F ∧ Y, where Y is a new variable. F3 = F ∧ ¬X ∧ ¬Y. Wait, not sure.
Alternatively, use two new variables X and Y. Let F1 = F. F2 = X. F3 = Y. Now, we want that exactly two of them are satisfied. But this doesn't relate directly to F.
Another Idea: Let's create three formulas where two of them are tautologies that are always true, and the third is F. Then, to have exactly two satisfied, F must be false. But then the problem A would be equivalent to checking if F is unsatisfiable. Which would make A coNP-hard. But the problem is to show NP-hardness.
Alternatively, create F1 = F, F2 = a tautology, F3 = a tautology. Then, any assignment satisfies F2 and F3. So to have exactly two satisfied, F must be false. So the problem A would have a yes instance iff F is unsatisfiable. Which would imply that A is coNP-hard. But since the problem is to show NP-hardness, this might not help directly.
But if we can reduce coSAT to A, then A would be coNP-hard, but the question is whether it's in P or NP-hard. However, if A is coNP-hard, then assuming NP≠coNP, A would not be in NP, hence not in P. But the options are between P and NP-hard. So if it's coNP-hard, then it's also NP-hard under Turing reductions, but maybe not under many-one reductions.
Hmm, this is getting complicated. Let's think again.
The problem requires that exactly two of the three formulas are satisfied. Let's consider that each of the three possibilities (which two are satisfied) requires that the assignment satisfies those two and not the third. If we can model each of these three cases as a SAT problem, then the original problem A is equivalent to the OR of these three SAT problems.
So A is a yes instance iff at least one of the three SAT instances (F1 ∧ F2 ∧ ¬F3, F1 ∧ F3 ∧ ¬F2, F2 ∧ F3 ∧ ¬F1) is satisfiable.
But each of these three formulas is a conjunction of CNFs and the negation of a CNF. However, ¬F3 is a DNF, so the entire formula would be a conjunction of CNF and DNF, which is not CNF. So checking the satisfiability of such a formula might be NP-hard.
Therefore, the problem A seems to require checking if any of three combinations (each of which is a conjunction of two CNFs and a DNF) is satisfiable. This seems like it's in NP, but whether it's NP-hard or not depends on whether we can reduce an NP-hard problem to it.
But how to show that A is NP-hard. Let's try to reduce SAT to A.
Given a CNF formula F, construct three formulas F1, F2, F3 such that there's an assignment satisfying exactly two of them iff F is satisfiable.
Let's try this: Let F1 = F, F2 = F, F3 = ¬F ∧ something. But again, ¬F is a problem.
Alternative approach: Let's create F1 = F, F2 = a tautology, F3 = a tautology.
Now, any assignment satisfies F2 and F3. So to have exactly two satisfied, F must be false. Therefore, A has a yes answer iff F is unsatisfiable. Because then there exists assignments where F is false (so exactly two satisfied). Wait, if F is unsatisfiable, then F1 is always false, so every assignment satisfies exactly F2 and F3 → exactly two. So yes. If F is satisfiable, then there exists assignments where F is true (so three satisfied), but there might also be assignments where F is false (so two satisfied). Therefore, A would have yes regardless of F's satisfiability. Because even if F is satisfiable, there are assignments where F is false. So this approach doesn't work.
Ah, right. Because the problem asks for existence of at least one assignment. So if F is satisfiable, there exists assignments where F is true (so three satisfied), but there also exist assignments where F is false (assuming F is not a tautology), which would satisfy exactly two. Unless F is a tautology. Wait, if F is a tautology, then F1 is always true, so every assignment satisfies F1, F2, F3 (since F2 and F3 are tautologies). So exactly three. So in this case, A would be no.
But this complicates things. Because if we use this construction, the answer to A depends on whether F is a tautology or not, which is a coNP-hard problem. Not helpful.
Hmm. Another Idea: Let's set F1 = F, F2 = F, F3 = F. Then, any assignment either satisfies all three or none. So the problem A would have a yes answer iff there exists an assignment that satisfies exactly three or exactly zero. But since exactly two is required, this construction would make A a no instance regardless. Not helpful.
Alternative Idea: Let's create three formulas such that exactly two can only be satisfied if F is satisfied, and the third is constructed to allow this.
Let’s try to use a new variable X. Let F1 = F. F2 = X. F3 = ¬X. Now, for any assignment, X is either true or false. If X is true, then F2 is satisfied and F3 is not. To have exactly two satisfied, F must be satisfied. Similarly, if X is false, then F3 is not satisfied, and F2 is not. To have exactly two satisfied, F must be satisfied. Wait:
Wait, if X is true:
- F2 is satisfied.
- F3 is not satisfied.
So to have exactly two satisfied formulas, F (F1) must be satisfied, and then F1 and F2 are satisfied (two), which meets the condition. So if F is satisfiable, then we can choose X to be true and an assignment where F is satisfied. Then exactly two (F1 and F2) are satisfied. Similarly, if X is false, then F3 is satisfied (since F3 is ¬X?), wait no:
Wait, F2 = X. So F2 is satisfied if X is true. F3 = ¬X → satisfied if X is false.
So:
Case 1: X is true.
F1: F must be satisfied.
F2: satisfied.
F3: not satisfied.
So to have exactly two satisfied: F must be satisfied (F1 yes, F2 yes, F3 no). So this requires F to be satisfiable.
Case 2: X is false.
F1: F must be satisfied.
F2: not satisfied.
F3: satisfied.
Again, to have exactly two satisfied, F must be satisfied. So in this case, F1 and F3 are satisfied.
So overall, the problem A has a yes answer iff F is satisfiable. Because if F is satisfiable, then we can choose X to be true and have an assignment where F is satisfied (so F1 and F2), or X false and F satisfied (F1 and F3). Conversely, if there's an assignment satisfying exactly two formulas, then F must be satisfied (since either X or ¬X is satisfied, and whichever is the case, F must be satisfied to have two).
Therefore, this construction reduces SAT to problem A. Because given F, we construct F1 = F, F2 = X, F3 = ¬X. All three are CNF formulas (since X and ¬X are single-clause CNFs, and F is a CNF). The reduction is polynomial time.
So if F is satisfiable, then A has a yes answer. If F is unsatisfiable, then A has no answer. Therefore, this is a valid reduction from SAT to A. Hence, A is NP-hard.
But wait, are F2 and F3 CNF? Yes. F2 is X, which is a single literal (so CNF). Similarly, F3 is ¬X, also a single clause. So this works.
Therefore, the answer should be that A is NP-hard. And the reduction is SAT ≤p A.
So the options would be option 2 set to 1.
For the answer template, the reduction would be SAT ≤p A, and the justification would be the construction of F1=F, F2=X, F3=¬X, and explaining that exactly two are satisfied iff F is satisfiable.
Answer
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine KNF-Formel $F$, konstruieren wir drei Formeln $F_1 = F$, $F_2 = x$, $F_3 = \neg x$, wobei $x$ eine neue Variable ist.
- **Korrektheit:**
- Wenn $F$ erfüllbar ist, existiert eine Belegung $\sigma'$, die $F$ erfüllt. Setze $x = 1$ (erfüllt $F_2$) oder $x = 0$ (erfüllt $F_3$). In beiden Fällen wird genau eine der beiden Formeln $F_2$ oder $F_3$ erfüllt, während $F_1$ erfüllt ist. Somit gibt es eine Belegung, die genau zwei Formeln erfüllt.
- Wenn $A$ eine positive Antwort hat, gibt es eine Belegung $\sigma$, die genau zwei der drei Formeln erfüllt. Da $F_2$ und $F_3$ sich gegenseitig ausschließen ($x$ und $\neg x$), muss $F_1 = F$ erfüllt sein. Somit ist $F$ erfüllbar.
Die Reduktion ist polynomiell, da $F_1, F_2, F_3$ direkt aus $F$ konstruiert werden können.
</answer>
Gegeben: Drei KNF-Formeln mit Variablen aus . Problem : Gibt es eine Belegung , die genau zwei der drei Formeln erfüllt?
☐☒ ist -hart
Reduktion: Begründung: Gegeben eine KNF-Formel , konstruieren wir drei Formeln , , , wobei eine neue Variable ist. - Korrektheit: - Wenn erfüllbar ist, existiert eine Belegung , die erfüllt. Setze (erfüllt ) oder (erfüllt ). In beiden Fällen wird genau eine der beiden Formeln oder erfüllt, während erfüllt ist. Somit gibt es eine Belegung, die genau zwei Formeln erfüllt. - Wenn eine positive Antwort hat, gibt es eine Belegung , die genau zwei der drei Formeln erfüllt. Da und sich gegenseitig ausschließen ( und ), muss erfüllt sein. Somit ist erfüllbar. Die Reduktion ist polynomiell, da direkt aus konstruiert werden können.
Subproblem b (8.0/8.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine KNF-Formel $F$, konstruieren wir drei Formeln $F_1 = F$, $F_2 = x$, $F_3 = \neg x$, wobei $x$ eine neue Variable ist.
- **Korrektheit:**
- Wenn $F$ erfüllbar ist, existiert eine Belegung $\sigma'$, die $F$ erfüllt. Setze $x = 1$ (erfüllt $F_2$) oder $x = 0$ (erfüllt $F_3$). In beiden Fällen wird genau eine der beiden Formeln $F_2$ oder $F_3$ erfüllt, während $F_1$ erfüllt ist. Somit gibt es eine Belegung, die genau zwei Formeln erfüllt.
- Wenn $A$ eine positive Antwort hat, gibt es eine Belegung $\sigma$, die genau zwei der drei Formeln erfüllt. Da $F_2$ und $F_3$ sich gegenseitig ausschließen ($x$ und $\neg x$), muss $F_1 = F$ erfüllt sein. Somit ist $F$ erfüllbar.
Die Reduktion ist polynomiell, da $F_1, F_2, F_3$ direkt aus $F$ konstruiert werden können.
</answer>
user:
## subproblem b (8.0 points)
**Gegeben:** Eine 2KNF-Formel $F$ mit Variablenmenge $V=\{x_1, ..., x_n\}$, eine Menge $\{1, ..., l\}$ von Farben (mit $l>0$) und eine Funktion $g: V \to \{1 ,...,l\}$, die jeder Variable eine Farbe zuordnet.
**Problem $A$:** Gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma$, sodass alle Variablen, die von $\sigma$ zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$ mit $g(x_i) \neq g(x_j)$ für alle $i<j \leq n$ mit $\sigma(x_i)=1= \sigma(x_j)$?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Okay, let's tackle this problem. So, the problem is about a 2CNF formula F, each variable has a color assigned by function g, and we need to determine if there's a satisfying assignment where all variables set to true have distinct colors. Hmm. First, I need to figure out if this problem is in P or NP-hard. The hint says to use reductions. Since it's a 2CNF formula, maybe there's a way to model this as a graph problem, similar to how 2SAT is solved using implication graphs. But the added constraint of colors complicates things. Wait, the problem requires that all true variables have unique colors. So, if two variables have the same color, they can't both be true. That's a constraint. So, in addition to the 2CNF clauses, we have these color-based constraints. But how to model this? Let me think. The original 2SAT problem can be reduced to finding a path in the implication graph. But here, we have additional constraints that for any two variables with the same color, they can't both be true. So, for each color c, we must have at most one variable of color c set to 1. So, this seems similar to a 2SAT problem with additional mutual exclusion constraints between variables of the same color. But since these mutual exclusions are between variables of the same color, which could be multiple variables, how does that affect the problem's complexity? Wait, but if we can model all these constraints in a way that keeps the problem in P, then A would be in P. Alternatively, if the constraints make it NP-hard, then we need to find a reduction. Let me consider possible approaches. For a problem in P, maybe we can reduce it to 2SAT with some additional clauses. But the color constraint requires that for each color, at most one variable in the group of that color is true. That's a kind of "at most one" constraint, which can be expressed in 2CNF. Because for each color c, and for every pair of distinct variables x and y of color c, we add the clause (¬x ∨ ¬y). This would enforce that not both x and y can be true. However, if the number of variables per color is large, the number of clauses could be quadratic in the number of variables, which might be a problem. But since the problem allows any polynomial-time reduction, even if the number of clauses increases quadratically, as long as it's polynomial, it's acceptable. Wait, but if we can add all these clauses and still have a 2CNF formula, then solving the new 2CNF formula would be equivalent to solving the original problem. Then the problem reduces to 2SAT, which is in P. But wait, adding all these clauses would make the formula larger. For each color c, if there are k variables of color c, then we need O(k²) clauses. If the number of variables per color is large, this could be expensive, but still polynomial. For example, if there are n variables, and all have the same color, then this would be O(n²) clauses. But 2SAT with O(n²) clauses is still solvable in linear time in the size of the formula, which would be O(n²), so polynomial overall. Therefore, this approach would work. So, the reduction would be to take the original 2CNF formula F and add for each color c the clauses (¬x ∨ ¬y) for every pair x, y of color c. Then, the problem reduces to checking the satisfiability of this extended 2CNF formula. Since 2SAT is in P, then this problem A would also be in P. Wait, but wait a second. The problem requires that all variables set to true must have distinct colors. So, variables of different colors can be true together, but same color can't. So, the added constraints are exactly those pairwise clauses. Therefore, if we construct a new formula F' = F ∧ (all clauses ¬x ∨ ¬y for each pair of same-colored variables), then F' is a 2CNF formula. Then, solving F' via 2SAT would give the answer. Therefore, the problem A is in P. But wait, is that correct? Let me check. Suppose there's a satisfying assignment for F' then obviously it satisfies F and also the color constraints. Conversely, if there's a satisfying assignment for F with all true variables having distinct colors, then that assignment must satisfy F' because it can't have two same-colored variables both true, so all the added clauses are satisfied. Therefore, the equivalence holds. Therefore, A is in P. But wait, the problem says "gegeben eine 2KNF-Formel F", so the input F is a 2CNF. Then, adding the clauses which are all binary (each is ¬x ∨ ¬y) would keep the formula as a 2CNF. Therefore, F' is a 2CNF, and 2SAT is in P. Therefore, the problem A is in P. But wait, the problem allows the variables to have colors, but the reduction would be to add clauses that enforce that no two variables of the same color are both true. So, the answer would be option 1: A is in P. But wait, is there a case where the number of clauses added is exponential? No, because for each color c, if there are k variables with color c, then the number of pairs is k choose 2, which is O(k²). Since the total number of variables is n, the total number of such clauses across all colors would be O(n²), which is polynomial. Therefore, the reduction is polynomial time. Therefore, the problem can be reduced to 2SAT with a polynomial number of additional clauses, and since 2SAT is in P, the problem A is in P. Therefore, the answer is option 1: 1. But wait, wait. Let me think again. Suppose that the original formula F has a satisfying assignment where variables of the same color are both true. Then, the new formula F' would not be satisfied by that assignment. So, the reduction is correct. Therefore, the problem A is equivalent to checking the satisfiability of F' which is a 2CNF. Therefore, in P. But wait, the problem says "gibt es eine erfüllende Belegung σ für F, sodass alle Variablen, die auf wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben". So, the assignment must satisfy F and also the color constraints. Therefore, the problem is equivalent to F' being satisfiable. Therefore, the problem is in P. But wait, but what if the number of colors is arbitrary? For example, if each variable has a unique color, then the color constraints are automatically satisfied. Then the problem reduces to 2SAT. So in that case, it's in P. Alternatively, if all variables have the same color, then the problem requires that at most one variable is true. Which would require that in the formula F, there exists a way to set at most one variable to true and satisfy all clauses. But how would that be possible? For example, if F has clauses that require at least one variable to be true, then in this case, you need exactly one variable to be true, but if there are multiple variables, you have to choose one. But how would that interact with the clauses? But regardless of the structure, the approach of adding all the pairwise clauses would enforce that. So, the reduction to 2SAT is valid. Therefore, the problem is in P. But wait, I'm a bit confused. Let me think of a simple example. Suppose F is (x1 ∨ x2) ∧ (¬x1 ∨ ¬x2), and all variables have the same color. Then the original F is satisfiable with x1 and x2 being opposite, but the color constraint requires that only one is true. However, the original F allows x1=1 and x2=0, which would satisfy F. But if we add the clause ¬x1 ∨ ¬x2, then F' becomes (x1 ∨ x2) ∧ (¬x1 ∨ ¬x2) ∧ (¬x1 ∨ ¬x2), which simplifies to (x1 ∨ x2) ∧ (¬x1 ∨ ¬x2). The satisfying assignments are x1 and x2 being opposite. So, in this case, the assignments would have exactly one variable true, which satisfies the color constraint. So, the approach works. Another example: if F is (x1) ∧ (x2), and both variables have the same color. Then the color constraint would require that not both x1 and x2 are true. But F requires both to be true. Therefore, F' would be F ∧ (¬x1 ∨ ¬x2), which is unsatisfiable. Which is correct, because there's no assignment that satisfies F and the color constraints. So the approach works. Therefore, the reduction seems correct. Therefore, the answer is that A is in P. So option 1 is 1, option 2 is 0. Wait, but wait. Wait, the problem says "gegeben eine 2KNF-formel". So the input is a 2CNF formula. The problem A is to find a satisfying assignment with the color constraints. So the reduction is to create a new 2CNF formula F' which is F plus all the pairwise clauses for same-colored variables. Then, A is satisfiable iff F' is satisfiable. Therefore, since 2SAT is in P, the problem A is in P. Therefore, the answer should be option 1: A is in P. But wait, is there a case where the problem becomes NP-hard? For example, if the constraints are not pairwise? But in this problem, the constraints are exactly pairwise. So adding them to 2CNF is possible. Therefore, the problem is in P. So the answer is option 1: 1, and the reduction is A ≤_p 2SAT, by constructing F' as F plus all the pairwise clauses. Then, since 2SAT is in P, A is in P. Wait, but the answer template says to provide a reduction from A to B in P. So the reduction would be A ≤_p 2SAT. How? The reduction function takes an instance of A (F, g) and constructs F' as F plus all clauses (¬x ∨ ¬y) for variables x,y with g(x)=g(y). Then, F' is a 2CNF formula. Then, solving F' via 2SAT gives the answer. Therefore, the reduction is correct. Therefore, the answer is option 1: 1, and the answer template would be: Reduktion: A ≤_p 2SAT Begründung: Konstruiere F' durch Hinzufügen von Klauseln (¬x ∨ ¬y) für alle Paare x,y mit gleicher Farbe. F' ist eine 2KNF-Formel, deren Erfüllbarkeit genau dann besteht, wenn eine gültige Belegung für A existiert. Da 2SAT in P liegt, folgt A ∈ P. Yes, that makes sense. Therefore, the correct answer is option 1: 1, and the answer is as described.
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktion: $A \le_p \mathsf{2SAT}$
Begründung:
Gegeben eine Instanz von $A$ mit 2KNF-Formel $F$, Farbfunktion $g$, konstruieren wir eine neue 2KNF-Formel $F'$, indem wir für alle Paare von Variablen $x_i, x_j$ mit $g(x_i) = g(x_j)$ die Klausel $(\neg x_i \lor \neg x_j)$ hinzufügen.
- **Korrektheit:**
- Jede erfüllende Belegung von $F'$ erfüllt automatisch $F$ und stellt sicher, dass keine zwei Variablen gleicher Farbe gleichzeitig wahr sind (durch die hinzugefügten Klauseln).
- Umgekehrt erfüllt jede Belegung, die $A$ löst, auch $F'$, da sie $F$ erfüllt und die Farbbegrenzung einhält.
- **Polynomielle Laufzeit:**
Für jede Farbe $c$ mit $k_c$ Variablen entstehen $\binom{k_c}{2}$ Klauseln. Die Gesamtzahl der Klauseln ist in $O(n^2)$, was polynomiell bleibt.
Da $\mathsf{2SAT} \in \mathsf{P}$, folgt $A \in \mathsf{P}$.
</answer>
Gegeben: Eine 2KNF-Formel mit Variablenmenge , eine Menge von Farben (mit ) und eine Funktion , die jeder Variable eine Farbe zuordnet. Problem : Gibt es eine erfüllende Belegung , sodass alle Variablen, die von zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung mit für alle mit ?
☒☐ ist -hart
Reduktion: Begründung: Gegeben eine Instanz von mit 2KNF-Formel , Farbfunktion , konstruieren wir eine neue 2KNF-Formel , indem wir für alle Paare von Variablen mit die Klausel hinzufügen. - Korrektheit: - Jede erfüllende Belegung von erfüllt automatisch und stellt sicher, dass keine zwei Variablen gleicher Farbe gleichzeitig wahr sind (durch die hinzugefügten Klauseln). - Umgekehrt erfüllt jede Belegung, die löst, auch , da sie erfüllt und die Farbbegrenzung einhält. - Polynomielle Laufzeit: Für jede Farbe mit Variablen entstehen Klauseln. Die Gesamtzahl der Klauseln ist in , was polynomiell bleibt. Da , folgt .
qwen/qwen3-235b-a22b-thinking-2507
Exercise 7: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme entweder, dass es in liegt, oder, dass es -hart ist. Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit. Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen. Achtung: Auch um zu zeigen, dass das Problem in liegt, ist eine Reduktion anzugeben! Hinweis: Um zu zeigen, dass ein Problem in liegt, geben Sie eine Reduktion für ein an, reduzieren Sie also auf ein Problem , von dem wir wissen, dass es in liegt, z.B. oder . Um zu zeigen, dass ein Problem -hart ist, geben Sie eine Reduktion an, wobei ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa , , oder .
Subproblem a (6.0/6.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Okay, let's see. I need to figure out whether problem A is in P or NP-hard. The problem is: given three CNF formulas F1, F2, F3 over the same variables V, does there exist a truth assignment that satisfies exactly two of the three formulas? First, I should recall that problems in P can be solved in polynomial time, while NP-hard problems are at least as hard as the hardest problems in NP. To show A is in P, I can reduce it to a known problem in P like 2COL or 2KNF-SAT. Alternatively, if I can't find such a reduction, maybe it's NP-hard, so I need to reduce a known NP-hard problem like 3SAT or 3COL to A. Wait, the problem is about exactly two of three formulas being satisfied. Hmm. Let's think about possible approaches. Let me consider what kind of constraints we have here. For each assignment, exactly two formulas must be true. So, for each possible pair (F1 and F2 but not F3), (F1 and F3 but not F2), (F2 and F3 but not F1), the assignment must satisfy one of these three cases. So maybe I can model this as a disjunction of three possibilities. Each possibility is a conjunction of two formulas being satisfied and one being unsatisfied. But how do I check if there's an assignment that satisfies, say, F1 and F2 but not F3? Well, F1 and F2 is the conjunction F1 ∧ F2, and not F3 is equivalent to the negation of F3, which is a DNF formula (since the negation of a CNF is DNF). Wait, but checking whether F1 ∧ F2 ∧ ¬F3 is satisfiable might not be straightforward. Alternatively, maybe reduce the problem to a known NP problem. But the question is whether it's in P or NP-hard. Wait, but if the problem was "satisfies at least two", it might be different, but here it's exactly two. Let me think of the general case. Suppose we have three instances, and we need the assignment to satisfy exactly k of them. How does that affect complexity? Alternatively, consider that for each pair of formulas, we can check if there's an assignment that satisfies both and doesn't satisfy the third. So the problem A is equivalent to (there exists σ that satisfies F1, F2, and not F3) OR (satisfies F1, F3, not F2) OR (satisfies F2, F3, not F1). So, for each of the three cases, we need to check if there's an assignment that satisfies the conjunction of two formulas and the negation of the third. But checking for each case: for example, for the first case, F1 ∧ F2 ∧ ¬F3. However, ¬F3 is a DNF formula. The conjunction of F1 (CNF), F2 (CNF), and a DNF (¬F3) would not be a standard form. Wait, but how do we check if F1 ∧ F2 is satisfiable and F3 is not satisfied by the same assignment? That is, does there exist σ such that σ models F1 and F2, and σ does not model F3. So, first check if (F1 ∧ F2) is satisfiable, and also whether (F1 ∧ F2) ∧ ¬F3 is satisfiable. But the problem is that ¬F3 is not a CNF formula, so the combined formula isn't in CNF, but satisfiability checking for general formulas is possible (since SAT is for CNF, but any formula can be converted to CNF with addition of variables, but perhaps that's not helpful here). Wait, but the problem A is: does there exist σ such that it satisfies exactly two of F1, F2, F3. So, for each pair, check if there's an assignment that satisfies both in the pair and doesn't satisfy the third. So, the problem A can be reduced to three instances of checking if (Fi ∧ Fj) is satisfiable and (Fi ∧ Fj ∧ ¬Fk) is satisfiable (where k is the third formula). Wait, but how do we check if (F1 ∧ F2) ∧ ¬F3 is satisfiable? Note that F3 is a CNF formula, so ¬F3 is equivalent to a DNF formula. The conjunction of F1, F2 (CNF), and a DNF may not be easy to handle directly, but in terms of complexity, checking the satisfiability of such a formula is still in NP, but the question is whether the entire problem A can be solved in polynomial time. Alternatively, perhaps each of these three cases (for each pair) can be checked in polynomial time. If so, then the entire problem A is in P because it's a disjunction of three polynomial-time checks. Wait, but for example, checking if F1 ∧ F2 ∧ ¬F3 is satisfiable. Let's denote G = F1 ∧ F2. So we need to check if G is satisfiable and G implies ¬F3. Wait, no. We need to check if there exists σ such that G(σ) is true and F3(σ) is false. Which is equivalent to checking if G ∧ ¬F3 is satisfiable. But G is CNF (since it's the conjunction of two CNFs), and ¬F3 is DNF. So the conjunction G ∧ ¬F3 is a CNF combined with a DNF. But how to check its satisfiability? Alternatively, ¬F3 is equivalent to the disjunction of the negations of each clause in F3. Wait, F3 is a CNF, so it's a conjunction of clauses. So ¬F3 is the disjunction of the negations of each clause. Wait, no: ¬(C1 ∧ C2 ∧ ... ∧ Cm) is ¬C1 ∨ ¬C2 ∨ ... ∨ ¬Cm. Each clause Ci is a disjunction of literals, so ¬Ci is a conjunction of negated literals. Therefore, ¬F3 is a DNF formula where each term is the conjunction of negated literals from a clause. But regardless of the form, the problem of checking if there's an assignment that satisfies both G (CNF) and ¬F3 (DNF) is equivalent to determining if the disjunction over each DNF term (each term is ¬Ci) of (G ∧ term) is satisfiable. So for each clause Ci in F3, check if G ∧ ¬Ci is satisfiable. Because ¬F3 is ∨ ¬Ci, so G ∧ ¬F3 is equivalent to ∨ (G ∧ ¬Ci). Therefore, to check if G ∧ ¬F3 is satisfiable, we can check for each clause Ci in F3 whether G ∧ ¬Ci is satisfiable. If any of them is, then G ∧ ¬F3 is satisfiable. But G is F1 ∧ F2, which is CNF, and ¬Ci is the conjunction of literals (since Ci is a disjunction of literals, so ¬Ci is the conjunction of negated literals). So G ∧ ¬Ci is the conjunction of the CNF G and the conjunction ¬Ci, which is a set of literals. So this is equivalent to adding these literals as unit clauses to G. So checking if G ∧ ¬Ci is satisfiable is just checking if the CNF G with additional unit clauses (the negated literals from Ci) is satisfiable. Wait, if Ci is, say, (l1 ∨ l2 ∨ ... ∨ lk), then ¬Ci is (¬l1 ∧ ¬l2 ∧ ... ∧ ¬lk). So adding these as unit clauses to G. Then, checking if G along with these unit clauses is satisfiable. Since unit clauses can be processed by unit propagation in polynomial time (as in the DPLL algorithm), but in general, for a CNF formula, adding unit clauses and checking satisfiability is in P? No, because the original G (F1 ∧ F2) could be any CNF, so the resulting formula is a CNF, and SAT for CNF is NP-complete. Wait, but here G is given as part of the input, but F1 and F2 are CNFs. So the problem reduces to, for each Ci in F3, check if F1 ∧ F2 ∧ (¬l1) ∧ ... ∧ (¬lk) is satisfiable, where l1,...,lk are the literals in clause Ci of F3. But each of these is a 3CNF? No, F1 and F2 could be any CNF formulas, not necessarily 3CNF. Wait, the problem statement says three KNF-formulas, which I assume is CNF (Conjunctive Normal Form). So they can have any number of literals per clause. But the question is, for problem A, which takes three CNF formulas as input, and asks if there's an assignment satisfying exactly two. So, to check each of the three cases (each pair), we need to check if for that pair, there's an assignment that also doesn't satisfy the third formula. But each check would involve, for example, checking if F1 ∧ F2 is satisfiable and whether there's an assignment that also falsifies F3. Wait, but the problem of determining if F1 ∧ F2 ∧ ¬F3 is satisfiable is equivalent to the satisfiability of (F1 ∧ F2) ∧ (¬F3). But as I thought earlier, ¬F3 is DNF, but the conjunction of CNF and DNF is not necessarily CNF. However, for the purpose of checking satisfiability, it's equivalent to checking if there's an assignment that satisfies F1, F2, and at least one clause of ¬F3. Since ¬F3 is the disjunction of ¬Ci for each clause Ci in F3, the conjunction becomes F1 ∧ F2 ∧ (∨ ¬Ci) which is equivalent to ∨ (F1 ∧ F2 ∧ ¬Ci). So for each clause Ci in F3, check if F1 ∧ F2 ∧ ¬Ci is satisfiable. Each of these is a CNF formula (since F1, F2 are CNF, and ¬Ci is a conjunction of literals, which can be added as unit clauses to the CNF). So checking each F1 ∧ F2 ∧ ¬Ci for satisfiability is a SAT problem for a CNF formula, which is NP-complete. But wait, if each check is NP-complete, then how can the entire problem A be in P? Hmm, this is confusing. Suppose F1, F2, F3 are arbitrary CNF formulas. Then, to check if there's an assignment satisfying exactly two of them, for each pair (say F1 and F2), we need to check if there's an assignment that satisfies both F1 and F2 but not F3. As discussed, this requires checking if F1 ∧ F2 ∧ ¬F3 is satisfiable, which, as we saw, reduces to checking for each clause in F3 whether F1 ∧ F2 plus the negation of that clause's literals is satisfiable. But since F1 and F2 are CNFs, adding the negations of literals from a clause (which is a conjunction) as unit clauses would result in another CNF. So each F1 ∧ F2 ∧ ¬Ci is a CNF, and checking its satisfiability is a SAT problem, which is NP-complete. But for the problem A to be in P, we would need these checks to be doable in polynomial time. Wait, but in reality, the problem is whether the entire problem A can be solved in polynomial time, given that for each instance, we have to perform some checks. But if each check is NP-hard, then perhaps problem A is NP-hard. But wait, the problem A is a decision problem: given F1, F2, F3, is there an assignment with exactly two satisfied formulas? Alternatively, perhaps there's a way to reduce a known NP-hard problem to A. For example, maybe reduce SAT to A. Let's see. Suppose we have a CNF formula F. We want to determine if F is satisfiable. Can we construct three formulas such that exactly two are satisfied iff F is satisfiable? Alternatively, let's think: if we take two copies of F and one tautology. Wait, for example: Let F1 = F, F2 = F, F3 = TRUE (a tautology, like x ∨ ¬x). Then, an assignment that satisfies exactly two formulas would need to satisfy F1 and F2 but not F3. But F3 is always true, so it's impossible. Alternatively, no: F3 is always true, so any assignment satisfies F3. Then the assignments would have to satisfy exactly two formulas, which would be F1 and F3 or F2 and F3, but since F1=F2, satisfying F1 and F3 means F is satisfied (since F1=F is satisfied). Wait, but if F is satisfied, then F1 and F2 are satisfied, so all three formulas would be satisfied (since F3 is TRUE), which would mean three formulas satisfied, which doesn't count. If F is not satisfied, then F1 and F2 are not satisfied, so only F3 is satisfied, which is one formula, incorrect. Hmm, that's not helpful. Alternatively, take F1 = F, F2 = FALSE (a contradiction, like x ∧ ¬x), F3 = TRUE. Then exactly two formulas would need to satisfy exactly F1 and F3, which happens when F1 is satisfied (so F is SAT), because F2 is never satisfied and F3 is always true. So if F is satisfiable, then F1 and F3 are satisfied (two), which is good. If F is not satisfiable, then no assignment satisfies F1, so only F3 is satisfied (one), which would not be a 'yes' instance for A. Therefore, the problem A would be equivalent to F being satisfiable. Wait, let's formalize this: Let F be any CNF formula. Construct F1 = F, F2 = (x ∧ ¬x) [a contradiction, always false], F3 = (y ∨ ¬y) [a tautology, always true]. Now, for any assignment σ: - F2 is false (always). - F3 is true (always). - F1 is true iff σ satisfies F. The number of satisfied formulas is: - If σ satisfies F: F1 (yes), F2 (no), F3 (yes) → exactly two? Wait, two yeses (F1 and F3), so exactly two. So yes. - If σ does not satisfy F: F1 (no), F2 (no), F3 (yes) → only one yes (F3), so exactly one, which doesn't count. Therefore, the constructed instance (F1, F2, F3) is a 'yes' instance of A if and only if F is satisfiable. But wait, F is an arbitrary CNF formula, and we want to reduce SAT to A. So given any SAT instance F, we can construct F1=F, F2=contradiction, F3=tautology. Then A has a yes answer iff F is satisfiable. This would imply that A is NP-hard, since SAT is NP-hard. Wait, but is this correct? Let's verify: The problem A is whether there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas. In the constructed instance, F2 is always false, F3 is always true. So for any assignment: - F2 is false, F3 is true. - F1 is true or false. So the count is either: - F1 true: total 2 (F1 and F3) → satisfies "exactly two" → yes. - F1 false: total 1 (F3 only) → no. Therefore, the A instance is yes iff F is satisfiable. Therefore, the reduction from SAT to A is correct. So SAT ≤p A, hence A is NP-hard. Wait, but the problem states that to show NP-hardness, we need a reduction from a known NP-hard problem to A. Here, we did SAT ≤p A, so A is NP-hard. But wait, what about if A is also in NP, which it probably is. But the question is just whether it's in P or NP-hard. Since we've shown it's NP-hard (assuming the reduction is correct), then it's not in P unless P=NP. So the answer would be that A is NP-hard. But wait, earlier thought about whether it's in P: but according to this reduction, it's at least as hard as SAT, which is NP-hard. So the correct answer here is that A is NP-hard, so option 2 should be chosen (1 if NP-hard, since the options are "A is NP-hard" as option 2). But wait, the options are: <option id="1">A ∈ P</option> <option id="2">A ist NP-hart</option> So if A is NP-hard, we set option 2 to 1, and option 1 to 0. But let me check again. The reduction I proposed: to convert SAT instance F into A instance (F1=F, F2=contradiction, F3=tautology). Then SAT is reducible to A. So if A were in P, then SAT would be in P, which is unlikely. Hence A is NP-hard. Yes, that seems correct. Wait, but the problem statement says that to show A is in P, you have to reduce A to a problem in P. But here, since we've reduced SAT to A, A is NP-hard. Yes, so the answer should be option 2 set to 1. Wait, but what about the possibility that the problem is both NP-hard and in P? Well, only if P=NP, which we assume is not the case, so the problem is outside P. Therefore, the answer is A is NP-hard. So in the options: <option id="1">0</option> <option id="2">1</option> And for the answer-template, the reduction is SAT ≤p A. Wait, the reduction function would take a CNF formula F and produce three CNF formulas F1, F2, F3 where F1=F, F2 is a contradiction (e.g., x ∧ ¬x), F3 is a tautology (e.g., x ∨ ¬x). Then, the correctness is sketched as follows: F is satisfiable iff there exists an assignment that satisfies exactly two of F1, F2, F3. Because: - F2 is never satisfied, F3 is always satisfied. - If F is satisfied, then F1 and F3 are satisfied (two), so exactly two. - If F is not satisfied, then only F3 is satisfied (exactly one). Hence the reduction is correct. This seems solid. I think this works. Therefore, problem A is NP-hard.
Answer
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Definiere eine Reduktion von $\mathsf{SAT}$ auf $A$: Für eine gegebene KNF-Formel $F$ mit Variablen aus $V$ konstruiere $F_1 = F$, $F_2 = (x \land \lnot x)$ (Widerspruch, immer unerfüllbar) und $F_3 = (y \lor \lnot y)$ (Tautologie, immer erfüllbar), wobei $x, y \in V$ neue Variablen sind.
Korrektheit: $F$ ist erfüllbar $\iff$ es gibt eine Belegung, die genau zwei der drei Formeln erfüllt.
- Ist $F$ erfüllbar, so gibt es eine Belegung $\sigma$ mit $F_1(\sigma) = \text{wahr}$. Da $F_2$ immer falsch und $F_3$ immer wahr ist, erfüllt $\sigma$ genau $F_1$ und $F_3$ (also zwei Formeln).
- Ist $F$ unerfüllbar, so gilt für alle $\sigma$ entweder $F_1(\sigma) = \text{falsch}$. Somit ist nur $F_3$ erfüllt (eine Formel), also kein $\sigma$ erfüllt genau zwei Formeln.
Die Reduktion ist offensichtlich polynomiell berechenbar, da nur Konstanten hinzugefügt werden.
</answer>
Gegeben: Drei KNF-Formeln mit Variablen aus . Problem : Gibt es eine Belegung , die genau zwei der drei Formeln erfüllt?
☐☒ ist -hart
Reduktion: Begründung: Definiere eine Reduktion von auf : Für eine gegebene KNF-Formel mit Variablen aus konstruiere , (Widerspruch, immer unerfüllbar) und (Tautologie, immer erfüllbar), wobei neue Variablen sind. Korrektheit: ist erfüllbar es gibt eine Belegung, die genau zwei der drei Formeln erfüllt. - Ist erfüllbar, so gibt es eine Belegung mit . Da immer falsch und immer wahr ist, erfüllt genau und (also zwei Formeln). - Ist unerfüllbar, so gilt für alle entweder . Somit ist nur erfüllt (eine Formel), also kein erfüllt genau zwei Formeln. Die Reduktion ist offensichtlich polynomiell berechenbar, da nur Konstanten hinzugefügt werden.
Subproblem b (8.0/8.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Definiere eine Reduktion von $\mathsf{SAT}$ auf $A$: Für eine gegebene KNF-Formel $F$ mit Variablen aus $V$ konstruiere $F_1 = F$, $F_2 = (x \land \lnot x)$ (Widerspruch, immer unerfüllbar) und $F_3 = (y \lor \lnot y)$ (Tautologie, immer erfüllbar), wobei $x, y \in V$ neue Variablen sind.
Korrektheit: $F$ ist erfüllbar $\iff$ es gibt eine Belegung, die genau zwei der drei Formeln erfüllt.
- Ist $F$ erfüllbar, so gibt es eine Belegung $\sigma$ mit $F_1(\sigma) = \text{wahr}$. Da $F_2$ immer falsch und $F_3$ immer wahr ist, erfüllt $\sigma$ genau $F_1$ und $F_3$ (also zwei Formeln).
- Ist $F$ unerfüllbar, so gilt für alle $\sigma$ entweder $F_1(\sigma) = \text{falsch}$. Somit ist nur $F_3$ erfüllt (eine Formel), also kein $\sigma$ erfüllt genau zwei Formeln.
Die Reduktion ist offensichtlich polynomiell berechenbar, da nur Konstanten hinzugefügt werden.
</answer>
user:
## subproblem b (8.0 points)
**Gegeben:** Eine 2KNF-Formel $F$ mit Variablenmenge $V=\{x_1, ..., x_n\}$, eine Menge $\{1, ..., l\}$ von Farben (mit $l>0$) und eine Funktion $g: V \to \{1 ,...,l\}$, die jeder Variable eine Farbe zuordnet.
**Problem $A$:** Gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma$, sodass alle Variablen, die von $\sigma$ zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$ mit $g(x_i) \neq g(x_j)$ für alle $i<j \leq n$ mit $\sigma(x_i)=1= \sigma(x_j)$?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Okay, let's try to figure out whether problem A for subproblem b is in P or NP-hard. The problem is about a 2CNF formula, a set of colors, and a function assigning colors to variables. We need to check if there's a satisfying assignment where all true variables have distinct colors.
First, I remember that 2SAT is in P, but here there's an additional constraint on the colors. So maybe this problem is more complicated. The constraint says that no two true variables can share the same color. That sounds similar to a graph coloring problem or a matching problem, but with logical constraints.
Let me restate the problem: given a 2CNF formula F, color assignments g for variables, find a satisfying assignment σ where for any two variables set to true, their colors are different. So, in other words, the set of variables assigned true must form a set where each has a unique color. Which means that in the true variables, there's at most one variable per color.
Wait, but the colors are given by function g, so if two variables have the same color, say color red, then in the satisfying assignment, we can have at most one of them set to true. So this is similar to a constraint that for each color class (variables with the same color), at most one variable can be true.
So the problem is 2SAT with an additional constraint that in each color group, exactly one or zero variables can be selected (but since it's "unten verschiedene Farben", it's that no two true variables share a color, so each color can have at most one true variable).
Hmm. So this problem combines 2SAT with a constraint that the selected true variables form a set with unique colors.
I need to determine if this problem is in P or NP-hard.
Let's think about possible approaches. If we can model this as a graph problem or reduce it from a known NP-hard problem, then it's NP-hard. Alternatively, if we can find a polynomial-time algorithm, then it's in P.
Alternatively, maybe reduce from a known problem like Independent Set or 3SAT.
Wait, let's think: the constraint on colors is that for each color, only one variable can be true. So for each color c, the set of variables with color c must have at most one variable assigned true. So this is similar to a matching constraint or a selection constraint.
Suppose we model each color as a group, and we can pick at most one variable from each group. Then the problem becomes finding a satisfying assignment for 2CNF where the selected variables (set to true) form a set that intersects each color group at most once.
This seems similar to a problem where we have to select at most one from each group and satisfy the 2CNF.
Is this similar to some constrained version of 2SAT?
Alternatively, perhaps this problem is NP-hard. Let's see.
To show NP-hardness, we can try to reduce from a known NP-hard problem. Let's think of 3SAT. Maybe we can transform a 3SAT instance into this problem.
Wait, but the input here is a 2CNF formula. So perhaps we need a reduction from 3SAT to this problem, but since the formula is 2CNF, maybe the reduction would involve encoding 3CNF as a 2CNF with additional constraints? Wait, no, because 2SAT is in P, so encoding a 3SAT instance into 2CNF isn't straightforward. Alternatively, perhaps use another problem.
Wait, another approach: the problem allows for arbitrary 2CNF formulas. Let's consider if the color constraints can simulate a harder problem.
Suppose that for a problem like 3COL (3-coloring), which is NP-hard. But how?
Wait, let me think of a problem where the color constraints make the problem hard. Suppose we fix the 2CNF formula to be trivial (always true), then the problem reduces to selecting a subset of variables with distinct colors. Wait, but the problem says "gibt es eine erfüllende Belegung" so if the formula is always true (tautologies), then any assignment is okay, so we need to check if there's a set of variables with distinct colors (i.e., choosing one variable per color, but maybe not). Wait, no: the constraint is that all true variables must have distinct colors. So if the formula is tautological, the problem reduces to: is there a set S of variables where each has a unique color? Which is always possible (e.g., S empty, or S with one variable). Wait, but the problem doesn't require the assignment to have all colors or anything; it's just that all true variables have distinct colors. So even the all-false assignment would work (since there are no two true variables to share a color). But wait, the problem says "gibt es eine erfüllende Belegung". If the formula is tautological (like (x OR NOT x)), then the all-false assignment would be invalid if the formula requires some variables to be true. Wait, no: a tautological formula like (x1 ∨ ¬x1) is always true, so any assignment satisfies it. So in that case, the satisfying assignments are all possible assignments. So the problem becomes: is there an assignment where all true variables have distinct colors. Which would be equivalent to: is there a subset of variables with distinct colors (since we can set those to true and others to false). So the question reduces to: is there a non-empty subset? Well, the empty subset (all false) also satisfies the color condition (vacuously true), but does the problem allow that? The problem says "alle Variablen, die von σ zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben". If no variables are set to true (σ is all false), then the condition is vacuously true. So in that case, even if the formula is tautological, the all-false assignment is a solution. So unless the problem requires at least one variable to be true, but the problem statement doesn't say that.
But in our problem, the formula could be such that some assignments are forced. But the key point is: when the formula is tautological, the problem is trivial, because the all-false assignment works. So that's not helpful.
Wait, maybe a better approach is to find a reduction from a problem like Independent Set. Because the constraint of having at most one variable per color is similar to selecting an independent set when each color class is a clique. But how to connect this to 2SAT.
Alternatively, consider reducing from the Independent Set problem. Let's say we want to know if a graph G has an independent set of size k. How can we encode that into our problem?
Wait, maybe the color constraint can be used to model that. Let's think: suppose we have a graph where each node is a variable. We want to select a set of nodes that form an independent set. But how does that relate to the 2CNF formula?
Alternatively, the 2CNF formula could encode the constraints that if two adjacent nodes in G are both selected (set to true), then the formula is violated. So for each edge (u, v) in G, include the clause (¬u ∨ ¬v). Then, the 2CNF formula is satisfied exactly when the set of true variables is an independent set. Now, if we set all variables to have the same color, then the color constraint requires that at most one variable is true (since all have the same color). But that would just check if there's a single node, which isn't helpful. However, if we want to check for larger independent sets, but with the color constraint forcing no two nodes in the independent set to share a color. Wait, but maybe if we assign each color to a single node, then the color constraint is irrelevant (since each color is unique), and the problem reduces to finding an independent set under the 2CNF constraints (which enforces the independent set). But then the problem becomes equivalent to finding an independent set, which is NP-hard. Wait, but wait: if each node has a unique color, then the color constraint is automatically satisfied (since any subset of variables will have distinct colors), so the problem reduces to finding a satisfying assignment for the 2CNF, which in this case is equivalent to finding an independent set. But finding a satisfying assignment for 2CNF (which corresponds to an independent set) is in P for 2SAT? Wait, no: if the 2CNF formula is constructed to represent "no two adjacent nodes are selected", then the problem of finding a satisfying assignment is equivalent to finding a subset of nodes that is an independent set. But the existence of any independent set (with at least one node) is trivial, since the empty set is always an independent set. However, if we want to find an independent set of size at least k, that's NP-hard.
Wait, but the problem here is not about the size, but just existence. But the empty set always works (in the formula being satisfied, as long as the formula allows it). So if the formula is constructed such that the empty assignment (all variables false) does not satisfy it, then we need a non-empty independent set.
Wait, let's try to formalize this. Suppose we reduce from the Independent Set problem. Given a graph G and an integer k, does G have an independent set of size k?
We need to create an instance of problem A (2CNF with color constraints) such that G has an independent set of size k iff there exists a satisfying assignment with all true variables having distinct colors.
How?
Let the variables be the vertices of G. For the 2CNF formula F, include a clause (¬u ∨ ¬v) for every edge (u, v) in G. This ensures that any satisfying assignment corresponds to a set of vertices with no two adjacent (i.e., an independent set).
Now, assign colors such that each vertex has a unique color. Wait, but then the color constraint would allow any independent set (since all colors are distinct). But the problem is to have a satisfying assignment where all true variables have distinct colors—which they would, if all colors are unique. So in this case, the problem A reduces to finding an independent set (for the satisfying assignment), but the existence of an independent set of any size (except possibly empty) is what we need. However, the empty assignment (all variables false) will satisfy the 2CNF (since all clauses (¬u ∨ ¬v) are true when u and v are both false). But the problem doesn't require the assignment to have any particular size, so the empty set would always be a solution, which is trivial. Therefore, we need to force the assignment to have at least k variables set to true.
Ah, right. So if we want to check for independent sets of size exactly k or at least k, we need additional constraints. But our problem as defined doesn't have a size constraint; it's just "exists an assignment". So if we can force the assignment to have at least k variables set to true, then combined with the color constraint (which, if colors are set up correctly), perhaps this would work.
Wait, suppose we want to force exactly k variables to be true. How? With 2CNF, it's not straightforward to enforce exact counts. However, perhaps by using the color constraints. For example, if we have k different colors, each assigned to exactly one variable. Wait, no.
Alternatively, let's set up the color function such that there are k colors, each assigned to n variables (the nodes), but we want to pick one variable from each color. But I'm getting confused.
Wait, another approach. Suppose we want to encode 3SAT into problem A. Let's take a 3CNF formula and convert it to a problem where the 2CNF is structured in a way that the color constraints help simulate the 3SAT clauses.
Alternatively, reduce from another NP-hard problem. Let's think about the problem where we have a graph coloring problem. Wait, but 3COL is NP-hard.
Alternatively, here's an idea: reduce from the problem of 3CNF satisfiability to A. But since A's input is a 2CNF formula, perhaps we need to transform a 3CNF formula into a 2CNF formula plus color constraints.
Wait, but 2CNF is not as expressive as 3CNF, so maybe it's impossible directly. However, perhaps the color constraints can add the necessary restrictions to make the problem NP-hard.
Wait, here's a possible reduction: from 3SAT to A.
Given a 3CNF formula F, we can construct a 2CNF formula F' and color assignments such that F is satisfiable iff there's a satisfying assignment for F' with all true variables having distinct colors.
But how?
Alternatively, consider the 3SAT clause (a ∨ b ∨ c). To encode this in 2CNF with color constraints, perhaps introduce new variables and use the color constraints to enforce that at least one of a, b, c is true.
Wait, this seems complicated. Let's think of another way. Suppose we have a problem where the color constraints enforce that for each original variable, only one of its literals (x or ¬x) can be true, which is standard in SAT. But no, in SAT assignments, x is either true or false, so only one literal is true.
Alternatively, here's an idea. Let's model the standard SAT problem. For a given SAT formula F (which can be 3CNF), we can construct an instance of A such that there's a satisfying assignment for F iff there's a satisfying assignment for the 2CNF in A with the color constraints.
But how? The 2CNF part must encode F, but 2CNF can't directly represent 3CNF clauses. However, perhaps using the color constraints to add extra conditions.
Wait, another angle. The problem requires that all true variables have distinct colors. So, if two variables have the same color, they cannot both be true. So, for all variables with the same color, we have a constraint that at most one is true. Which is equivalent to adding, for each color class C, all clauses (¬u ∨ ¬v) for u, v in C, u ≠ v. But since the problem already has a 2CNF formula, these constraints can be included in the 2CNF.
Wait a second! If we have color classes (groups of variables with the same color), then the constraint that at most one variable per color is true can be expressed as a 2CNF formula. For example, for a color class with variables x, y, z, we add clauses (¬x ∨ ¬y), (¬x ∨ ¬z), (¬y ∨ ¬z). Each of these is a 2CNF clause.
Therefore, given any instance of the problem where the color function g is given, the combined constraints (the original 2CNF F plus the color constraints) form a 2CNF formula. Wait, but in the problem statement, the input already includes a 2CNF formula F. So the color constraint adds additional 2CNF clauses (the mutual exclusivity within each color class). Wait, no. Wait, the problem says: the given input is a 2CNF formula F, the color function g, and the question is whether there exists a satisfying assignment σ for F such that all true variables under σ have distinct colors.
But enforcing distinct colors for true variables is equivalent to requiring that for any two variables u, v with g(u) = g(v), σ(u) = 1 and σ(v) = 1 cannot happen. Which can be rewritten as: for all u ≠ v with g(u) = g(v), ¬(σ(u) = 1 ∧ σ(v) = 1), which is equivalent to σ(u)=0 ∨ σ(v)=0, i.e., the clause ¬u ∨ ¬v.
Therefore, the combined problem of satisfying F and the color constraints is equivalent to F ∧ (all clauses ¬u ∨ ¬v for same-colored u, v). But since F is already a 2CNF formula, and all the added clauses are 2CNF, the entire formula is a 2CNF formula. Therefore, the problem A reduces to checking satisfiability of a 2CNF formula (the original F plus the color constraints), which is in P.
Wait, but hold on. The problem states: given F (a 2CNF), g (color assignment), is there an assignment σ satisfying F and respecting the color constraints.
But the color constraints can be encoded as additional 2CNF clauses, so the entire problem is just 2SAT, which is in P. Therefore, problem A is in P.
But that contradicts my initial thought. Wait, but is that true?
Let me check: the color constraints require that for any two variables with the same color, they cannot both be true. Which translates to, for each pair (u, v) in the same color class, the clause (¬u ∨ ¬v). So the problem is equivalent to F ∧ (all these pairwise clauses). Since all these clauses are 2CNF, the whole formula is 2CNF. Hence, the problem is solvable by solving 2SAT, which is in P.
Wait, then the answer should be that A is in P.
But why would the problem be presented as a possible NP-hard problem?
Wait, perhaps I'm missing something. Maybe the color constraints are not automatically translatable into 2CNF because there are too many clauses. For example, if a color class has m variables, then there are m(m-1)/2 pairwise clauses. But in the problem statement, the input for problem A already includes F, which is a 2CNF. However, when we reduce from another problem to A, the input F might be constructed together with the color function.
Wait, no. For the question here: we need to determine if problem A as defined is in P or NP-hard.
Wait, problem A is: given a 2CNF formula F, color function g, is there a satisfying assignment for F where all true variables have distinct colors.
But as explained, this is equivalent to checking if F' = F ∧ [for all same-colored u,v, (¬u ∨ ¬v)] is satisfiable. Since F' is 2CNF, 2SAT applies, so problem A is in P.
Wait, but the problem says "gibt es eine erfüllende Belegung σ, sodass alle Variablen, die von σ zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben".
The key point is that the constraint on the colors can be expressed as additional 2CNF clauses, hence the entire problem is just 2SAT, which is in P.
Therefore, problem A is in P.
But wait, let me confirm. Suppose we have a color class with three variables: x, y, z. Then the constraints are (¬x ∨ ¬y), (¬x ∨ ¬z), (¬y ∨ ¬z). Each of these is a 2CNF clause. So adding all these clauses to F gives a 2CNF formula whose satisfiability is equivalent to the existence of an assignment satisfying F and the color constraints.
Therefore, the problem A is equivalent to a 2SAT problem, which is in P. Hence, answer should be option 1 (A is in P).
Wait, but the user instructions say: "Um zu zeigen, dass ein Problem A in P liegt, geben Sie eine Reduktion A ≤p B für ein B ∈ P an, reduzieren Sie also A auf ein Problem B, von dem wir wissen, dass es in P liegt, z.B. 2COL oder 2KNF-SAT."
So to show A ∈ P, need to reduce A to a known P problem, say 2KNF-SAT.
So the reduction would be: given an instance of A (F, g), construct a 2KNF formula F' which is F plus all clauses (¬u ∨ ¬v) for u, v with g(u)=g(v) and u ≠ v. Then F' is satisfiable iff the original problem has a solution.
Therefore, A is reducible to 2KNF-SAT (which is in P), hence A is in P.
Thus, the answer should be option 1: A ∈ P.
Wait, but the initial analysis was that problem A is equivalent to a 2SAT instance, hence in P. So the correct answer is option 1.
Wait, but where does the reduction come into play? The problem says to show whether A is in P or NP-hard, and to provide a reduction.
So for subproblem b, since A is in P, we need to provide a reduction from A to a P problem, like 2SAT.
Yes. So the reduction is A ≤p 2KNF-SAT, where given (F, g), construct F' as F plus all pairwise clauses for same-colored variables. Then F' is a 2KNF formula, and it's satisfiable iff the original problem has a solution.
This reduction is polynomial because the number of additional clauses is O(m^2) for each color class, but since each variable is in only one color class, the total number of additional clauses per color class of size k is k(k-1)/2. However, in the worst case, if all variables are the same color, then it's O(n^2) clauses, which is polynomial in n.
Thus, the reduction is polynomial.
Therefore, A is in P.
Wait, but in the problem statement, the input for A is a 2KNF formula F, colors l, and g: V → {1..l}.
Yes, so when constructing F', we add all required clauses, and the size of F' is polynomial in the size of the original input.
Therefore, the correct answer is option 1 (A ∈ P), and the reduction is A ≤p 2KNF-SAT.
So in the answer template:
Reduktion: $A \le_p \mathsf{2KNF\text{-}SAT}$
Begründung: Konstruiere die 2KNF-Formel $F'$, indem zu $F$ für alle Variablen $u \neq v$ mit gleicher Farbe unter $g$ die Klausel $(\lnot u \lor \lnot v)$ hinzugefügt wird. Eine erfüllende Belegung für $F'$ entspricht genau einer erfüllenden Belegung für $F$, bei der alle wahren Variablen unterschiedliche Farben haben. Da $F'$ polynomiell in der Eingabelänge konstruiert werden kann und $\mathsf{2KNF\text{-}SAT} \in \mathsf{P}$ ist, folgt $A \in \mathsf{P}$.
Wait, but the instruction says: "Um zu zeigen, dass ein Problem A in P liegt, geben Sie eine Reduktion A ≤p B für ein B ∈ P an. Reduzieren Sie also A auf ein Problem B, von dem wir wissen, dass es in P liegt, z.B. 2COL oder 2KNF-SAT."
So yes, reducing A to 2KNF-SAT is correct.
Hence, the options should be option 1: 1, option 2: 0.
Wait, the options are:
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
So to select option 1, we put 1 in option id="1", and 0 in option id="2".
So the answer should be:
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktion: $A \le_p \mathsf{2KNF\text{-}SAT}$
Begründung:
Für eine Instanz von $A$ (bestehend aus der 2KNF-Formel $F$, der Farbenanzahl $l$ und der Farbfunktion $g$) konstruiere die 2KNF-Formel $F'$, indem alle Klauseln der Form $(\lnot u \lor \lnot v)$ für Variablen $u \neq v$ mit $g(u) = g(v)$ zu $F$ hinzugefügt werden.
Korrektheit: Eine Belegung $\sigma$ erfüllt $F'$ genau dann, wenn sie $F$ erfüllt und für keine zwei Variablen mit gleicher Farbe gilt, dass beide wahr sind. Dies entspricht der Bedingung von Problem $A$. Die Reduktion ist polynomiell, weil die Anzahl der hinzugefügten Klauseln durch $O(n^2)$ beschränkt ist, wobei $n$ die Anzahl der Variablen ist. Da $\mathsf{2KNF\text{-}SAT} \in \mathsf{P}$ ist, folgt $A \in \mathsf{P}$.
</answer>
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktion: $A \le_p \mathsf{2KNF\text{-}SAT}$
Begründung:
Für eine gegebene Instanz von $A$ (2KNF-Formel $F$, Farbenanzahl $l$, Farbfunktion $g$) konstruiere die 2KNF-Formel $F'$ durch Hinzufügen aller Klauseln $(\lnot u \lor \lnot v)$ für Variablen $u \neq v$ mit $g(u) = g(v)$.
Korrektheit: Eine Belegung $\sigma$ erfüllt $F'$ genau dann, wenn $\sigma$ die Originalformel $F$ erfüllt **und** keine zwei Variablen mit gleicher Farbe zugleich wahr sind. Dies ist äquivalent zur Bedingung von Problem $A$, da die Farbnebenbedingung gerade verlangt, dass alle wahr belegten Variablen unterschiedliche Farben haben. Die Reduktion ist polynomiell, da für jede Farbklasse mit $k$ Variablen maximal $k^2$ Klauseln hinzugefügt werden – insgesamt also $\mathcal{O}(n^2)$ Klauseln für $n$ Variablen. Da $\mathsf{2KNF\text{-}SAT} \in \mathsf{P}$ ist, folgt unmittelbar $A \in \mathsf{P}$.
</answer>
Gegeben: Eine 2KNF-Formel mit Variablenmenge , eine Menge von Farben (mit ) und eine Funktion , die jeder Variable eine Farbe zuordnet. Problem : Gibt es eine erfüllende Belegung , sodass alle Variablen, die von zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung mit für alle mit ?
☒☐ ist -hart
Reduktion: Begründung: Für eine gegebene Instanz von (2KNF-Formel , Farbenanzahl , Farbfunktion ) konstruiere die 2KNF-Formel durch Hinzufügen aller Klauseln für Variablen mit . Korrektheit: Eine Belegung erfüllt genau dann, wenn die Originalformel erfüllt und keine zwei Variablen mit gleicher Farbe zugleich wahr sind. Dies ist äquivalent zur Bedingung von Problem , da die Farbnebenbedingung gerade verlangt, dass alle wahr belegten Variablen unterschiedliche Farben haben. Die Reduktion ist polynomiell, da für jede Farbklasse mit Variablen maximal Klauseln hinzugefügt werden – insgesamt also Klauseln für Variablen. Da ist, folgt unmittelbar .
x-ai/grok-4
Exercise 7: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme entweder, dass es in liegt, oder, dass es -hart ist. Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit. Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen. Achtung: Auch um zu zeigen, dass das Problem in liegt, ist eine Reduktion anzugeben! Hinweis: Um zu zeigen, dass ein Problem in liegt, geben Sie eine Reduktion für ein an, reduzieren Sie also auf ein Problem , von dem wir wissen, dass es in liegt, z.B. oder . Um zu zeigen, dass ein Problem -hart ist, geben Sie eine Reduktion an, wobei ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa , , oder .
Subproblem a (6.0/6.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Answer
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine KNF-Formel $F$ über Variablen $V$, führe eine frische Variable $x \notin V$ ein. Definiere $F_1 = F$, $F_2 = (\neg x)$, $F_3 = (x)$ über Variablen $V \cup \{x\}$.
Die Reduktion ist polynomialzeitig, da sie nur eine Variable hinzufügt und die Formeln kopiert bzw. einfach definiert.
Korrektheit: Eine Belegung $\sigma$ erfüllt genau zwei der Formeln genau dann, wenn $F$ erfüllbar ist.
- Wenn $F$ erfüllbar ist durch $\sigma_0 : V \to \{0,1\}$, dann erweitere zu $\sigma$ mit $\sigma(x)=0$: Erfüllt $F_1$ und $F_2$, nicht $F_3$ (genau zwei). Ähnlich für $\sigma(x)=1$: Erfüllt $F_1$ und $F_3$, nicht $F_2$.
- Umgekehrt, wenn $\sigma$ genau zwei erfüllt: Erfüllen von $F_2$ und $F_3$ erfordert $x=0$ und $x=1$, unmöglich. Also muss es $F_1$ und genau eine von $F_2$ oder $F_3$ erfüllen, d.h. $\sigma$ eingeschränkt auf $V$ erfüllt $F$. Somit ist $F$ erfüllbar.
</answer>
Gegeben: Drei KNF-Formeln mit Variablen aus . Problem : Gibt es eine Belegung , die genau zwei der drei Formeln erfüllt?
☐☒ ist -hart
Reduktion: Begründung: Gegeben eine KNF-Formel über Variablen , führe eine frische Variable ein. Definiere , , über Variablen . Die Reduktion ist polynomialzeitig, da sie nur eine Variable hinzufügt und die Formeln kopiert bzw. einfach definiert. Korrektheit: Eine Belegung erfüllt genau zwei der Formeln genau dann, wenn erfüllbar ist. - Wenn erfüllbar ist durch , dann erweitere zu mit : Erfüllt und , nicht (genau zwei). Ähnlich für : Erfüllt und , nicht . - Umgekehrt, wenn genau zwei erfüllt: Erfüllen von und erfordert und , unmöglich. Also muss es und genau eine von oder erfüllen, d.h. eingeschränkt auf erfüllt . Somit ist erfüllbar.
Subproblem b (8.0/8.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Gegeben eine KNF-Formel $F$ über Variablen $V$, führe eine frische Variable $x \notin V$ ein. Definiere $F_1 = F$, $F_2 = (\neg x)$, $F_3 = (x)$ über Variablen $V \cup \{x\}$.
Die Reduktion ist polynomialzeitig, da sie nur eine Variable hinzufügt und die Formeln kopiert bzw. einfach definiert.
Korrektheit: Eine Belegung $\sigma$ erfüllt genau zwei der Formeln genau dann, wenn $F$ erfüllbar ist.
- Wenn $F$ erfüllbar ist durch $\sigma_0 : V \to \{0,1\}$, dann erweitere zu $\sigma$ mit $\sigma(x)=0$: Erfüllt $F_1$ und $F_2$, nicht $F_3$ (genau zwei). Ähnlich für $\sigma(x)=1$: Erfüllt $F_1$ und $F_3$, nicht $F_2$.
- Umgekehrt, wenn $\sigma$ genau zwei erfüllt: Erfüllen von $F_2$ und $F_3$ erfordert $x=0$ und $x=1$, unmöglich. Also muss es $F_1$ und genau eine von $F_2$ oder $F_3$ erfüllen, d.h. $\sigma$ eingeschränkt auf $V$ erfüllt $F$. Somit ist $F$ erfüllbar.
</answer>
user:
## subproblem b (8.0 points)
**Gegeben:** Eine 2KNF-Formel $F$ mit Variablenmenge $V=\{x_1, ..., x_n\}$, eine Menge $\{1, ..., l\}$ von Farben (mit $l>0$) und eine Funktion $g: V \to \{1 ,...,l\}$, die jeder Variable eine Farbe zuordnet.
**Problem $A$:** Gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma$, sodass alle Variablen, die von $\sigma$ zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$ mit $g(x_i) \neq g(x_j)$ für alle $i<j \leq n$ mit $\sigma(x_i)=1= \sigma(x_j)$?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktion: $A \le_p \mathsf{2KNF\text{-}SAT}$
Begründung:
Gegeben eine Instanz von $A$: 2KNF-Formel $F$ über Variablen $V=\{x_1,\dots,x_n\}$, Farben $\{1,\dots,l\}$, Funktion $g: V \to \{1,\dots,l\}$.
Gruppiere die Variablen nach Farben: Für jede Farbe $c$, sei $V_c = \{x \in V \mid g(x)=c\}$.
Konstruiere eine neue 2KNF-Formel $F'$ wie folgt: $F' = F \land \bigwedge_{c=1}^l \bigwedge_{x_i,x_j \in V_c, i<j} (\neg x_i \lor \neg x_j)$.
Diese Konstruktion ist polynomialzeitig, da die Anzahl hinzugefügter Klauseln $\sum_c \binom{|V_c|}{2} = O(n^2)$ beträgt und die Eingabegröße polynomiell darin beschränkt ist.
Korrektheit: $F'$ ist erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung $\sigma$ gibt, die $F$ erfüllt und für keine zwei Variablen mit gleicher Farbe beide auf 1 setzt, d.h. die wahren Variablen haben paarweise unterschiedliche Farben. Dies ist äquivalent zur Bedingung in $A$.
</answer>
Gegeben: Eine 2KNF-Formel mit Variablenmenge , eine Menge von Farben (mit ) und eine Funktion , die jeder Variable eine Farbe zuordnet. Problem : Gibt es eine erfüllende Belegung , sodass alle Variablen, die von zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung mit für alle mit ?
☒☐ ist -hart
Reduktion: Begründung: Gegeben eine Instanz von : 2KNF-Formel über Variablen , Farben , Funktion . Gruppiere die Variablen nach Farben: Für jede Farbe , sei . Konstruiere eine neue 2KNF-Formel wie folgt: . Diese Konstruktion ist polynomialzeitig, da die Anzahl hinzugefügter Klauseln beträgt und die Eingabegröße polynomiell darin beschränkt ist. Korrektheit: ist erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung gibt, die erfüllt und für keine zwei Variablen mit gleicher Farbe beide auf 1 setzt, d.h. die wahren Variablen haben paarweise unterschiedliche Farben. Dies ist äquivalent zur Bedingung in .
z-ai/glm-4.5
Exercise 7: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme entweder, dass es in liegt, oder, dass es -hart ist. Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit. Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen. Achtung: Auch um zu zeigen, dass das Problem in liegt, ist eine Reduktion anzugeben! Hinweis: Um zu zeigen, dass ein Problem in liegt, geben Sie eine Reduktion für ein an, reduzieren Sie also auf ein Problem , von dem wir wissen, dass es in liegt, z.B. oder . Um zu zeigen, dass ein Problem -hart ist, geben Sie eine Reduktion an, wobei ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa , , oder .
Subproblem a (6.0/6.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Let's analyze this problem carefully.
We are given three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ with variables from $V$. The problem $A$ asks whether there exists an assignment $\sigma: V \rightarrow \{0,1\}$ that satisfies exactly two of the three formulas.
I need to determine whether this problem is in P or NP-hard. Let's think about this.
First, let's consider if the problem is in P. To show that a problem is in P, we need to find a polynomial-time algorithm for it, or reduce it to a problem known to be in P.
Let's think about what it means for an assignment to satisfy exactly two of the three formulas. This means that one of the formulas is not satisfied, while the other two are satisfied.
We can break this down into three cases:
1. $F_1$ is not satisfied, but $F_2$ and $F_3$ are satisfied.
2. $F_2$ is not satisfied, but $F_1$ and $F_3$ are satisfied.
3. $F_3$ is not satisfied, but $F_1$ and $F_2$ are satisfied.
For each case, we can create a new CNF formula that captures the condition:
- For case 1: $\neg F_1 \wedge F_2 \wedge F_3$
- For case 2: $F_1 \wedge \neg F_2 \wedge F_3$
- For case 3: $F_1 \wedge F_2 \wedge \neg F_3$
The problem $A$ is equivalent to asking whether at least one of these three formulas is satisfiable.
Now, checking if a CNF formula is satisfiable is the SAT problem, which is NP-complete. But here we have a specific structure. We can check each of the three formulas separately for satisfiability, and if at least one is satisfiable, then the answer to problem $A$ is "yes".
But SAT is NP-complete, so checking each formula separately would not give us a polynomial-time algorithm, unless we can find a special structure that allows us to solve it in polynomial time.
Let's think about the structure of these formulas. Each of the three formulas is of the form $\neg F_i \wedge F_j \wedge F_k$, where $i, j, k$ are distinct indices from $\{1, 2, 3\}$.
The negation of a CNF formula $\neg F_i$ is equivalent to a DNF formula, which is not necessarily in CNF. So, the formulas $\neg F_i \wedge F_j \wedge F_k$ are not necessarily in CNF. This makes it harder to directly apply SAT solvers.
However, we can transform $\neg F_i$ into a CNF formula. If $F_i$ is in CNF, say $F_i = C_1 \wedge C_2 \wedge \ldots \wedge C_m$ where each $C_j$ is a clause, then $\neg F_i = \neg C_1 \vee \neg C_2 \vee \ldots \vee \neg C_m$. Each $\neg C_j$ is a conjunction of literals (the negation of the literals in $C_j$). So, $\neg F_i$ is a DNF formula. To convert it to CNF, we can use distributivity, but this can lead to an exponential increase in the size of the formula.
Given the potential exponential blowup in the size of the formula when converting $\neg F_i$ to CNF, it's not clear if we can solve this problem in polynomial time.
Let's consider if the problem is NP-hard. To show that a problem is NP-hard, we need to reduce a known NP-hard problem to it.
A natural candidate for reduction is SAT. Given a CNF formula $F$, we want to construct three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ such that $F$ is satisfiable if and only if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas.
Here's a potential reduction:
Let $F_1 = F$, $F_2 = F$, and $F_3$ be a contradiction (e.g., $x \wedge \neg x$ for some variable $x$).
If $F$ is satisfiable, then any satisfying assignment for $F$ will satisfy both $F_1$ and $F_2$, but not $F_3$ (since $F_3$ is a contradiction). So, this assignment satisfies exactly two of the three formulas.
Conversely, if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas, then it must satisfy $F_1$ and $F_2$ (since $F_3$ is a contradiction and cannot be satisfied). This means that the assignment satisfies $F$, so $F$ is satisfiable.
This reduction shows that SAT $\le_p A$, which means that $A$ is NP-hard.
But wait, I need to be careful here. The problem $A$ asks for an assignment that satisfies exactly two of the three formulas. In my reduction, if $F$ is satisfiable, then any satisfying assignment for $F$ will satisfy both $F_1$ and $F_2$, but not $F_3$. So, this assignment satisfies exactly two of the three formulas, which is what we want.
Conversely, if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas, then it must satisfy $F_1$ and $F_2$ (since $F_3$ is a contradiction and cannot be satisfied). This means that the assignment satisfies $F$, so $F$ is satisfiable.
So, the reduction seems correct. But I need to ensure that the reduction is polynomial-time. Given a CNF formula $F$, we can construct $F_1 = F$, $F_2 = F$, and $F_3 = x \wedge \neg x$ for some variable $x$ in polynomial time. So, the reduction is indeed polynomial-time.
Therefore, $A$ is NP-hard.
Actually, let me double-check this reduction. The problem is that I'm using the same formula for $F_1$ and $F_2$. This means that any assignment that satisfies $F_1$ also satisfies $F_2$, and vice versa. This is a special case, and I'm not sure if it fully captures the complexity of the general problem.
Let me try a different reduction. Given a CNF formula $F$, I want to construct three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ such that $F$ is satisfiable if and only if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas.
Here's a potential reduction:
Let $F_1 = F \vee x$, $F_2 = F \vee \neg x$, and $F_3 = \neg F$, where $x$ is a new variable not in $F$.
If $F$ is satisfiable, let $\sigma$ be a satisfying assignment for $F$. Extend $\sigma$ to $\sigma'$ by setting $\sigma'(x) = 0$. Then, $\sigma'$ satisfies $F_1$ (since it satisfies $F$) and $F_2$ (since it satisfies $F$), but not $F_3$ (since it satisfies $F$, not $\neg F$). So, $\sigma'$ satisfies exactly two of the three formulas.
Conversely, if there exists an assignment $\sigma$ that satisfies exactly two of the three formulas, we consider the cases:
1. If $\sigma$ satisfies $F_1$ and $F_2$, then it must satisfy $F$ (since if it doesn't satisfy $F$, it would need to satisfy $x$ for $F_1$ and $\neg x$ for $F_2$, which is impossible). So, $F$ is satisfiable.
2. If $\sigma$ satisfies $F_1$ and $F_3$, then it satisfies $\neg F$, which means it doesn't satisfy $F$. But for $F_1 = F \vee x$, it must satisfy $x$. For $F_2 = F \vee \neg x$, since it doesn't satisfy $F$, it must satisfy $\neg x$. But this is impossible, as $\sigma$ cannot satisfy both $x$ and $\neg x$. So, this case cannot occur.
3. If $\sigma$ satisfies $F_2$ and $F_3$, then it satisfies $\neg F$, which means it doesn't satisfy $F$. But for $F_2 = F \vee \neg x$, it must satisfy $\neg x$. For $F_1 = F \vee x$, since it doesn't satisfy $F$, it must satisfy $x$. But this is impossible, as $\sigma$ cannot satisfy both $x$ and $\neg x$. So, this case cannot occur.
Therefore, if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas, it must be the case that $F$ is satisfiable.
This reduction shows that SAT $\le_p A$, which means that $A$ is NP-hard.
But I still need to ensure that the reduction is polynomial-time. Given a CNF formula $F$, we can construct $F_1 = F \vee x$, $F_2 = F \vee \neg x$, and $F_3 = \neg F$ in polynomial time. However, $\neg F$ is not necessarily in CNF, so we need to convert it to CNF. As I mentioned earlier, this can lead to an exponential increase in the size of the formula.
So, this reduction doesn't work as intended, because it might not be polynomial-time.
Let me try yet another approach. Given a CNF formula $F$, I want to construct three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ such that $F$ is satisfiable if and only if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas.
Here's a potential reduction:
Let $F_1 = F$, $F_2 = F$, and $F_3$ be a tautology (e.g., $x \vee \neg x$ for some variable $x$).
If $F$ is satisfiable, then any satisfying assignment for $F$ will satisfy both $F_1$ and $F_2$, as well as $F_3$ (since $F_3$ is a tautology). So, this assignment satisfies all three formulas, not exactly two. This doesn't work.
Let me try a different approach. Given a CNF formula $F$, I want to construct three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ such that $F$ is satisfiable if and only if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas.
Here's a potential reduction:
Let $F_1 = F$, $F_2 = \neg F$, and $F_3$ be a contradiction (e.g., $x \wedge \neg x$ for some variable $x$).
If $F$ is satisfiable, then any satisfying assignment for $F$ will satisfy $F_1$, but not $F_2$ (since it satisfies $F$, not $\neg F$), and not $F_3$ (since $F_3$ is a contradiction). So, this assignment satisfies exactly one of the three formulas, not exactly two. This doesn't work.
Let me try a different approach. Given a CNF formula $F$, I want to construct three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ such that $F$ is satisfiable if and only if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas.
Here's a potential reduction:
Let $F_1 = F \wedge x$, $F_2 = F \wedge \neg x$, and $F_3 = \neg F$, where $x$ is a new variable not in $F$.
If $F$ is satisfiable, let $\sigma$ be a satisfying assignment for $F$. Extend $\sigma$ to $\sigma'$ by setting $\sigma'(x) = 0$. Then, $\sigma'$ satisfies $F_2$ (since it satisfies $F$ and $\neg x$) and $F_3$ (since it satisfies $\neg F$? No, it satisfies $F$, not $\neg F$). This doesn't work.
Let me try a different approach. Given a CNF formula $F$, I want to construct three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ such that $F$ is satisfiable if and only if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas.
Here's a potential reduction:
Let $F_1 = F \vee x$, $F_2 = F \vee \neg x$, and $F_3 = \neg (F \vee x) \wedge \neg (F \vee \neg x)$, where $x$ is a new variable not in $F$.
If $F$ is satisfiable, let $\sigma$ be a satisfying assignment for $F$. Extend $\sigma$ to $\sigma'$ by setting $\sigma'(x) = 0$. Then, $\sigma'$ satisfies $F_1$ (since it satisfies $F$) and $F_2$ (since it satisfies $F$), but not $F_3$ (since it satisfies $F \vee x$). So, $\sigma'$ satisfies exactly two of the three formulas.
Conversely, if there exists an assignment $\sigma$ that satisfies exactly two of the three formulas, we consider the cases:
1. If $\sigma$ satisfies $F_1$ and $F_2$, then it must satisfy $F$ (since if it doesn't satisfy $F$, it would need to satisfy $x$ for $F_1$ and $\neg x$ for $F_2$, which is impossible). So, $F$ is satisfiable.
2. If $\sigma$ satisfies $F_1$ and $F_3$, then it satisfies $\neg (F \vee x) \wedge \neg (F \vee \neg x)$, which means it doesn't satisfy $F \vee x$ and doesn't satisfy $F \vee \neg x$. This implies that it doesn't satisfy $F$ and doesn't satisfy $x$ and doesn't satisfy $\neg x$. But this is impossible, as $\sigma$ cannot fail to satisfy both $x$ and $\neg x$. So, this case cannot occur.
3. If $\sigma$ satisfies $F_2$ and $F_3$, then it satisfies $\neg (F \vee x) \wedge \neg (F \vee \neg x)$, which means it doesn't satisfy $F \vee x$ and doesn't satisfy $F \vee \neg x$. This implies that it doesn't satisfy $F$ and doesn't satisfy $x$ and doesn't satisfy $\neg x$. But this is impossible, as $\sigma$ cannot fail to satisfy both $x$ and $\neg x$. So, this case cannot occur.
Therefore, if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas, it must be the case that $F$ is satisfiable.
But again, $F_3 = \neg (F \vee x) \wedge \neg (F \vee \neg x)$ is not necessarily in CNF, and converting it to CNF might lead to an exponential increase in the size of the formula.
Let me try a different approach. Instead of trying to reduce SAT to $A$, let's see if we can find a polynomial-time algorithm for $A$.
The problem $A$ asks whether there exists an assignment that satisfies exactly two of the three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$.
We can break this down into three cases:
1. $F_1$ and $F_2$ are satisfied, but $F_3$ is not.
2. $F_1$ and $F_3$ are satisfied, but $F_2$ is not.
3. $F_2$ and $F_3$ are satisfied, but $F_1$ is not.
For each case, we can create a new formula that captures the condition:
- For case 1: $F_1 \wedge F_2 \wedge \neg F_3$
- For case 2: $F_1 \wedge F_3 \wedge \neg F_2$
- For case 3: $F_2 \wedge F_3 \wedge \neg F_1$
The problem $A$ is equivalent to asking whether at least one of these three formulas is satisfiable.
Now, the challenge is that $\neg F_i$ is not necessarily in CNF, and converting it to CNF might lead to an exponential increase in the size of the formula.
However, we don't necessarily need to convert these formulas to CNF to check their satisfiability. We can use a more general SAT solver that works with arbitrary Boolean formulas. But SAT for arbitrary Boolean formulas is still NP-complete.
Actually, let's think more carefully about this. The problem $A$ is in NP, because given an assignment, we can check in polynomial time whether it satisfies exactly two of the three formulas. So, $A \in \mathsf{NP}$.
Now, if we can show that $A$ is NP-hard, then $A$ is NP-complete.
Let's try again to reduce SAT to $A$. Given a CNF formula $F$, we want to construct three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ such that $F$ is satisfiable if and only if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas.
Here's a potential reduction:
Let $F_1 = F \vee x$, $F_2 = F \vee \neg x$, and $F_3 = F$, where $x$ is a new variable not in $F$.
If $F$ is satisfiable, let $\sigma$ be a satisfying assignment for $F$. Extend $\sigma$ to $\sigma'$ by setting $\sigma'(x) = 0$. Then, $\sigma'$ satisfies $F_1$ (since it satisfies $F$), $F_2$ (since it satisfies $F$), and $F_3$ (since it satisfies $F$). So, $\sigma'$ satisfies all three formulas, not exactly two. This doesn't work.
Let me try a different approach. Given a CNF formula $F$, I want to construct three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ such that $F$ is satisfiable if and only if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas.
Here's a potential reduction:
Let $F_1 = F \wedge x$, $F_2 = F \wedge \neg x$, and $F_3 = \neg F$, where $x$ is a new variable not in $F$.
If $F$ is satisfiable, let $\sigma$ be a satisfying assignment for $F$. Extend $\sigma$ to $\sigma'$ by setting $\sigma'(x) = 0$. Then, $\sigma'$ satisfies $F_2$ (since it satisfies $F$ and $\neg x$), but not $F_1$ (since it doesn't satisfy $x$), and not $F_3$ (since it satisfies $F$, not $\neg F$). So, $\sigma'$ satisfies exactly one of the three formulas, not exactly two. This doesn't work.
Let me try a different approach. Given a CNF formula $F$, I want to construct three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ such that $F$ is satisfiable if and only if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas.
Here's a potential reduction:
Let $F_1 = F$, $F_2 = x$, and $F_3 = \neg x$, where $x$ is a new variable not in $F$.
If $F$ is satisfiable, let $\sigma$ be a satisfying assignment for $F$. Extend $\sigma$ to $\sigma'$ by setting $\sigma'(x) = 0$. Then, $\sigma'$ satisfies $F_1$ (since it satisfies $F$) and $F_3$ (since it satisfies $\neg x$), but not $F_2$ (since it doesn't satisfy $x$). So, $\sigma'$ satisfies exactly two of the three formulas.
Conversely, if there exists an assignment $\sigma$ that satisfies exactly two of the three formulas, we consider the cases:
1. If $\sigma$ satisfies $F_1$ and $F_2$, then it satisfies $F$ and $x$. So, $F$ is satisfiable.
2. If $\sigma$ satisfies $F_1$ and $F_3$, then it satisfies $F$ and $\neg x$. So, $F$ is satisfiable.
3. If $\sigma$ satisfies $F_2$ and $F_3$, then it satisfies $x$ and $\neg x$, which is impossible. So, this case cannot occur.
Therefore, if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas, it must be the case that $F$ is satisfiable.
This reduction shows that SAT $\le_p A$, which means that $A$ is NP-hard.
And the reduction is polynomial-time: given a CNF formula $F$, we can construct $F_1 = F$, $F_2 = x$, and $F_3 = \neg x$ in polynomial time. All three formulas are in CNF.
Therefore, $A$ is NP-hard.
Actually, I need to be careful here. The problem $A$ asks for an assignment that satisfies exactly two of the three formulas. In my reduction, if $F$ is satisfiable, then any satisfying assignment for $F$ can be extended to satisfy exactly two of the three formulas, as I showed. Conversely, if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas, then $F$ must be satisfiable, as I also showed. So, the reduction seems correct.
But let me double-check. If $F$ is not satisfiable, is there any assignment that satisfies exactly two of the three formulas? No, because any assignment that satisfies $F_1$ would need to satisfy $F$, which is impossible. And any assignment that satisfies both $F_2$ and $F_3$ would need to satisfy both $x$ and $\neg x$, which is also impossible. So, if $F$ is not satisfiable, there is no assignment that satisfies exactly two of the three formulas.
Therefore, the reduction is correct, and $A$ is NP-hard.
So, the answer is that $A$ is NP-hard.
Now, I need to provide the reduction and a sketch of the proof of correctness.
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Given a CNF formula $F$, we construct three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ as follows:
- $F_1 = F$
- $F_2 = x$ (where $x$ is a new variable not in $F$)
- $F_3 = \neg x$
If $F$ is satisfiable, let $\sigma$ be a satisfying assignment for $F$. Extend $\sigma$ to $\sigma'$ by setting $\sigma'(x) = 0$. Then, $\sigma'$ satisfies $F_1$ (since it satisfies $F$) and $F_3$ (since it satisfies $\neg x$), but not $F_2$ (since it doesn't satisfy $x$). So, $\sigma'$ satisfies exactly two of the three formulas.
Conversely, if there exists an assignment $\sigma$ that satisfies exactly two of the three formulas, then it must satisfy $F_1$ and either $F_2$ or $F_3$ (since it cannot satisfy both $F_2$ and $F_3$). In either case, it satisfies $F_1 = F$, so $F$ is satisfiable.
Therefore, $F$ is satisfiable if and only if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas $F_1, F_2, F_3$.
This reduction is polynomial-time, as we can construct $F_1, F_2, F_3$ from $F$ in polynomial time.
Therefore, $A$ is NP-hard.
So, the answer is:
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Given a CNF formula $F$, we construct three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ as follows:
- $F_1 = F$
- $F_2 = x$ (where $x$ is a new variable not in $F$)
- $F_3 = \neg x$
If $F$ is satisfiable, let $\sigma$ be a satisfying assignment for $F$. Extend $\sigma$ to $\sigma'$ by setting $\sigma'(x) = 0$. Then, $\sigma'$ satisfies $F_1$ (since it satisfies $F$) and $F_3$ (since it satisfies $\neg x$), but not $F_2$ (since it doesn't satisfy $x$). So, $\sigma'$ satisfies exactly two of the three formulas.
Conversely, if there exists an assignment $\sigma$ that satisfies exactly two of the three formulas, then it must satisfy $F_1$ and either $F_2$ or $F_3$ (since it cannot satisfy both $F_2$ and $F_3$). In either case, it satisfies $F_1 = F$, so $F$ is satisfiable.
Therefore, $F$ is satisfiable if and only if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas $F_1, F_2, F_3$.
This reduction is polynomial-time, as we can construct $F_1, F_2, F_3$ from $F$ in polynomial time.
Therefore, $A$ is NP-hard.
</answer>
Answer
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Given a CNF formula $F$, we construct three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ as follows:
- $F_1 = F$
- $F_2 = x$ (where $x$ is a new variable not in $F$)
- $F_3 = \neg x$
If $F$ is satisfiable, let $\sigma$ be a satisfying assignment for $F$. Extend $\sigma$ to $\sigma'$ by setting $\sigma'(x) = 0$. Then, $\sigma'$ satisfies $F_1$ (since it satisfies $F$) and $F_3$ (since it satisfies $\neg x$), but not $F_2$ (since it doesn't satisfy $x$). So, $\sigma'$ satisfies exactly two of the three formulas.
Conversely, if there exists an assignment $\sigma$ that satisfies exactly two of the three formulas, then it must satisfy $F_1$ and either $F_2$ or $F_3$ (since it cannot satisfy both $F_2$ and $F_3$). In either case, it satisfies $F_1 = F$, so $F$ is satisfiable.
Therefore, $F$ is satisfiable if and only if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas $F_1, F_2, F_3$.
This reduction is polynomial-time, as we can construct $F_1, F_2, F_3$ from $F$ in polynomial time.
Therefore, $A$ is NP-hard.
</answer>
Gegeben: Drei KNF-Formeln mit Variablen aus . Problem : Gibt es eine Belegung , die genau zwei der drei Formeln erfüllt?
☐☒ ist -hart
Reduktion: Begründung: Given a CNF formula , we construct three CNF formulas as follows: - - (where is a new variable not in ) - If is satisfiable, let be a satisfying assignment for . Extend to by setting . Then, satisfies (since it satisfies ) and (since it satisfies ), but not (since it doesn't satisfy ). So, satisfies exactly two of the three formulas. Conversely, if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas, then it must satisfy and either or (since it cannot satisfy both and ). In either case, it satisfies , so is satisfiable. Therefore, is satisfiable if and only if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas . This reduction is polynomial-time, as we can construct from in polynomial time. Therefore, is NP-hard.
Subproblem b (8.0/8.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme $A$ entweder, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, oder, dass es $\mathsf{NP}$-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.
Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.
**Achtung:** Auch um zu zeigen, dass das Problem in $\mathsf{P}$ liegt, ist eine Reduktion anzugeben!
*Hinweis:* Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ in $\mathsf{P}$ liegt, geben Sie eine Reduktion $A\le_p B$ für ein $B\in\mathsf{P}$ an, reduzieren Sie also $A$ auf ein Problem $B$, von dem wir wissen, dass es in $\mathsf{P}$ liegt, z.B. $\mathsf{2COL}$ oder $\mathsf{2KNF\text{-}SAT}$.
Um zu zeigen, dass ein Problem $A$ $\mathsf{NP}$-hart ist, geben Sie eine Reduktion $B\le_p A$ an, wobei $B$ ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa $\mathsf{3COL}$, $\mathsf{SAT}$, oder $\mathsf{CLIQUE}$.
## subproblem a (6.0 points)
**Gegeben:** Drei KNF-Formeln $F_1, F_2, F_3$ mit Variablen aus $V$.
**Problem $A$:** Gibt es eine Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$, die **genau zwei** der drei Formeln erfüllt?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Reduktion: $\mathsf{SAT} \le_p A$
Begründung:
Given a CNF formula $F$, we construct three CNF formulas $F_1, F_2, F_3$ as follows:
- $F_1 = F$
- $F_2 = x$ (where $x$ is a new variable not in $F$)
- $F_3 = \neg x$
If $F$ is satisfiable, let $\sigma$ be a satisfying assignment for $F$. Extend $\sigma$ to $\sigma'$ by setting $\sigma'(x) = 0$. Then, $\sigma'$ satisfies $F_1$ (since it satisfies $F$) and $F_3$ (since it satisfies $\neg x$), but not $F_2$ (since it doesn't satisfy $x$). So, $\sigma'$ satisfies exactly two of the three formulas.
Conversely, if there exists an assignment $\sigma$ that satisfies exactly two of the three formulas, then it must satisfy $F_1$ and either $F_2$ or $F_3$ (since it cannot satisfy both $F_2$ and $F_3$). In either case, it satisfies $F_1 = F$, so $F$ is satisfiable.
Therefore, $F$ is satisfiable if and only if there exists an assignment that satisfies exactly two of the three formulas $F_1, F_2, F_3$.
This reduction is polynomial-time, as we can construct $F_1, F_2, F_3$ from $F$ in polynomial time.
Therefore, $A$ is NP-hard.
</answer>
user:
## subproblem b (8.0 points)
**Gegeben:** Eine 2KNF-Formel $F$ mit Variablenmenge $V=\{x_1, ..., x_n\}$, eine Menge $\{1, ..., l\}$ von Farben (mit $l>0$) und eine Funktion $g: V \to \{1 ,...,l\}$, die jeder Variable eine Farbe zuordnet.
**Problem $A$:** Gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma$, sodass alle Variablen, die von $\sigma$ zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung $\sigma:V\rightarrow\{0,1\}$ mit $g(x_i) \neq g(x_j)$ für alle $i<j \leq n$ mit $\sigma(x_i)=1= \sigma(x_j)$?
<options>
<option id="1">$A\in\mathsf{P}$</option>
<option id="2">$A$ ist $\mathsf{NP}$-hart</option>
</options>
<answer-template id="3">
Reduktion: $? \le_p ?$
Begründung:
???
</answer-template>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Let me analyze this problem carefully.
We have:
- A 2CNF formula $F$ with variables $V = \{x_1, ..., x_n\}$
- A set of colors $\{1, ..., l\}$ (with $l > 0$)
- A function $g: V \to \{1, ..., l\}$ that assigns a color to each variable
The problem asks: Is there a satisfying assignment $\sigma$ for $F$ such that all variables set to 1 by $\sigma$ have different colors?
This is essentially asking if we can satisfy the 2CNF formula while ensuring that no two variables set to true have the same color.
Let's think about the complexity of this problem.
First, note that 2CNF-SAT is in P. But this problem adds an additional constraint on the satisfying assignment. The constraint is that all variables set to true must have distinct colors.
This is similar to a graph coloring problem, where we want to ensure that certain vertices (the variables set to true) have different colors.
Let's consider two cases:
1. If $l \geq n$ (i.e., we have at least as many colors as variables), then the color constraint is trivially satisfied because we can assign a unique color to each variable. In this case, the problem reduces to checking if the 2CNF formula is satisfiable, which is in P.
2. If $l < n$, then we have fewer colors than variables, and the color constraint becomes non-trivial. We need to find a satisfying assignment where at most $l$ variables are set to true (since we only have $l$ distinct colors), and these $l$ variables must all have different colors.
Actually, let me think more carefully about this problem. The constraint is not on the total number of variables set to true, but rather that any two variables set to true must have different colors. This means that if we have $k$ variables set to true, we need at least $k$ distinct colors among them.
Let's try to reduce this problem to a known problem or find a polynomial-time algorithm.
One approach is to consider the maximum number of variables that can be set to true in any satisfying assignment of the 2CNF formula. If this maximum number is greater than $l$, then we need to check if there's a satisfying assignment where the variables set to true use at most $l$ distinct colors.
Actually, let's think about this differently. The constraint is that all variables set to true must have different colors. This means that for each color $c$, at most one variable with color $c$ can be set to true.
So, for each color $c$, let $V_c = \{x \in V : g(x) = c\}$ be the set of variables with color $c$. The constraint implies that at most one variable from each $V_c$ can be set to true.
This is similar to a constraint that for each color class, we can choose at most one variable to be true.
Let's try to reduce this to 2CNF-SAT, which is in P.
For each color $c$, let $V_c = \{x_{c_1}, x_{c_2}, ..., x_{c_k}\}$ be the variables with color $c$. We need to ensure that at most one of these variables is set to true. We can encode this constraint using additional clauses:
For each pair $(x_{c_i}, x_{c_j})$ where $i < j$, we add the clause $(\neg x_{c_i} \vee \neg x_{c_j})$. This ensures that at most one of $x_{c_i}$ and $x_{c_j}$ is true.
So, the new formula $F'$ consists of the original formula $F$ plus all these additional clauses.
Now, $F'$ is satisfiable if and only if there exists a satisfying assignment for $F$ where at most one variable from each color class is set to true, which is exactly our problem.
Since $F'$ is a 2CNF formula (all clauses have at most 2 literals), and 2CNF-SAT is in P, we can solve this problem in polynomial time.
Therefore, the problem is in P.
Let me formalize this reduction:
Reduktion: $A \le_p \mathsf{2KNF\text{-}SAT}$
Begründung:
Given an instance of problem $A$ (a 2CNF formula $F$, a set of colors $\{1, ..., l\}$, and a coloring function $g: V \to \{1, ..., l\}$), we construct a new 2CNF formula $F'$ as follows:
1. Start with $F' = F$.
2. For each color $c \in \{1, ..., l\}$, let $V_c = \{x \in V : g(x) = c\}$ be the set of variables with color $c$.
3. For each color $c$ and for each pair of distinct variables $x, y \in V_c$, add the clause $(\neg x \vee \neg y)$ to $F'$.
The formula $F'$ is a 2CNF formula, and it can be constructed in polynomial time (since there are at most $O(n^2)$ additional clauses, where $n$ is the number of variables).
Now, $F'$ is satisfiable if and only if there exists a satisfying assignment for $F$ where at most one variable from each color class is set to true. This is exactly the condition required by problem $A$.
Since 2CNF-SAT is in P, we can solve problem $A$ in polynomial time by reducing it to 2CNF-SAT and then solving the resulting 2CNF formula.
Therefore, $A \in \mathsf{P}$.
Actually, let me double-check this reasoning. The reduction I described is correct, but I need to make sure that the resulting formula $F'$ is indeed a 2CNF formula. The original formula $F$ is a 2CNF formula, and the additional clauses $(\neg x \vee \neg y)$ are also 2CNF clauses. So, $F'$ is indeed a 2CNF formula.
Also, the number of additional clauses is at most $\sum_{c=1}^l \binom{|V_c|}{2} \leq \sum_{c=1}^l \frac{|V_c|^2}{2} \leq \frac{n^2}{2}$, where $n$ is the number of variables. So, the construction is polynomial in the size of the input.
Therefore, the problem is in P.
So, my answer is:
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktion: $A \le_p \mathsf{2KNF\text{-}SAT}$
Begründung:
Given an instance of problem $A$ (a 2CNF formula $F$, a set of colors $\{1, ..., l\}$, and a coloring function $g: V \to \{1, ..., l\}$), we construct a new 2CNF formula $F'$ as follows:
1. Start with $F' = F$.
2. For each color $c \in \{1, ..., l\}$, let $V_c = \{x \in V : g(x) = c\}$ be the set of variables with color $c$.
3. For each color $c$ and for each pair of distinct variables $x, y \in V_c$, add the clause $(\neg x \vee \neg y)$ to $F'$.
The formula $F'$ is a 2CNF formula, and it can be constructed in polynomial time (since there are at most $O(n^2)$ additional clauses, where $n$ is the number of variables).
Now, $F'$ is satisfiable if and only if there exists a satisfying assignment for $F$ where at most one variable from each color class is set to true. This is exactly the condition required by problem $A$.
Since 2CNF-SAT is in P, we can solve problem $A$ in polynomial time by reducing it to 2CNF-SAT and then solving the resulting 2CNF formula.
Therefore, $A \in \mathsf{P}$.
</answer>
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktion: $A \le_p \mathsf{2KNF\text{-}SAT}$
Begründung:
Given an instance of problem $A$ (a 2CNF formula $F$, a set of colors $\{1, ..., l\}$, and a coloring function $g: V \to \{1, ..., l\}$), we construct a new 2CNF formula $F'$ as follows:
1. Start with $F' = F$.
2. For each color $c \in \{1, ..., l\}$, let $V_c = \{x \in V : g(x) = c\}$ be the set of variables with color $c$.
3. For each color $c$ and for each pair of distinct variables $x, y \in V_c$, add the clause $(\neg x \vee \neg y)$ to $F'$.
The formula $F'$ is a 2CNF formula, and it can be constructed in polynomial time (since there are at most $O(n^2)$ additional clauses, where $n$ is the number of variables).
Now, $F'$ is satisfiable if and only if there exists a satisfying assignment for $F$ where at most one variable from each color class is set to true. This is exactly the condition required by problem $A$.
Since 2CNF-SAT is in P, we can solve problem $A$ in polynomial time by reducing it to 2CNF-SAT and then solving the resulting 2CNF formula.
Therefore, $A \in \mathsf{P}$.
</answer>
Gegeben: Eine 2KNF-Formel mit Variablenmenge , eine Menge von Farben (mit ) und eine Funktion , die jeder Variable eine Farbe zuordnet. Problem : Gibt es eine erfüllende Belegung , sodass alle Variablen, die von zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung mit für alle mit ?
☒☐ ist -hart
Reduktion: Begründung: Given an instance of problem (a 2CNF formula , a set of colors , and a coloring function ), we construct a new 2CNF formula as follows: 1. Start with . 2. For each color , let be the set of variables with color . 3. For each color and for each pair of distinct variables , add the clause to . The formula is a 2CNF formula, and it can be constructed in polynomial time (since there are at most additional clauses, where is the number of variables). Now, is satisfiable if and only if there exists a satisfying assignment for where at most one variable from each color class is set to true. This is exactly the condition required by problem . Since 2CNF-SAT is in P, we can solve problem in polynomial time by reducing it to 2CNF-SAT and then solving the resulting 2CNF formula. Therefore, .