anthropic/claude-opus-4.1
Exercise 7: Reduktion
Nehmen Sie an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „“ für Entscheidungsprobleme . Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben und (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
Subproblem a (4.0/4.0P) 
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Okay, so I need to decide whether HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS (Hamilton Path reduces to Hamilton Cycle) under the assumption that P ≠ NP.
Let me think about this. We need to show that we can reduce the Hamilton Path problem to the Hamilton Cycle problem. This means we need to find a polynomial-time computable function that transforms any instance of Hamilton Path into an instance of Hamilton Cycle such that:
- If the original graph has a Hamilton Path, then the transformed graph has a Hamilton Cycle
- If the original graph doesn't have a Hamilton Path, then the transformed graph doesn't have a Hamilton Cycle
Let me think about a reduction. Given a graph G = (V, E) for which we want to decide if it has a Hamilton Path:
1. Create a new graph G' = (V', E') where:
- V' = V ∪ {x} (add a new vertex x)
- E' = E ∪ {(x, v) | v ∈ V} (connect x to all vertices in V)
Wait, this doesn't work because if G has a Hamilton Path from u to v, then in G' we'd have a cycle going through all vertices of V and then back to x, but that would mean x appears twice.
Let me think differently. Actually, the standard reduction is:
1. Given G = (V, E), create G' = (V', E') where:
- V' = V ∪ {s} (add a new vertex s)
- E' = E ∪ {(s, v) | v ∈ V} (connect s to every vertex in V)
Hmm, this still doesn't work correctly.
Actually, I think the correct reduction is:
1. Given G = (V, E), create G' = (V', E') where:
- V' = V ∪ {x} (add one new vertex)
- E' = E ∪ {(x, v) | v ∈ V} (connect the new vertex to all original vertices)
I see how this reduction works. By adding a new vertex x connected to all original vertices, we can transform a Hamilton Path into a Hamilton Cycle. If the original graph has a Hamilton Path from v₁ to vₙ, we can create a cycle by including x at the start and end. This ensures we can convert a path problem into a cycle problem efficiently.
The key insight is using the new vertex x to bridge the gap between a path and a cycle, allowing a polynomial-time transformation between the two graph problems. The reduction involves creating a new graph G' by adding a vertex x connected to all original vertices. This ensures the Hamilton Cycle in G' translates to a Hamilton Path in the original graph G.
For the specific example, I've constructed G' by adding x and connecting it to A, B, C, D, and E while preserving the original graph's edge structure. The new graph maintains the original connectivity and introduces the additional vertex needed for the transformation.
Answer
Looking at this problem, I need to determine whether HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS holds, and if so, provide a reduction.
The statement **does hold**. Here's my reduction:
**Reduction function f:**
Given an instance of HAMILTON-PFAD with graph $G = (V, E)$, construct a new graph $G' = (V', E')$ where:
- $V' = V \cup \{x\}$ (add one new vertex $x$ not in $V$)
- $E' = E \cup \{\{x, v\} \mid v \in V\}$ (add edges from $x$ to all original vertices)
**Correctness sketch:**
- If $G$ has a Hamilton Path $v_1, v_2, \ldots, v_n$, then $G'$ has a Hamilton Cycle: $x, v_1, v_2, \ldots, v_n, x$. This works because the path edges exist in $E \subseteq E'$, and we added edges $\{x, v_1\}$ and $\{x, v_n\}$.
- If $G'$ has a Hamilton Cycle, it must include $x$. Since $x$ is only connected to vertices in $V$, removing $x$ from the cycle leaves a Hamilton Path in $G$.
**Applying the reduction to the given instance:**
Original graph $G$:
- Vertices: A, B, C, D, E
- Edges: A--B, A--C, B--C, C--D, C--E, D--E
Transformed graph $G'$:
- **Vertices:** A, B, C, D, E, x
- **Edges:**
- Original edges: A--B, A--C, B--C, C--D, C--E, D--E
- New edges: x--A, x--B, x--C, x--D, x--E
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion:** Gegeben ein Graph $G = (V, E)$, konstruiere $G' = (V', E')$ mit:
- $V' = V \cup \{x\}$ (füge einen neuen Knoten $x \notin V$ hinzu)
- $E' = E \cup \{\{x, v\} \mid v \in V\}$ (verbinde $x$ mit allen ursprünglichen Knoten)
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
Der transformierte Graph $G'$ hat:
- **Knoten:** A, B, C, D, E, x
- **Kanten:** A--B, A--C, B--C, C--D, C--E, D--E, x--A, x--B, x--C, x--D, x--E
**Korrektheitsskizze:**
$G$ hat einen Hamilton-Pfad $\Leftrightarrow$ $G'$ hat einen Hamilton-Kreis, da:
- Vorwärts: Ein Hamilton-Pfad $v_1, \ldots, v_n$ in $G$ wird zu einem Hamilton-Kreis $x, v_1, \ldots, v_n, x$ in $G'$
- Rückwärts: Jeder Hamilton-Kreis in $G'$ muss $x$ enthalten, und das Entfernen von $x$ liefert einen Hamilton-Pfad in $G$
</answer>
Sei ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von ist eine Permutation der Knoten von mit für jedes . Ein Hamilton-Kreis von ist ein Hamilton-Pfad von , der zusätzlich erfüllt. Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat. Aussage: HAMILTON-PFAD HAMILTON-KREIS Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an. Knoten: A, B, C, D, E Kanten: A -- B A -- C B -- C C -- D C -- E D -- E
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Reduktionsfunktion: Gegeben ein Graph , konstruiere mit: - (füge einen neuen Knoten hinzu) - (verbinde mit allen ursprünglichen Knoten) Anwendung auf die gegebene Instanz: Der transformierte Graph hat: - Knoten: A, B, C, D, E, x - Kanten: A--B, A--C, B--C, C--D, C--E, D--E, x--A, x--B, x--C, x--D, x--E Korrektheitsskizze: hat einen Hamilton-Pfad hat einen Hamilton-Kreis, da: - Vorwärts: Ein Hamilton-Pfad in wird zu einem Hamilton-Kreis in - Rückwärts: Jeder Hamilton-Kreis in muss enthalten, und das Entfernen von liefert einen Hamilton-Pfad in
Subproblem b (3.0/3.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:Looking at this problem, I need to determine whether HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS holds, and if so, provide a reduction.
The statement **does hold**. Here's my reduction:
**Reduction function f:**
Given an instance of HAMILTON-PFAD with graph $G = (V, E)$, construct a new graph $G' = (V', E')$ where:
- $V' = V \cup \{x\}$ (add one new vertex $x$ not in $V$)
- $E' = E \cup \{\{x, v\} \mid v \in V\}$ (add edges from $x$ to all original vertices)
**Correctness sketch:**
- If $G$ has a Hamilton Path $v_1, v_2, \ldots, v_n$, then $G'$ has a Hamilton Cycle: $x, v_1, v_2, \ldots, v_n, x$. This works because the path edges exist in $E \subseteq E'$, and we added edges $\{x, v_1\}$ and $\{x, v_n\}$.
- If $G'$ has a Hamilton Cycle, it must include $x$. Since $x$ is only connected to vertices in $V$, removing $x$ from the cycle leaves a Hamilton Path in $G$.
**Applying the reduction to the given instance:**
Original graph $G$:
- Vertices: A, B, C, D, E
- Edges: A--B, A--C, B--C, C--D, C--E, D--E
Transformed graph $G'$:
- **Vertices:** A, B, C, D, E, x
- **Edges:**
- Original edges: A--B, A--C, B--C, C--D, C--E, D--E
- New edges: x--A, x--B, x--C, x--D, x--E
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion:** Gegeben ein Graph $G = (V, E)$, konstruiere $G' = (V', E')$ mit:
- $V' = V \cup \{x\}$ (füge einen neuen Knoten $x \notin V$ hinzu)
- $E' = E \cup \{\{x, v\} \mid v \in V\}$ (verbinde $x$ mit allen ursprünglichen Knoten)
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
Der transformierte Graph $G'$ hat:
- **Knoten:** A, B, C, D, E, x
- **Kanten:** A--B, A--C, B--C, C--D, C--E, D--E, x--A, x--B, x--C, x--D, x--E
**Korrektheitsskizze:**
$G$ hat einen Hamilton-Pfad $\Leftrightarrow$ $G'$ hat einen Hamilton-Kreis, da:
- Vorwärts: Ein Hamilton-Pfad $v_1, \ldots, v_n$ in $G$ wird zu einem Hamilton-Kreis $x, v_1, \ldots, v_n, x$ in $G'$
- Rückwärts: Jeder Hamilton-Kreis in $G'$ muss $x$ enthalten, und das Entfernen von $x$ liefert einen Hamilton-Pfad in $G$
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Let me think about this problem. We need to determine whether 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT (CFG-EMPTINESS). First, let me recall what we know: - 3KNF-SAT is NP-complete - CFG-LEERHEIT (checking if a context-free grammar generates the empty language) is decidable in polynomial time The problem CFG-LEERHEIT asks: Given a context-free grammar G, is L(G) = ∅? This can be solved in polynomial time by: 1. Computing which non-terminals are productive (can derive a terminal string) 2. Checking if the start symbol is productive The algorithm works as follows: - Mark all terminals as productive - Repeatedly mark non-terminals as productive if they have a production rule where all symbols on the right-hand side are productive - L(G) = ∅ if and only if the start symbol is not productive Since CFG-LEERHEIT is in P and 3KNF-SAT is NP-complete, and we assume P ≠ NP, we cannot have 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT. If such a reduction existed, it would imply 3KNF-SAT ∈ P, which would mean P = NP, contradicting our assumption. Therefore, the statement does NOT hold. Let me write a proof: **Beweis:** CFG-LEERHEIT ist in P, da es einen Polynomialzeit-Algorithmus gibt, der prüft, ob eine kontextfreie Grammatik die leere Sprache erzeugt (durch Berechnung der produktiven Nichtterminale). 3KNF-SAT ist NP-vollständig. Angenommen, es gäbe eine Polynomialzeit-Reduktion 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT. Dann könnten wir 3KNF-SAT in Polynomialzeit lösen: If we could reduce 3KNF-SAT to CFG-LEERHEIT, we'd transform a 3-CNF formula into a context-free grammar such that the formula is satisfiable if and only if the grammar is non-empty. By checking the grammar's language emptiness in polynomial time, we'd effectively solve 3KNF-SAT in polynomial time. This would contradict the NP-completeness of 3KNF-SAT, implying P = NP.
Answer
Looking at this problem, I need to determine whether 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT holds under the assumption P ≠ NP. Let me analyze the complexity of these problems: **CFG-LEERHEIT** is in P because we can determine whether a context-free grammar generates the empty language in polynomial time using the following algorithm: 1. Mark which non-terminals are productive (can derive terminal strings) 2. A non-terminal is productive if it has a production rule where all symbols on the right side are already marked as productive (terminals are productive by default) 3. L(G) = ∅ if and only if the start symbol is not productive **3KNF-SAT** is NP-complete. Now, if 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT were true, we could solve 3KNF-SAT in polynomial time: 1. Apply the polynomial-time reduction to transform the 3KNF formula into a CFG 2. Solve CFG-LEERHEIT in polynomial time 3. Use the result to determine satisfiability This would imply 3KNF-SAT ∈ P, which means P = NP, contradicting our assumption that P ≠ NP. Therefore, the statement **does not hold**. <option id="1">0</option> <option id="2">1</option> <answer id="3"> **Beweis, dass die Aussage nicht gilt:** CFG-LEERHEIT ist in P, da es einen Polynomialzeit-Algorithmus gibt, der die produktiven Nichtterminale einer kontextfreien Grammatik berechnet und prüft, ob das Startsymbol produktiv ist. Eine Grammatik erzeugt genau dann die leere Sprache, wenn ihr Startsymbol nicht produktiv ist. 3KNF-SAT ist NP-vollständig. **Annahme:** Es gäbe eine Polynomialzeit-Reduktion 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT. **Folgerung:** Dann könnten wir 3KNF-SAT in Polynomialzeit lösen: - Gegeben eine 3KNF-Formel φ, wende die Reduktion an und erhalte eine CFG G - Teste in Polynomialzeit, ob L(G) = ∅ - Dies liefert die Antwort für die Erfüllbarkeit von φ Das würde bedeuten 3KNF-SAT ∈ P, also P = NP, was unserer Annahme P ≠ NP widerspricht. **Konklusion:** Die Reduktion 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT kann unter der Annahme P ≠ NP nicht existieren. </answer>
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik kein Wort erzeugt, also ob gilt. Aussage: 3KNF-SAT CFG-LEERHEIT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
☐Die Aussage gilt☒Die Aussage gilt nicht
Beweis, dass die Aussage nicht gilt: CFG-LEERHEIT ist in P, da es einen Polynomialzeit-Algorithmus gibt, der die produktiven Nichtterminale einer kontextfreien Grammatik berechnet und prüft, ob das Startsymbol produktiv ist. Eine Grammatik erzeugt genau dann die leere Sprache, wenn ihr Startsymbol nicht produktiv ist. 3KNF-SAT ist NP-vollständig. Annahme: Es gäbe eine Polynomialzeit-Reduktion 3KNF-SAT CFG-LEERHEIT. Folgerung: Dann könnten wir 3KNF-SAT in Polynomialzeit lösen: - Gegeben eine 3KNF-Formel φ, wende die Reduktion an und erhalte eine CFG G - Teste in Polynomialzeit, ob L(G) = ∅ - Dies liefert die Antwort für die Erfüllbarkeit von φ Das würde bedeuten 3KNF-SAT ∈ P, also P = NP, was unserer Annahme P ≠ NP widerspricht. Konklusion: Die Reduktion 3KNF-SAT CFG-LEERHEIT kann unter der Annahme P ≠ NP nicht existieren.
Subproblem c (7.0/7.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:Looking at this problem, I need to determine whether HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS holds, and if so, provide a reduction.
The statement **does hold**. Here's my reduction:
**Reduction function f:**
Given an instance of HAMILTON-PFAD with graph $G = (V, E)$, construct a new graph $G' = (V', E')$ where:
- $V' = V \cup \{x\}$ (add one new vertex $x$ not in $V$)
- $E' = E \cup \{\{x, v\} \mid v \in V\}$ (add edges from $x$ to all original vertices)
**Correctness sketch:**
- If $G$ has a Hamilton Path $v_1, v_2, \ldots, v_n$, then $G'$ has a Hamilton Cycle: $x, v_1, v_2, \ldots, v_n, x$. This works because the path edges exist in $E \subseteq E'$, and we added edges $\{x, v_1\}$ and $\{x, v_n\}$.
- If $G'$ has a Hamilton Cycle, it must include $x$. Since $x$ is only connected to vertices in $V$, removing $x$ from the cycle leaves a Hamilton Path in $G$.
**Applying the reduction to the given instance:**
Original graph $G$:
- Vertices: A, B, C, D, E
- Edges: A--B, A--C, B--C, C--D, C--E, D--E
Transformed graph $G'$:
- **Vertices:** A, B, C, D, E, x
- **Edges:**
- Original edges: A--B, A--C, B--C, C--D, C--E, D--E
- New edges: x--A, x--B, x--C, x--D, x--E
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion:** Gegeben ein Graph $G = (V, E)$, konstruiere $G' = (V', E')$ mit:
- $V' = V \cup \{x\}$ (füge einen neuen Knoten $x \notin V$ hinzu)
- $E' = E \cup \{\{x, v\} \mid v \in V\}$ (verbinde $x$ mit allen ursprünglichen Knoten)
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
Der transformierte Graph $G'$ hat:
- **Knoten:** A, B, C, D, E, x
- **Kanten:** A--B, A--C, B--C, C--D, C--E, D--E, x--A, x--B, x--C, x--D, x--E
**Korrektheitsskizze:**
$G$ hat einen Hamilton-Pfad $\Leftrightarrow$ $G'$ hat einen Hamilton-Kreis, da:
- Vorwärts: Ein Hamilton-Pfad $v_1, \ldots, v_n$ in $G$ wird zu einem Hamilton-Kreis $x, v_1, \ldots, v_n, x$ in $G'$
- Rückwärts: Jeder Hamilton-Kreis in $G'$ muss $x$ enthalten, und das Entfernen von $x$ liefert einen Hamilton-Pfad in $G$
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:Looking at this problem, I need to determine whether 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT holds under the assumption P ≠ NP.
Let me analyze the complexity of these problems:
**CFG-LEERHEIT** is in P because we can determine whether a context-free grammar generates the empty language in polynomial time using the following algorithm:
1. Mark which non-terminals are productive (can derive terminal strings)
2. A non-terminal is productive if it has a production rule where all symbols on the right side are already marked as productive (terminals are productive by default)
3. L(G) = ∅ if and only if the start symbol is not productive
**3KNF-SAT** is NP-complete.
Now, if 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT were true, we could solve 3KNF-SAT in polynomial time:
1. Apply the polynomial-time reduction to transform the 3KNF formula into a CFG
2. Solve CFG-LEERHEIT in polynomial time
3. Use the result to determine satisfiability
This would imply 3KNF-SAT ∈ P, which means P = NP, contradicting our assumption that P ≠ NP.
Therefore, the statement **does not hold**.
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
**Beweis, dass die Aussage nicht gilt:**
CFG-LEERHEIT ist in P, da es einen Polynomialzeit-Algorithmus gibt, der die produktiven Nichtterminale einer kontextfreien Grammatik berechnet und prüft, ob das Startsymbol produktiv ist. Eine Grammatik erzeugt genau dann die leere Sprache, wenn ihr Startsymbol nicht produktiv ist.
3KNF-SAT ist NP-vollständig.
**Annahme:** Es gäbe eine Polynomialzeit-Reduktion 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT.
**Folgerung:** Dann könnten wir 3KNF-SAT in Polynomialzeit lösen:
- Gegeben eine 3KNF-Formel φ, wende die Reduktion an und erhalte eine CFG G
- Teste in Polynomialzeit, ob L(G) = ∅
- Dies liefert die Antwort für die Erfüllbarkeit von φ
Das würde bedeuten 3KNF-SAT ∈ P, also P = NP, was unserer Annahme P ≠ NP widerspricht.
**Konklusion:** Die Reduktion 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT kann unter der Annahme P ≠ NP nicht existieren.
</answer>
user:
## subproblem c (7.0 points)
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem:
Eingabe: Eine endliche Menge $M=\{m_1, ..., m_k\}$ und eine Menge $T=\{T_1, ..., T_n\}$ von Teilmengen von $M$.
Ausgabe: Enthält $T$ eine *exakte Überdeckung* von $M$, d.h. gibt es eine Menge $S \subseteq T$, sodass jedes Element von $M$ in **genau** einer der Teilmengen in $S$ vorkommt?
**Aussage:** EXAKTE-ÜBERDECKUNG $\leq_p$ SAT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an.
$M\coloneqq\{1,2,3,4\}$
$T\coloneqq\{T_1,T_2,T_3,T_4,T_5\}$
wobei
$T_1\coloneqq\{1\}$,
$T_2\coloneqq\{1,3\}$,
$T_3\coloneqq\{1,2,3\}$,
$T_4\coloneqq\{2,4\}$,
$T_5\coloneqq\emptyset$.
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
I need to determine whether EXAKTE-ÜBERDECKUNG $\leq_p$ SAT holds.
First, let me understand what EXAKTE-ÜBERDECKUNG is:
- Input: A finite set M and a set T of subsets of M
- Output: Does T contain an exact cover of M? (i.e., a subset S ⊆ T such that each element of M appears in exactly one of the subsets in S)
SAT is the satisfiability problem for boolean formulas.
The statement should hold because:
1. EXAKTE-ÜBERDECKUNG is NP-complete (this is a known fact)
2. SAT is NP-complete
3. All NP-complete problems are polynomial-time reducible to each other
So I need to give a reduction from EXAKTE-ÜBERDECKUNG to SAT.
The reduction:
Given an instance of EXAKTE-ÜBERDECKUNG with M = {m₁, ..., m_k} and T = {T₁, ..., T_n}, I need to construct a boolean formula φ that is satisfiable if and only if there exists an exact cover.
Variables:
- For each T_i ∈ T, introduce a boolean variable x_i which is true if T_i is selected in the cover
Constraints:
1. Each element m_j ∈ M must be covered exactly once.
- For each m_j, it must appear in exactly one selected subset
- Let I_j = {i | m_j ∈ T_i} be the indices of subsets containing m_j
- We need exactly one of {x_i | i ∈ I_j} to be true
The "exactly one" constraint can be expressed as:
- At least one is true: ⋁_{i ∈ I_j} x_i
- At most one is true: For all distinct pairs i₁, i₂ ∈ I_j: ¬(x_{i₁} ∧ x_{i₂}) which is equivalent to (¬x_{i₁} ∨ ¬x_{i₂})
I construct a boolean formula that captures the exact cover conditions. The formula ensures each element is covered precisely once by combining logical constraints on the subset selection variables.
For the first element, I create a complex logical expression involving sets containing 1, enforcing mutual exclusivity and coverage requirements. The constraint ensures x₁ appears in exactly one of the selected sets.
For the second element, I'm developing a similar logical constraint involving sets containing 2, which will define the coverage and mutual exclusivity conditions for those specific subsets.
I continue constructing the logical formula by systematically incorporating constraints for each element, ensuring precise set selection rules. The goal is to create a comprehensive boolean expression that governs subset membership.
The emerging formula progressively captures the intricate relationships between elements and their potential subset inclusions, methodically building a precise logical representation of the set selection problem.
An exact cover emerges through strategic variable assignments, specifically selecting T₂ and T₄ to comprehensively yet uniquely represent the underlying set structure.
I verify x₁, x₃, and x₅ are false, while x₂ and x₄ remain true. This configuration systematically satisfies the complex logical constraints across the formula's clauses.
Each logical clause evaluates to true, confirming the overall formula's validity through this specific variable assignment. The truth values align precisely to meet all specified conditions.
Answer
Looking at this problem, I need to determine whether EXAKTE-ÜBERDECKUNG $\leq_p$ SAT holds.
The statement **does hold**. EXAKTE-ÜBERDECKUNG is NP-complete, and SAT is NP-complete, so there exists a polynomial-time reduction between them.
**Reduction function:**
Given an instance of EXAKTE-ÜBERDECKUNG with set $M = \{m_1, \ldots, m_k\}$ and collection $T = \{T_1, \ldots, T_n\}$, construct a boolean formula $\phi$ as follows:
1. **Variables:** For each $T_i \in T$, create a boolean variable $x_i$ (true if $T_i$ is selected in the cover)
2. **Constraints:** For each element $m_j \in M$:
- Let $I_j = \{i \mid m_j \in T_i\}$ be the indices of subsets containing $m_j$
- Add constraint: "exactly one of the subsets containing $m_j$ is selected"
- This is expressed as:
- At least one: $\bigvee_{i \in I_j} x_i$
- At most one: $\bigwedge_{i_1, i_2 \in I_j, i_1 < i_2} (\neg x_{i_1} \vee \neg x_{i_2})$
The formula is: $\phi = \bigwedge_{j=1}^k \left[ \left(\bigvee_{i \in I_j} x_i\right) \wedge \left(\bigwedge_{i_1, i_2 \in I_j, i_1 < i_2} (\neg x_{i_1} \vee \neg x_{i_2})\right) \right]$
**Applying to the given instance:**
For element 1: $I_1 = \{1, 2, 3\}$ (contained in $T_1, T_2, T_3$)
For element 2: $I_2 = \{3, 4\}$ (contained in $T_3, T_4$)
For element 3: $I_3 = \{2, 3\}$ (contained in $T_2, T_3$)
For element 4: $I_4 = \{4\}$ (contained in $T_4$)
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion:** Gegeben $(M, T)$ mit $M = \{m_1, \ldots, m_k\}$ und $T = \{T_1, \ldots, T_n\}$:
- **Variablen:** Für jedes $T_i$ eine Variable $x_i$ (wahr gdw. $T_i$ in der Überdeckung)
- **Formel:** Für jedes $m_j \in M$ mit $I_j = \{i \mid m_j \in T_i\}$:
- Mindestens eine Überdeckung: $\bigvee_{i \in I_j} x_i$
- Höchstens eine Überdeckung: $\bigwedge_{i_1 < i_2, i_1,i_2 \in I_j} (\neg x_{i_1} \vee \neg x_{i_2})$
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
Variablen: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$
Für Element 1 (in $T_1, T_2, T_3$):
$(x_1 \vee x_2 \vee x_3) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_2) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_2 \vee \neg x_3)$
Für Element 2 (in $T_3, T_4$):
$(x_3 \vee x_4) \wedge (\neg x_3 \vee \neg x_4)$
Für Element 3 (in $T_2, T_3$):
$(x_2 \vee x_3) \wedge (\neg x_2 \vee \neg x_3)$
Für Element 4 (in $T_4$):
$x_4$
**Resultierende Formel:**
$\phi = (x_1 \vee x_2 \vee x_3) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_2) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_2 \vee \neg x_3) \wedge (x_3 \vee x_4) \wedge (\neg x_3 \vee \neg x_4) \wedge (x_2 \vee x_3) \wedge (\neg x_2 \vee \neg x_3) \wedge x_4$
**Korrektheitsskizze:** Eine exakte Überdeckung existiert gdw. $\phi$ erfüllbar ist. Die Belegung $x_i = $ wahr entspricht der Auswahl von $T_i$.
</answer>
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem: Eingabe: Eine endliche Menge und eine Menge von Teilmengen von . Ausgabe: Enthält eine exakte Überdeckung von , d.h. gibt es eine Menge , sodass jedes Element von in genau einer der Teilmengen in vorkommt? Aussage: EXAKTE-ÜBERDECKUNG SAT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an. wobei , , , , .
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Reduktionsfunktion: Gegeben mit und : - Variablen: Für jedes eine Variable (wahr gdw. in der Überdeckung) - Formel: Für jedes mit : - Mindestens eine Überdeckung: - Höchstens eine Überdeckung: Anwendung auf die gegebene Instanz: Variablen: Für Element 1 (in ): Für Element 2 (in ): Für Element 3 (in ): Für Element 4 (in ): Resultierende Formel: Korrektheitsskizze: Eine exakte Überdeckung existiert gdw. erfüllbar ist. Die Belegung wahr entspricht der Auswahl von .
anthropic/claude-sonnet-4
Exercise 7: Reduktion
Nehmen Sie an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „“ für Entscheidungsprobleme . Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben und (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
Subproblem a (4.0/4.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
We need to determine whether HAMILTON-PFAD ≤_p HAMILTON-KREIS. HAMILTON-PFAD asks if a given undirected graph has a Hamiltonian path. HAMILTON-KREIS asks if a given undirected graph has a Hamiltonian cycle. For a polynomial-time reduction, we need to transform any instance of HAMILTON-PFAD to an instance of HAMILTON-KREIS such that: - The input graph G has a Hamiltonian path if and only if the transformed graph G' has a Hamiltonian cycle. Let's think about this. If a graph G has a Hamiltonian path, then we want to construct a graph G' that has a Hamiltonian cycle. If G doesn't have a Hamiltonian path, then G' should not have a Hamiltonian cycle. One idea: If G has a Hamiltonian path from vertex u to vertex v, then if we could somehow connect v back to u, we'd get a Hamiltonian cycle. But we can't just add an edge from v to u because we don't know which vertices u and v are. Another approach: We can create a new graph G' by adding a new vertex w and connecting w to all vertices in G. Then: - If G has a Hamiltonian path from u to v, then in G', we can form a cycle: u → ... → v → w → u (if there's an edge from w to u) or v → w → u → ... → v (if we reverse the path). But this doesn't quite work because w is connected to all vertices. Actually, let me think more systematically. If G has a Hamiltonian path P = v₁ → v₂ → ... → vₙ, then in the new graph G' where we add vertex w connected to all vertices of G, we can form a Hamiltonian cycle in G': v₁ → v₂ → ... → vₙ → w → v₁. If G lacks a Hamiltonian path, any cycle in G' that includes all vertices would imply a Hamiltonian path in G, which is impossible. The reduction involves adding a new vertex w connected to all vertices in the original graph. By constructing G' with an additional vertex w, we create a mechanism to transform potential Hamiltonian paths in G into Hamiltonian cycles in G'. The key insight is that the new vertex allows us to complete a cycle while preserving the original graph's vertex traversal. The construction ensures that if G' has a Hamiltonian cycle, it must include w and reveal a Hamiltonian path in the original graph G. I'm exploring possible Hamiltonian paths in this graph, carefully tracking vertex connections. The graph reveals multiple potential routes between vertices A, B, C, D, and E. Two promising paths emerge: A → B → C → D → E and A → B → C → E → D, both successfully traversing each vertex exactly once. Some routes quickly become blocked when attempting to visit unconnected vertices, highlighting the complexity of finding a complete path. The interconnected nature of vertices C and D provides interesting routing possibilities, while ensuring no repeated visits becomes the critical challenge. Systematic exploration reveals the delicate balance required to construct a valid Hamiltonian path. The graph contains Hamiltonian paths, which means our constructed graph G' must include a Hamiltonian cycle. By adding vertex W connected to every other vertex, we create a complete connection that enables a cycle through all vertices. A specific example demonstrates this: traversing A → B → C → D → E → W → A completes the circuit. This confirms the original statement and validates the proposed reduction strategy.
Answer
Looking at this problem, I need to determine whether HAMILTON-PFAD ≤_p HAMILTON-KREIS under the assumption P ≠ NP.
Let me analyze whether we can reduce the Hamiltonian path problem to the Hamiltonian cycle problem.
**Reduction Function:**
Given a graph G = (V, E) as input to HAMILTON-PFAD, I construct G' = (V ∪ {w}, E ∪ {(w,v) : v ∈ V}) where w is a new vertex connected to all vertices in V.
**Correctness:**
- If G has a Hamiltonian path v₁ → v₂ → ... → vₙ, then G' has a Hamiltonian cycle: v₁ → v₂ → ... → vₙ → w → v₁
- If G' has a Hamiltonian cycle, it must include w. The cycle can be written as w → u₁ → u₂ → ... → uₙ → w, so u₁ → u₂ → ... → uₙ forms a Hamiltonian path in G.
**Application to the given instance:**
Original graph G:
- Vertices: {A, B, C, D, E}
- Edges: {AB, AC, BC, CD, CE, DE}
First, let me verify G has a Hamiltonian path:
The path A → B → C → D → E works: AB ✓, BC ✓, CD ✓, DE ✓
Constructed graph G':
- Vertices: {A, B, C, D, E, W}
- Edges: {AB, AC, BC, CD, CE, DE, WA, WB, WC, WD, WE}
Since G has the Hamiltonian path A → B → C → D → E, the graph G' has the Hamiltonian cycle A → B → C → D → E → W → A.
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduction function:** Given graph G = (V, E), construct G' = (V ∪ {w}, E ∪ {(w,v) : v ∈ V}) where w is a new vertex connected to all vertices in V.
**Application to given instance:**
- Original graph G has vertices {A, B, C, D, E} and edges {AB, AC, BC, CD, CE, DE}
- Constructed graph G' has vertices {A, B, C, D, E, W} and edges {AB, AC, BC, CD, CE, DE, WA, WB, WC, WD, WE}
- Since G has Hamiltonian path A → B → C → D → E, then G' has Hamiltonian cycle A → B → C → D → E → W → A
**Correctness sketch:** G has a Hamiltonian path iff G' has a Hamiltonian cycle, because any Hamiltonian cycle in G' using the new vertex w corresponds to a Hamiltonian path in G, and vice versa.
</answer>
Sei ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von ist eine Permutation der Knoten von mit für jedes . Ein Hamilton-Kreis von ist ein Hamilton-Pfad von , der zusätzlich erfüllt. Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat. Aussage: HAMILTON-PFAD HAMILTON-KREIS Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an. Knoten: A, B, C, D, E Kanten: A -- B A -- C B -- C C -- D C -- E D -- E
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Reduction function: Given graph G = (V, E), construct G' = (V ∪ {w}, E ∪ {(w,v) : v ∈ V}) where w is a new vertex connected to all vertices in V.
Application to given instance:
- Original graph G has vertices {A, B, C, D, E} and edges {AB, AC, BC, CD, CE, DE}
- Constructed graph G' has vertices {A, B, C, D, E, W} and edges {AB, AC, BC, CD, CE, DE, WA, WB, WC, WD, WE}
- Since G has Hamiltonian path A → B → C → D → E, then G' has Hamiltonian cycle A → B → C → D → E → W → A
Correctness sketch: G has a Hamiltonian path iff G' has a Hamiltonian cycle, because any Hamiltonian cycle in G' using the new vertex w corresponds to a Hamiltonian path in G, and vice versa.Subproblem b (3.0/3.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:Looking at this problem, I need to determine whether HAMILTON-PFAD ≤_p HAMILTON-KREIS under the assumption P ≠ NP.
Let me analyze whether we can reduce the Hamiltonian path problem to the Hamiltonian cycle problem.
**Reduction Function:**
Given a graph G = (V, E) as input to HAMILTON-PFAD, I construct G' = (V ∪ {w}, E ∪ {(w,v) : v ∈ V}) where w is a new vertex connected to all vertices in V.
**Correctness:**
- If G has a Hamiltonian path v₁ → v₂ → ... → vₙ, then G' has a Hamiltonian cycle: v₁ → v₂ → ... → vₙ → w → v₁
- If G' has a Hamiltonian cycle, it must include w. The cycle can be written as w → u₁ → u₂ → ... → uₙ → w, so u₁ → u₂ → ... → uₙ forms a Hamiltonian path in G.
**Application to the given instance:**
Original graph G:
- Vertices: {A, B, C, D, E}
- Edges: {AB, AC, BC, CD, CE, DE}
First, let me verify G has a Hamiltonian path:
The path A → B → C → D → E works: AB ✓, BC ✓, CD ✓, DE ✓
Constructed graph G':
- Vertices: {A, B, C, D, E, W}
- Edges: {AB, AC, BC, CD, CE, DE, WA, WB, WC, WD, WE}
Since G has the Hamiltonian path A → B → C → D → E, the graph G' has the Hamiltonian cycle A → B → C → D → E → W → A.
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduction function:** Given graph G = (V, E), construct G' = (V ∪ {w}, E ∪ {(w,v) : v ∈ V}) where w is a new vertex connected to all vertices in V.
**Application to given instance:**
- Original graph G has vertices {A, B, C, D, E} and edges {AB, AC, BC, CD, CE, DE}
- Constructed graph G' has vertices {A, B, C, D, E, W} and edges {AB, AC, BC, CD, CE, DE, WA, WB, WC, WD, WE}
- Since G has Hamiltonian path A → B → C → D → E, then G' has Hamiltonian cycle A → B → C → D → E → W → A
**Correctness sketch:** G has a Hamiltonian path iff G' has a Hamiltonian cycle, because any Hamiltonian cycle in G' using the new vertex w corresponds to a Hamiltonian path in G, and vice versa.
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Let me think about this problem. We want to know if 3KNF-SAT ≤_p CFG-LEERHEIT. 3KNF-SAT is the problem of determining whether a given formula in 3-conjunctive normal form is satisfiable. CFG-LEERHEIT is the problem of determining whether a given context-free grammar generates no words, i.e., whether L(G) = ∅. For the reduction to work, we need to construct a context-free grammar G from a 3CNF formula φ such that: - φ is satisfiable ⟺ L(G) ≠ ∅ - φ is not satisfiable ⟺ L(G) = ∅ Wait, let me think about the complexity classes here. CFG-LEERHEIT is actually in P. There's a polynomial-time algorithm to determine if a context-free grammar generates the empty language. You can use the CYK algorithm or other methods to check if the start symbol can derive any terminal string. On the other hand, 3KNF-SAT is NP-complete. If P ≠ NP, then we cannot have 3KNF-SAT ≤_p CFG-LEERHEIT, because that would imply 3KNF-SAT ∈ P (since CFG-LEERHEIT ∈ P and polynomial reductions preserve membership in P). So the statement should not hold under the assumption P ≠ NP. Let me double-check this reasoning: 1. CFG-LEERHEIT ∈ P (this is a known result) 2. 3KNF-SAT is NP-complete 3. If 3KNF-SAT ≤_p CFG-LEERHEIT, then 3KNF-SAT ∈ P (since P is closed under polynomial reductions) 4. This would contradict the assumption that P ≠ NP, as it would imply P = NP if an NP-complete problem could be solved in polynomial time. The reduction is impossible under the standard complexity theory assumptions.
Answer
Looking at this problem, I need to determine whether 3KNF-SAT ≤_p CFG-LEERHEIT under the assumption P ≠ NP. Let me analyze the complexity classes involved: 1. **CFG-LEERHEIT ∈ P**: There exists a polynomial-time algorithm to determine if a context-free grammar generates the empty language. This can be done by checking if the start symbol can derive any terminal string using standard algorithms. 2. **3KNF-SAT is NP-complete**: This is a well-known result. 3. **If the reduction existed**: If 3KNF-SAT ≤_p CFG-LEERHEIT, then since CFG-LEERHEIT ∈ P and polynomial reductions preserve membership in P, we would have 3KNF-SAT ∈ P. 4. **Contradiction**: Since 3KNF-SAT is NP-complete, if 3KNF-SAT ∈ P, then P = NP. But this contradicts our assumption that P ≠ NP. Therefore, the reduction cannot exist under the assumption P ≠ NP. <option id="1">0</option> <option id="2">1</option> <answer id="3"> **Proof that the statement does not hold:** CFG-LEERHEIT is in P, as there exists a polynomial-time algorithm to determine whether a context-free grammar generates the empty language. 3KNF-SAT is NP-complete. If 3KNF-SAT ≤_p CFG-LEERHEIT existed, then since CFG-LEERHEIT ∈ P and polynomial reductions preserve membership in P, we would have 3KNF-SAT ∈ P. Since 3KNF-SAT is NP-complete, 3KNF-SAT ∈ P would imply P = NP. This contradicts our assumption that P ≠ NP. Therefore, the reduction 3KNF-SAT ≤_p CFG-LEERHEIT cannot exist under the assumption P ≠ NP. </answer>
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik kein Wort erzeugt, also ob gilt. Aussage: 3KNF-SAT CFG-LEERHEIT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
☐Die Aussage gilt☒Die Aussage gilt nicht
Proof that the statement does not hold: CFG-LEERHEIT is in P, as there exists a polynomial-time algorithm to determine whether a context-free grammar generates the empty language. 3KNF-SAT is NP-complete. If 3KNF-SAT ≤_p CFG-LEERHEIT existed, then since CFG-LEERHEIT ∈ P and polynomial reductions preserve membership in P, we would have 3KNF-SAT ∈ P. Since 3KNF-SAT is NP-complete, 3KNF-SAT ∈ P would imply P = NP. This contradicts our assumption that P ≠ NP. Therefore, the reduction 3KNF-SAT ≤_p CFG-LEERHEIT cannot exist under the assumption P ≠ NP.
Subproblem c (7.0/7.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:Looking at this problem, I need to determine whether HAMILTON-PFAD ≤_p HAMILTON-KREIS under the assumption P ≠ NP.
Let me analyze whether we can reduce the Hamiltonian path problem to the Hamiltonian cycle problem.
**Reduction Function:**
Given a graph G = (V, E) as input to HAMILTON-PFAD, I construct G' = (V ∪ {w}, E ∪ {(w,v) : v ∈ V}) where w is a new vertex connected to all vertices in V.
**Correctness:**
- If G has a Hamiltonian path v₁ → v₂ → ... → vₙ, then G' has a Hamiltonian cycle: v₁ → v₂ → ... → vₙ → w → v₁
- If G' has a Hamiltonian cycle, it must include w. The cycle can be written as w → u₁ → u₂ → ... → uₙ → w, so u₁ → u₂ → ... → uₙ forms a Hamiltonian path in G.
**Application to the given instance:**
Original graph G:
- Vertices: {A, B, C, D, E}
- Edges: {AB, AC, BC, CD, CE, DE}
First, let me verify G has a Hamiltonian path:
The path A → B → C → D → E works: AB ✓, BC ✓, CD ✓, DE ✓
Constructed graph G':
- Vertices: {A, B, C, D, E, W}
- Edges: {AB, AC, BC, CD, CE, DE, WA, WB, WC, WD, WE}
Since G has the Hamiltonian path A → B → C → D → E, the graph G' has the Hamiltonian cycle A → B → C → D → E → W → A.
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduction function:** Given graph G = (V, E), construct G' = (V ∪ {w}, E ∪ {(w,v) : v ∈ V}) where w is a new vertex connected to all vertices in V.
**Application to given instance:**
- Original graph G has vertices {A, B, C, D, E} and edges {AB, AC, BC, CD, CE, DE}
- Constructed graph G' has vertices {A, B, C, D, E, W} and edges {AB, AC, BC, CD, CE, DE, WA, WB, WC, WD, WE}
- Since G has Hamiltonian path A → B → C → D → E, then G' has Hamiltonian cycle A → B → C → D → E → W → A
**Correctness sketch:** G has a Hamiltonian path iff G' has a Hamiltonian cycle, because any Hamiltonian cycle in G' using the new vertex w corresponds to a Hamiltonian path in G, and vice versa.
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:Looking at this problem, I need to determine whether 3KNF-SAT ≤_p CFG-LEERHEIT under the assumption P ≠ NP.
Let me analyze the complexity classes involved:
1. **CFG-LEERHEIT ∈ P**: There exists a polynomial-time algorithm to determine if a context-free grammar generates the empty language. This can be done by checking if the start symbol can derive any terminal string using standard algorithms.
2. **3KNF-SAT is NP-complete**: This is a well-known result.
3. **If the reduction existed**: If 3KNF-SAT ≤_p CFG-LEERHEIT, then since CFG-LEERHEIT ∈ P and polynomial reductions preserve membership in P, we would have 3KNF-SAT ∈ P.
4. **Contradiction**: Since 3KNF-SAT is NP-complete, if 3KNF-SAT ∈ P, then P = NP. But this contradicts our assumption that P ≠ NP.
Therefore, the reduction cannot exist under the assumption P ≠ NP.
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
**Proof that the statement does not hold:**
CFG-LEERHEIT is in P, as there exists a polynomial-time algorithm to determine whether a context-free grammar generates the empty language.
3KNF-SAT is NP-complete.
If 3KNF-SAT ≤_p CFG-LEERHEIT existed, then since CFG-LEERHEIT ∈ P and polynomial reductions preserve membership in P, we would have 3KNF-SAT ∈ P.
Since 3KNF-SAT is NP-complete, 3KNF-SAT ∈ P would imply P = NP.
This contradicts our assumption that P ≠ NP.
Therefore, the reduction 3KNF-SAT ≤_p CFG-LEERHEIT cannot exist under the assumption P ≠ NP.
</answer>
user:
## subproblem c (7.0 points)
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem:
Eingabe: Eine endliche Menge $M=\{m_1, ..., m_k\}$ und eine Menge $T=\{T_1, ..., T_n\}$ von Teilmengen von $M$.
Ausgabe: Enthält $T$ eine *exakte Überdeckung* von $M$, d.h. gibt es eine Menge $S \subseteq T$, sodass jedes Element von $M$ in **genau** einer der Teilmengen in $S$ vorkommt?
**Aussage:** EXAKTE-ÜBERDECKUNG $\leq_p$ SAT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an.
$M\coloneqq\{1,2,3,4\}$
$T\coloneqq\{T_1,T_2,T_3,T_4,T_5\}$
wobei
$T_1\coloneqq\{1\}$,
$T_2\coloneqq\{1,3\}$,
$T_3\coloneqq\{1,2,3\}$,
$T_4\coloneqq\{2,4\}$,
$T_5\coloneqq\emptyset$.
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
I need to determine whether EXAKTE-ÜBERDECKUNG ≤_p SAT.
EXAKTE-ÜBERDECKUNG is the exact cover problem, which is NP-complete. SAT is also NP-complete. Since both problems are NP-complete, a polynomial reduction from EXAKTE-ÜBERDECKUNG to SAT should exist.
Let me construct the reduction:
Given an instance of EXAKTE-ÜBERDECKUNG with set M = {m₁, ..., mₖ} and collection T = {T₁, ..., Tₙ} of subsets of M.
I need to construct a SAT formula φ such that:
- φ is satisfiable ⟺ there exists an exact cover of M using subsets from T
**Reduction function:**
For each subset Tᵢ ∈ T, introduce a Boolean variable xᵢ.
- xᵢ = true means we select subset Tᵢ in our cover
- xᵢ = false means we don't select subset Tᵢ
The SAT formula φ should express:
1. Each element in M is covered by exactly one selected subset
For each element mⱼ ∈ M, let I(mⱼ) = {i : mⱼ ∈ Tᵢ} be the indices of subsets containing mⱼ.
For each element mⱼ, we need exactly one of the subsets containing it to be selected:
- At least one: ⋁_{i ∈ I(mⱼ)} xᵢ
- At most one: for all i, i' ∈ I(mⱼ) with i ≠ i', we have ¬xᵢ ∨ ¬xᵢ'
So the formula is:
φ = ⋀_{mⱼ ∈ M} (⋁_{i ∈ I(mⱼ)} xᵢ) ∧ ⋀_{mⱼ ∈ M} ⋀_{i,i' ∈ I(mⱼ), i≠i'} (¬xᵢ ∨ ¬xᵢ')
I construct the SAT formula by creating Boolean variables for each subset and adding constraints to ensure exactly one subset covers each element. The formula guarantees that no two overlapping subsets are simultaneously selected.
For element 2, I continue the constraint generation, ensuring x₄) constraint to prevent multiple selections within the same element's covering sets.
For element 3, I identify the sets containing this element and create logical constraints. The sets require at least one variable selection while preventing multiple selections.
For element 4, I recognize a unique scenario where only one subset contains this element. This leads to a straightforward constraint requiring x₄'s selection with minimal additional complexity.
The SAT formula emerges from systematically combining these element-wise logical constraints, representing the set cover problem's core logical structure.
The constraints ensure precise subset selection across different elements, maintaining the exact cover requirement through carefully constructed boolean logic.
By selecting T₄ and T₂, we eliminate T₃ and T₁, creating a precise mapping that satisfies the set coverage conditions without redundancy.
The solution validates the exact cover, demonstrating how strategic selection of sets can comprehensively address the problem's constraints while maintaining unique element representation.
I'll continue constructing the SAT formula, carefully encoding the set selection rules for each element to ensure precise coverage without redundancy.
The formula progressively captures the logical requirements for set membership, translating the exact cover challenge into boolean satisfiability conditions.
By systematically applying constraints across variables x₁ through x₄, I'm creating a precise logical representation that ensures exactly one element is selected from each set while maintaining mutual exclusivity.
The verification step will confirm whether the proposed assignment satisfies all logical constraints embedded in the formula. The formula is satisfiable because the assignment ensures complete coverage and prevents duplicate element selection. By mapping true variables to subset selection, we create an exact cover that meets both constraint requirements.
The transformation between exact cover and boolean satisfiability occurs efficiently, with a direct polynomial-time mapping between problem representations.
Answer
Looking at this problem, I need to determine whether EXAKTE-ÜBERDECKUNG ≤_p SAT.
Since EXAKTE-ÜBERDECKUNG is NP-complete and SAT is NP-complete, such a reduction should exist. Let me construct it:
**Reduction Function:**
Given an instance of EXAKTE-ÜBERDECKUNG with set M = {m₁, ..., mₖ} and collection T = {T₁, ..., Tₙ}:
1. For each subset Tᵢ ∈ T, introduce Boolean variable xᵢ
2. For each element mⱼ ∈ M, let I(mⱼ) = {i : mⱼ ∈ Tᵢ}
3. Construct SAT formula φ ensuring each element is covered by exactly one selected subset:
φ = ⋀_{mⱼ ∈ M} [(⋁_{i ∈ I(mⱼ)} xᵢ) ∧ ⋀_{i,i' ∈ I(mⱼ), i≠i'} (¬xᵢ ∨ ¬xᵢ')]
**Application to the given instance:**
M = {1, 2, 3, 4}, T = {T₁, T₂, T₃, T₄, T₅}
where T₁ = {1}, T₂ = {1,3}, T₃ = {1,2,3}, T₄ = {2,4}, T₅ = ∅
Variables: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅
For element 1 ∈ {T₁, T₂, T₃}:
- At least one: (x₁ ∨ x₂ ∨ x₃)
- At most one: (¬x₁ ∨ ¬x₂) ∧ (¬x₁ ∨ ¬x₃) ∧ (¬x₂ ∨ ¬x₃)
For element 2 ∈ {T₃, T₄}:
- At least one: (x₃ ∨ x₄)
- At most one: (¬x₃ ∨ ¬x₄)
For element 3 ∈ {T₂, T₃}:
- At least one: (x₂ ∨ x₃)
- At most one: (¬x₂ ∨ ¬x₃)
For element 4 ∈ {T₄}:
- At least one: x₄
**Resulting SAT formula:**
φ = (x₁ ∨ x₂ ∨ x₃) ∧ (¬x₁ ∨ ¬x₂) ∧ (¬x₁ ∨ ¬x₃) ∧ (¬x₂ ∨ ¬x₃) ∧ (x₃ ∨ x₄) ∧ (¬x₃ ∨ ¬x₄) ∧ (x₂ ∨ x₃) ∧ (¬x₂ ∨ ¬x₃) ∧ x₄
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduction function:** Given EXAKTE-ÜBERDECKUNG instance (M, T) with M = {m₁, ..., mₖ} and T = {T₁, ..., Tₙ}, construct SAT formula φ as follows:
- For each Tᵢ ∈ T, introduce Boolean variable xᵢ
- For each element mⱼ ∈ M, let I(mⱼ) = {i : mⱼ ∈ Tᵢ}
- φ = ⋀_{mⱼ ∈ M} [(⋁_{i ∈ I(mⱼ)} xᵢ) ∧ ⋀_{i,i' ∈ I(mⱼ), i≠i'} (¬xᵢ ∨ ¬xᵢ')]
**Application to given instance:**
Variables: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅
For element 1: (x₁ ∨ x₂ ∨ x₃) ∧ (¬x₁ ∨ ¬x₂) ∧ (¬x₁ ∨ ¬x₃) ∧ (¬x₂ ∨ ¬x₃)
For element 2: (x₃ ∨ x₄) ∧ (¬x₃ ∨ ¬x₄)
For element 3: (x₂ ∨ x₃) ∧ (¬x₂ ∨ ¬x₃)
For element 4: x₄
**Resulting SAT formula:**
φ = (x₁ ∨ x₂ ∨ x₃) ∧ (¬x₁ ∨ ¬x₂) ∧ (¬x₁ ∨ ¬x₃) ∧ (¬x₂ ∨ ¬x₃) ∧ (x₃ ∨ x₄) ∧ (¬x₃ ∨ ¬x₄) ∧ (x₂ ∨ x₃) ∧ (¬x₂ ∨ ¬x₃) ∧ x₄
**Correctness sketch:** The exact cover exists iff φ is satisfiable. The "at least one" clauses ensure every element is covered, while the "at most one" clauses ensure no element is covered twice. The reduction runs in polynomial time.
</answer>
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem: Eingabe: Eine endliche Menge und eine Menge von Teilmengen von . Ausgabe: Enthält eine exakte Überdeckung von , d.h. gibt es eine Menge , sodass jedes Element von in genau einer der Teilmengen in vorkommt? Aussage: EXAKTE-ÜBERDECKUNG SAT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an. wobei , , , , .
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Reduction function: Given EXAKTE-ÜBERDECKUNG instance (M, T) with M = {m₁, ..., mₖ} and T = {T₁, ..., Tₙ}, construct SAT formula φ as follows:
- For each Tᵢ ∈ T, introduce Boolean variable xᵢ
- For each element mⱼ ∈ M, let I(mⱼ) = {i : mⱼ ∈ Tᵢ}
- φ = ⋀_{mⱼ ∈ M} [(⋁_{i ∈ I(mⱼ)} xᵢ) ∧ ⋀_{i,i' ∈ I(mⱼ), i≠i'} (¬xᵢ ∨ ¬xᵢ')]
Application to given instance:
Variables: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅
For element 1: (x₁ ∨ x₂ ∨ x₃) ∧ (¬x₁ ∨ ¬x₂) ∧ (¬x₁ ∨ ¬x₃) ∧ (¬x₂ ∨ ¬x₃)
For element 2: (x₃ ∨ x₄) ∧ (¬x₃ ∨ ¬x₄)
For element 3: (x₂ ∨ x₃) ∧ (¬x₂ ∨ ¬x₃)
For element 4: x₄
Resulting SAT formula:
φ = (x₁ ∨ x₂ ∨ x₃) ∧ (¬x₁ ∨ ¬x₂) ∧ (¬x₁ ∨ ¬x₃) ∧ (¬x₂ ∨ ¬x₃) ∧ (x₃ ∨ x₄) ∧ (¬x₃ ∨ ¬x₄) ∧ (x₂ ∨ x₃) ∧ (¬x₂ ∨ ¬x₃) ∧ x₄
Correctness sketch: The exact cover exists iff φ is satisfiable. The "at least one" clauses ensure every element is covered, while the "at most one" clauses ensure no element is covered twice. The reduction runs in polynomial time.deepseek/deepseek-chat-v3.1
Exercise 7: Reduktion
Nehmen Sie an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „“ für Entscheidungsprobleme . Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben und (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
Subproblem a (4.0/4.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
First, the question is about whether HAMILTON-PATH reduces to HAMILTON-CYCLE under the assumption that P ≠ NP. I need to decide if the statement HAMILTON-PATH ≤_p HAMILTON-CYCLE holds.
I recall that both HAMILTON-PATH and HAMILTON-CYCLE are NP-complete problems. But since we're assuming P ≠ NP, we're dealing with reductions between NP-complete problems.
Now, I need to see if I can reduce HAMILTON-PATH to HAMILTON-CYCLE. That means, given an instance of HAMILTON-PATH (a graph G), I need to construct a graph G' such that G has a Hamiltonian path if and only if G' has a Hamiltonian cycle.
I remember a standard reduction for this. To reduce HAMILTON-PATH to HAMILTON-CYCLE, we can add a new vertex to the graph and connect it to all other vertices. But let me think carefully.
A common reduction is: Given a graph G for HAMILTON-PATH, create a new graph G' by adding a new vertex, say v*, and connect v* to every vertex in G. Then, G has a Hamiltonian path if and only if G' has a Hamiltonian cycle.
Why? If G has a Hamiltonian path, say v1, v2, ..., vn, then in G', we can form a cycle: v1, v2, ..., vn, v*, v1. But is that a cycle? v* is connected to all, so from vn to v* and v* to v1, yes, if v1 and vn are connected to v*. But in the cycle, we need {vn, v*} and {v*, v1} to be edges, which they are since v* is connected to all.
Conversely, if G' has a Hamiltonian cycle, since v* is connected only to all vertices in G (and no others, since we added it), in the cycle, v* must have two neighbors, say u and w, and the cycle must include u, ..., w, v*, u or something. Removing v* should give a path from u to w that visits all vertices, so G has a Hamiltonian path from u to w. But a Hamiltonian path in G doesn't necessarily start and end at specific vertices; it just needs to visit all. In this case, after removing v*, we have a path that covers all vertices of G, so yes, G has a Hamiltonian path.
But is this correct? In the cycle, when we remove v*, we get a path from u to w, which might not be a Hamiltonian path if u and w are not connected, but in the cycle, the edges are present, so the path between u and w in the cycle is a path in G, and since the cycle covers all vertices, this path covers all vertices of G, so it is a Hamiltonian path in G.
Yes, that seems correct.
Now, for the instance given: Graph with vertices A,B,C,D,E and edges: A-B, A-C, B-C, C-D, C-E, D-E.
I need to apply the reduction to this instance. So, I should add a new vertex, let's call it X, and connect X to all vertices: A,B,C,D,E.
Then, the new graph G' has vertices A,B,C,D,E,X and edges: all original edges plus X-A, X-B, X-C, X-D, X-E.
Now, I need to check if G' has a Hamiltonian cycle, but only if G has a Hamiltonian path. But the question is to apply the reduction, not to solve it. The reduction is to map the instance of HAMILTON-PATH to an instance of HAMILTON-CYCLE.
So, for the answer, I need to specify the reduction function and then apply it to the given graph.
First, I think the statement holds, so I should set option id="1" to 1, and option id="2" to 0.
Now, for the answer, I need to provide the reduction.
The reduction function f: given a graph G = (V,E), define f(G) = G' = (V ∪ {v*}, E ∪ { {v*, u} | u ∈ V } ), where v* is a new vertex not in V.
Then, G has a Hamiltonian path iff G' has a Hamiltonian cycle.
Now, for the given instance: V = {A,B,C,D,E}, E = { {A,B}, {A,C}, {B,C}, {C,D}, {C,E}, {D,E} }
So, G' has vertices: A,B,C,D,E,X (I'll use X for v*)
Edges of G': all original edges plus X-A, X-B, X-C, X-D, X-E.
In the answer, I need to write this out.
Also, I need to sketch the correctness. But the question says: "die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren." So I should briefly explain why the reduction works.
For the application, I need to apply it to the given instance.
Now, in the answer format, it says <answer id="3"> ... </answer>, so I need to put everything there.
I should structure my answer.
First, state that the statement holds.
Then, define the reduction function.
Then, apply it to the given graph.
Then, sketch the correctness.
Since the option is for whether it holds or not, I'll set the options.
So, <option id="1">1</option> since it holds.
<option id="2">0</option> since it doesn't not hold.
Now for answer id="3".
I'll write:
Die Aussage gilt.
Reduktionsfunktion: Für einen gegebenen Graphen G = (V, E) für HAMILTON-PFAD, definiere einen neuen Graphen G' = (V', E') mit V' = V ∪ {v*} wobei v* ein neuer Knoten nicht in V ist, und E' = E ∪ { {v*, u} | u ∈ V }.
Angewendet auf die gegebene Instanz:
Gegebener Graph G: Knoten A, B, C, D, E. Kanten: A-B, A-C, B-C, C-D, C-E, D-E.
Dann G': Knoten: A, B, C, D, E, X (wobei X der neue Knoten ist).
Kanten: alle originalen Kanten plus X-A, X-B, X-C, X-D, X-E.
Also E' = {A-B, A-C, B-C, C-D, C-E, D-E, X-A, X-B, X-C, X-D, X-E}
Skizze der Korrektheit:
- Wenn G einen Hamilton-Pfad hat, dann kann man in G' einen Hamilton-Kreis bilden, indem man v* an den Anfang und das Ende des Pfades anhängt, da v* mit allen Knoten verbunden ist.
- Wenn G' einen Hamilton-Kreis hat, dann muss v* im Kreis sein, und seine beiden Nachbarn seien u und w. Entfernt man v*, erhält man einen Hamilton-Pfad von u nach w in G.
Daher gilt die Reduktion.
I think that's sufficient.
Now, for the given graph, does it have a Hamiltonian path? I don't need to check, but just for curiosity, let's see. The graph has vertices A,B,C,D,E. Is there a path visiting all? For example, A-B-C-D-E or A-C-B, but B and D are not connected directly, but C is connected to all. Possible path: A-B-C-D-E or A-C-D-E-B, etc. Actually, let's list: from A, can go to B or C. If A-B, then B-C, then C can go to D or E. Say C-D, then D-E, then E is connected to C and D, but all vertices visited? Path A-B-C-D-E visits A,B,C,D,E, yes, and edges exist: A-B, B-C, C-D, D-E. So yes, Hamiltonian path exists. Similarly, other paths. So G has a Hamiltonian path, so G' should have a Hamiltonian cycle, but I don't need to verify for the answer, just apply the reduction.
In the reduction, I added X connected to all, so for G', a Hamiltonian cycle could be, for example, X-A-B-C-D-E-X or something. But again, not necessary to find it.
So, I think my answer is fine.
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Die Aussage gilt.
Reduktionsfunktion: Für einen gegebenen Graphen \( G = (V, E) \) für HAMILTON-PFAD, definiere einen neuen Graphen \( G' = (V', E') \) mit \( V' = V \cup \{v*\} \), wobei \( v* \) ein neuer Knoten nicht in \( V \) ist, und \( E' = E \cup \{ \{v*, u\} \mid u \in V \} \).
Angewendet auf die gegebene Instanz:
- Gegebener Graph \( G \): Knoten \( V = \{A, B, C, D, E\} \), Kanten \( E = \{ \{A,B\}, \{A,C\}, \{B,C\}, \{C,D\}, \{C,E\}, \{D,E\} \} \).
- Dann \( G' \): Knoten \( V' = \{A, B, C, D, E, X\} \) (wobei \( X \) für \( v* \) steht).
- Kanten \( E' = \{ \{A,B\}, \{A,C\}, \{B,C\}, \{C,D\}, \{C,E\}, \{D,E\}, \{X,A\}, \{X,B\}, \{X,C\}, \{X,D\}, \{X,E\} \} \).
Skizze der Korrektheit:
- Wenn \( G \) einen Hamilton-Pfad hat, dann existiert eine Permutation der Knoten, die alle besucht. In \( G' \) kann man einen Hamilton-Kreis bilden, indem man \( v* \) an den Anfang und das Ende des Pfades einfügt (da \( v* \) mit allen Knoten verbunden ist), z.B. \( v*, v_1, v_2, \dotsc, v_n, v* \).
- Wenn \( G' \) einen Hamilton-Kreis hat, muss \( v* \) im Kreis sein mit zwei Nachbarn \( u \) und \( w \). Entfernt man \( v* \), erhält man einen Hamilton-Pfad von \( u \) nach \( w \) in \( G \).
Daher gilt \( G \) hat einen Hamilton-Pfad genau dann, wenn \( G' \) einen Hamilton-Kreis hat.
</answer>
Sei ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von ist eine Permutation der Knoten von mit für jedes . Ein Hamilton-Kreis von ist ein Hamilton-Pfad von , der zusätzlich erfüllt. Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat. Aussage: HAMILTON-PFAD HAMILTON-KREIS Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an. Knoten: A, B, C, D, E Kanten: A -- B A -- C B -- C C -- D C -- E D -- E
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Die Aussage gilt. Reduktionsfunktion: Für einen gegebenen Graphen für HAMILTON-PFAD, definiere einen neuen Graphen mit , wobei ein neuer Knoten nicht in ist, und . Angewendet auf die gegebene Instanz: - Gegebener Graph : Knoten , Kanten . - Dann : Knoten (wobei für steht). - Kanten . Skizze der Korrektheit: - Wenn einen Hamilton-Pfad hat, dann existiert eine Permutation der Knoten, die alle besucht. In kann man einen Hamilton-Kreis bilden, indem man an den Anfang und das Ende des Pfades einfügt (da mit allen Knoten verbunden ist), z.B. . - Wenn einen Hamilton-Kreis hat, muss im Kreis sein mit zwei Nachbarn und . Entfernt man , erhält man einen Hamilton-Pfad von nach in . Daher gilt hat einen Hamilton-Pfad genau dann, wenn einen Hamilton-Kreis hat.
Subproblem b (3.0/3.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Die Aussage gilt.
Reduktionsfunktion: Für einen gegebenen Graphen \( G = (V, E) \) für HAMILTON-PFAD, definiere einen neuen Graphen \( G' = (V', E') \) mit \( V' = V \cup \{v*\} \), wobei \( v* \) ein neuer Knoten nicht in \( V \) ist, und \( E' = E \cup \{ \{v*, u\} \mid u \in V \} \).
Angewendet auf die gegebene Instanz:
- Gegebener Graph \( G \): Knoten \( V = \{A, B, C, D, E\} \), Kanten \( E = \{ \{A,B\}, \{A,C\}, \{B,C\}, \{C,D\}, \{C,E\}, \{D,E\} \} \).
- Dann \( G' \): Knoten \( V' = \{A, B, C, D, E, X\} \) (wobei \( X \) für \( v* \) steht).
- Kanten \( E' = \{ \{A,B\}, \{A,C\}, \{B,C\}, \{C,D\}, \{C,E\}, \{D,E\}, \{X,A\}, \{X,B\}, \{X,C\}, \{X,D\}, \{X,E\} \} \).
Skizze der Korrektheit:
- Wenn \( G \) einen Hamilton-Pfad hat, dann existiert eine Permutation der Knoten, die alle besucht. In \( G' \) kann man einen Hamilton-Kreis bilden, indem man \( v* \) an den Anfang und das Ende des Pfades einfügt (da \( v* \) mit allen Knoten verbunden ist), z.B. \( v*, v_1, v_2, \dotsc, v_n, v* \).
- Wenn \( G' \) einen Hamilton-Kreis hat, muss \( v* \) im Kreis sein mit zwei Nachbarn \( u \) und \( w \). Entfernt man \( v* \), erhält man einen Hamilton-Pfad von \( u \) nach \( w \) in \( G \).
Daher gilt \( G \) hat einen Hamilton-Pfad genau dann, wenn \( G' \) einen Hamilton-Kreis hat.
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
First, the question is about whether 3KNF-SAT reduces to CFG-LEERHEIT under the assumption that P ≠ NP. 3KNF-SAT is the problem of deciding if a 3CNF formula is satisfiable, and CFG-LEERHEIT is the problem of deciding if a context-free grammar generates no words, i.e., L(G) = ∅. I need to decide if 3KNF-SAT ≤p CFG-LEERHEIT. If it does, I must provide a reduction function and apply it to the given instance. If not, I need to prove it doesn't hold. Given that P ≠ NP, 3KNF-SAT is NP-complete, and CFG-LEERHEIT is known to be decidable in polynomial time. In fact, emptiness for CFGs can be checked by seeing if the start symbol can generate any terminal string, which is done by checking if it's reachable and can produce terminals, which is in P. Since 3KNF-SAT is NP-complete and CFG-LEERHEIT is in P, if P ≠ NP, then 3KNF-SAT cannot be reduced to CFG-LEERHEIT because that would imply 3KNF-SAT is in P, which contradicts P ≠ NP. A reduction from A to B means that if B is in P, then A is in P. Since CFG-LEERHEIT is in P, if 3KNF-SAT ≤p CFG-LEERHEIT, then 3KNF-SAT would be in P, but under P ≠ NP, it's not. Therefore, the reduction cannot exist. So, the statement does not hold. Now, for the answer format, I need to set the options. Option id="1" is "Die Aussage gilt" (the statement holds), and option id="2" is "Die Aussage gilt nicht" (the statement does not hold). I should set option 1 to 0 and option 2 to 1. Then, for the answer, since it doesn't hold, I need to prove it. I don't need to provide a reduction function. Proof sketch: CFG-LEERHEIT is in P, as emptiness for CFGs can be decided in polynomial time. 3KNF-SAT is NP-complete. If 3KNF-SAT ≤p CFG-LEERHEIT, then since CFG-LEERHEIT ∈ P, it would follow that 3KNF-SAT ∈ P, contradicting P ≠ NP. Therefore, under P ≠ NP, the reduction cannot exist. Now, for the given instance, I don't need to apply anything since the reduction doesn't hold. So, my answer should be: <option id="1">0</option> <option id="2">1</option> <answer id="3"> Die Aussage gilt nicht. Beweis: CFG-LEERHEIT ist in P entscheidbar, da die Leerheit einer kontextfreien Grammatik in polynomieller Zeit überprüft werden kann (z.B. durch Überprüfung, ob das Startsymbol irgendeine Terminalkette erzeugen kann). 3KNF-SAT ist NP-vollständig. Unter der Annahme P ≠ NP kann 3KNF-SAT nicht in P liegen. Wenn 3KNF-SAT ≤p CFG-LEERHEIT gelten würde, dann wäre 3KNF-SAT in P, da CFG-LEERHEIT in P ist, was ein Widerspruch zu P ≠ NP ist. Daher gilt die Reduktion nicht. </answer>
Answer
<option id="1">0</option> <option id="2">1</option> <answer id="3"> Die Aussage gilt nicht. Beweis: CFG-LEERHEIT ist in P entscheidbar, da die Leerheit einer kontextfreien Grammatik in polynomieller Zeit überprüft werden kann, beispielsweise durch Analyse der Erreichbarkeit und Produktivität von Symbolen. 3KNF-SAT ist NP-vollständig. Unter der Annahme P ≠ NP kann 3KNF-SAT nicht in P liegen. Wenn 3KNF-SAT ≤p CFG-LEERHEIT gelten würde, dann folgt aus CFG-LEERHEIT ∈ P, dass 3KNF-SAT ∈ P, was ein Widerspruch zu P ≠ NP ist. Daher ist die Reduktion nicht möglich. </answer>
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik kein Wort erzeugt, also ob gilt. Aussage: 3KNF-SAT CFG-LEERHEIT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
☐Die Aussage gilt☒Die Aussage gilt nicht
Die Aussage gilt nicht. Beweis: CFG-LEERHEIT ist in P entscheidbar, da die Leerheit einer kontextfreien Grammatik in polynomieller Zeit überprüft werden kann, beispielsweise durch Analyse der Erreichbarkeit und Produktivität von Symbolen. 3KNF-SAT ist NP-vollständig. Unter der Annahme P ≠ NP kann 3KNF-SAT nicht in P liegen. Wenn 3KNF-SAT ≤p CFG-LEERHEIT gelten würde, dann folgt aus CFG-LEERHEIT ∈ P, dass 3KNF-SAT ∈ P, was ein Widerspruch zu P ≠ NP ist. Daher ist die Reduktion nicht möglich.
Subproblem c (7.0/7.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Die Aussage gilt.
Reduktionsfunktion: Für einen gegebenen Graphen \( G = (V, E) \) für HAMILTON-PFAD, definiere einen neuen Graphen \( G' = (V', E') \) mit \( V' = V \cup \{v*\} \), wobei \( v* \) ein neuer Knoten nicht in \( V \) ist, und \( E' = E \cup \{ \{v*, u\} \mid u \in V \} \).
Angewendet auf die gegebene Instanz:
- Gegebener Graph \( G \): Knoten \( V = \{A, B, C, D, E\} \), Kanten \( E = \{ \{A,B\}, \{A,C\}, \{B,C\}, \{C,D\}, \{C,E\}, \{D,E\} \} \).
- Dann \( G' \): Knoten \( V' = \{A, B, C, D, E, X\} \) (wobei \( X \) für \( v* \) steht).
- Kanten \( E' = \{ \{A,B\}, \{A,C\}, \{B,C\}, \{C,D\}, \{C,E\}, \{D,E\}, \{X,A\}, \{X,B\}, \{X,C\}, \{X,D\}, \{X,E\} \} \).
Skizze der Korrektheit:
- Wenn \( G \) einen Hamilton-Pfad hat, dann existiert eine Permutation der Knoten, die alle besucht. In \( G' \) kann man einen Hamilton-Kreis bilden, indem man \( v* \) an den Anfang und das Ende des Pfades einfügt (da \( v* \) mit allen Knoten verbunden ist), z.B. \( v*, v_1, v_2, \dotsc, v_n, v* \).
- Wenn \( G' \) einen Hamilton-Kreis hat, muss \( v* \) im Kreis sein mit zwei Nachbarn \( u \) und \( w \). Entfernt man \( v* \), erhält man einen Hamilton-Pfad von \( u \) nach \( w \) in \( G \).
Daher gilt \( G \) hat einen Hamilton-Pfad genau dann, wenn \( G' \) einen Hamilton-Kreis hat.
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Die Aussage gilt nicht. Beweis: CFG-LEERHEIT ist in P entscheidbar, da die Leerheit einer kontextfreien Grammatik in polynomieller Zeit überprüft werden kann, beispielsweise durch Analyse der Erreichbarkeit und Produktivität von Symbolen. 3KNF-SAT ist NP-vollständig. Unter der Annahme P ≠ NP kann 3KNF-SAT nicht in P liegen. Wenn 3KNF-SAT ≤p CFG-LEERHEIT gelten würde, dann folgt aus CFG-LEERHEIT ∈ P, dass 3KNF-SAT ∈ P, was ein Widerspruch zu P ≠ NP ist. Daher ist die Reduktion nicht möglich.
</answer>
user:
## subproblem c (7.0 points)
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem:
Eingabe: Eine endliche Menge $M=\{m_1, ..., m_k\}$ und eine Menge $T=\{T_1, ..., T_n\}$ von Teilmengen von $M$.
Ausgabe: Enthält $T$ eine *exakte Überdeckung* von $M$, d.h. gibt es eine Menge $S \subseteq T$, sodass jedes Element von $M$ in **genau** einer der Teilmengen in $S$ vorkommt?
**Aussage:** EXAKTE-ÜBERDECKUNG $\leq_p$ SAT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an.
$M\coloneqq\{1,2,3,4\}$
$T\coloneqq\{T_1,T_2,T_3,T_4,T_5\}$
wobei
$T_1\coloneqq\{1\}$,
$T_2\coloneqq\{1,3\}$,
$T_3\coloneqq\{1,2,3\}$,
$T_4\coloneqq\{2,4\}$,
$T_5\coloneqq\emptyset$.
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
First, I need to decide if EXAKTE-ÜBERDECKUNG ≤p SAT. EXAKTE-ÜBERDECKUNG is known to be NP-complete, and SAT is also NP-complete. Since both are NP-complete, there should be a polynomial-time reduction from EXAKTE-ÜBERDECKUNG to SAT. So the statement should hold.
Now, for the reduction, I need to define a reduction function that maps an instance of EXAKTE-ÜBERDECKUNG to an instance of SAT.
An instance of EXAKTE-ÜBERDECKUNG is given by a set M and a collection T of subsets of M. I need to create a Boolean formula that is satisfiable if and only if there is an exact cover.
I recall that EXAKTE-ÜBERDECKUNG can be reduced to SAT by creating variables for each subset in T, and then encoding the constraints.
Let me define the variables. For each subset T_i in T, I introduce a Boolean variable x_i, which is true if T_i is selected in the cover S.
The constraints are:
1. Every element in M must be covered exactly once. That means for each element m in M, exactly one of the subsets that contain m must be selected.
So, for each element m in M, I need to ensure that exactly one x_i such that m ∈ T_i is true.
This can be encoded in CNF. For each m, let C_m be the set of indices i such that m ∈ T_i. Then, I need:
- At least one x_i for i in C_m is true. (Coverage)
- For any two different x_i and x_j in C_m, not both true. (Uniqueness)
The at least one part is a clause: ∨_{i in C_m} x_i
The uniqueness part: for each pair i ≠ j in C_m, I need a clause ¬x_i ∨ ¬x_j
But this could lead to a lot of clauses, but it's polynomial in size since |C_m| is bounded by |T|, which is part of the input.
Now, for the given instance:
M = {1,2,3,4}
T = {T1, T2, T3, T4, T5} where:
T1 = {1}
T2 = {1,3}
T3 = {1,2,3}
T4 = {2,4}
T5 = ∅
Note that T5 is empty, which might affect things, but since it doesn't cover any elements, it might be irrelevant, but we need to include it.
First, list for each element, which subsets contain it.
Element 1: contained in T1, T2, T3 (since T1={1}, T2={1,3}, T3={1,2,3})
Element 2: contained in T3, T4 (T3={1,2,3}, T4={2,4})
Element 3: contained in T2, T3 (T2={1,3}, T3={1,2,3})
Element 4: contained in T4 (T4={2,4})
T5 is empty, so it contains no elements, so for coverage, it doesn't cover any element, so it might be selected or not, but since it doesn't cover anything, if selected, it doesn't help, but the uniqueness might be affected? No, because for elements, we only care about subsets that contain them. Since T5 contains no elements, it doesn't appear in any C_m, so for the constraints, x5 (variable for T5) doesn't appear in any of the coverage clauses. But we need to ensure that if T5 is selected, it doesn't violate anything, but since it covers nothing, it should be fine. However, in exact cover, we might not want to select empty sets because they don't cover anything, but technically, if we select T5, it doesn't cover any element, so for the cover to be exact, we must not select any subset that doesn't cover anything? No, the definition says: each element must be covered exactly once, but if we select an empty set, it doesn't cover any element, so it doesn't affect the coverage. But in exact cover, we usually consider only subsets that are non-empty, but here T5 is given, so we have to consider it.
In the reduction, we include variables for all subsets, including empty ones.
But for the coverage constraints, since T5 contains no elements, x5 will not appear in any ∨_{i in C_m} x_i clause, and also not in the uniqueness clauses because for each element, C_m doesn't include indices where T_i doesn't contain m.
So, for element 4, C_4 = {4} since only T4 contains 4.
Similarly, for other elements.
Now, let's define the variables:
Let x1, x2, x3, x4, x5 correspond to T1, T2, T3, T4, T5 respectively.
Now, for each element, we need clauses.
Element 1: C_1 = {1,2,3} (since T1, T2, T3 contain 1)
- At least one: clause: x1 ∨ x2 ∨ x3
- Uniqueness: for each pair, we need ¬x_i ∨ ¬x_j for i ≠ j in {1,2,3}
So clauses: ¬x1 ∨ ¬x2, ¬x1 ∨ ¬x3, ¬x2 ∨ ¬x3
Element 2: C_2 = {3,4} (T3 and T4 contain 2)
- At least one: x3 ∨ x4
- Uniqueness: ¬x3 ∨ ¬x4
Element 3: C_3 = {2,3} (T2 and T3 contain 3)
- At least one: x2 ∨ x3
- Uniqueness: ¬x2 ∨ ¬x3
Element 4: C_4 = {4} (only T4 contains 4)
- At least one: x4 (so clause: x4)
- Uniqueness: no need for pairs since only one subset.
So, for element 4, we only need the clause x4.
Now, we have all clauses.
The SAT formula is the conjunction of all these clauses.
So, let's list them:
From element 1:
- x1 ∨ x2 ∨ x3
- ¬x1 ∨ ¬x2
- ¬x1 ∨ ¬x3
- ¬x2 ∨ ¬x3
From element 2:
- x3 ∨ x4
- ¬x3 ∨ ¬x4
From element 3:
- x2 ∨ x3
- ¬x2 ∨ ¬x3
From element 4:
- x4
Now, notice that for element 3, we have x2 ∨ x3 and ¬x2 ∨ ¬x3, which together mean that exactly one of x2 or x3 is true.
Similarly, for element 2, we have x3 ∨ x4 and ¬x3 ∨ ¬x4, so exactly one of x3 or x4 is true.
But from element 4, we have x4 must be true? Clause x4 means x4 must be true.
From element 4: clause x4, so x4 must be true.
Then from element 2: x3 ∨ x4 is satisfied since x4 true, but ¬x3 ∨ ¬x4 means that if x4 is true, then x3 must be false. So x3 must be false.
From element 3: x2 ∨ x3, since x3 false, x2 must be true. And ¬x2 ∨ ¬x3 is satisfied since x3 false.
Now from element 1: x1 ∨ x2 ∨ x3, since x2 true, it's satisfied. But we have uniqueness clauses: ¬x1 ∨ ¬x2, which since x2 true, x1 must be false. Similarly, ¬x1 ∨ ¬x3 is satisfied since x3 false, and ¬x2 ∨ ¬x3 is satisfied.
So, we have x4 true, x3 false, x2 true, and x1 must be false.
Now, what about x5? x5 is not constrained by any of these clauses because it never appears. So x5 can be true or false; it doesn't matter.
But in the exact cover, if we select T2 and T4? T2 is {1,3}, T4 is {2,4}. But element 1 is covered by T2, element 2 by T4, element 3 by T2, element 4 by T4. But element 1 is covered only by T2? But T2 contains 1 and 3, so it covers 1 and 3. Similarly, T4 covers 2 and 4. So both elements 1 and 3 are covered by T2, and elements 2 and 4 by T4. But is this an exact cover? Each element is covered exactly once? Element 1 is covered only by T2, element 2 only by T4, element 3 only by T2, element 4 only by T4. So yes, it is covered exactly once. But what about T1 and T3? We have x1 false and x3 false, so not selected. T5 is empty, so if selected, it doesn't cover anything, but since we don't care, we can set x5 to false or true, but in the cover, we might not include it.
In the SAT solution, x5 is free, but for exact cover, we only care about the sets that are selected, and since T5 is empty, including it or not doesn't change the cover, but technically, if we include T5, it's still a cover because it doesn't cover any element, so the elements are still covered exactly by the other sets. But in standard definition, exact cover usually requires that the sets in S are disjoint and cover M, and empty sets might be excluded, but if included, it doesn't harm, but it's redundant. However, in this reduction, since x5 is not constrained, it can be true, meaning we select T5, but that would mean we have an extra set that doesn't cover anything, but the formula might still be satisfied as long as the coverage constraints are met. But in exact cover, the output is whether there exists a set S that is an exact cover, and if we include T5, it's still an exact cover because the elements are covered exactly once, and T5 doesn't cover anything, so it's fine. But typically, we might avoid empty sets, but for the reduction, it should work.
In this case, with x2 true and x4 true, we have a cover.
But let's verify the instance: M={1,2,3,4}, T1={1}, T2={1,3}, T3={1,2,3}, T4={2,4}, T5=∅
If we take S={T2, T4}, then T2 covers 1 and 3, T4 covers 2 and 4, so all covered exactly once. Yes.
If we take S={T2, T4, T5}, it's still exact cover.
So the SAT formula is satisfiable with x2=true, x4=true, x1=false, x3=false, and x5 arbitrary.
Now, for the reduction, I need to apply it to the given instance.
So, the SAT instance should be the conjunction of the clauses I listed.
But SAT usually expects a formula in CNF, which it is.
So, for the answer, I need to provide the SAT formula.
Now, for the output format, I need to say that the statement holds and provide the reduction.
So, first, options: I think the statement holds, so option id=1 should be 1, and id=2 should be 0.
Then, in the answer, I need to provide the reduction function and apply it.
The reduction function: Given an instance of EXAKTE-ÜBERDECKUNG with M and T, we create a CNF formula as follows:
- For each subset T_i, we have a variable x_i.
- For each element m in M, let C_m be the set of indices i such that m ∈ T_i.
- Then, for each m, we add a clause: ∨_{i in C_m} x_i
- And for each pair i,j in C_m with i < j, we add a clause: ¬x_i ∨ ¬x_j
Then, the formula is the conjunction of all these clauses.
Now, apply to the given instance.
M = {1,2,3,4}
T = {T1, T2, T3, T4, T5} with T1={1}, T2={1,3}, T3={1,2,3}, T4={2,4}, T5=∅
Variables: x1, x2, x3, x4, x5
For each element:
Element 1: C_1 = {1,2,3} so clauses:
- x1 ∨ x2 ∨ x3
- ¬x1 ∨ ¬x2
- ¬x1 ∨ ¬x3
- ¬x2 ∨ ¬x3
Element 2: C_2 = {3,4} so clauses:
- x3 ∨ x4
- ¬x3 ∨ ¬x4
Element 3: C_3 = {2,3} so clauses:
- x2 ∨ x3
- ¬x2 ∨ ¬x3
Element 4: C_4 = {4} so clauses:
- x4
No pairs for element 4.
Now, the full formula is:
(x1 ∨ x2 ∨ x3) ∧ (¬x1 ∨ ¬x2) ∧ (¬x1 ∨ ¬x3) ∧ (¬x2 ∨ ¬x3) ∧ (x3 ∨ x4) ∧ (¬x3 ∨ ¬x4) ∧ (x2 ∨ x3) ∧ (¬x2 ∨ ¬x3) ∧ (x4)
But note that some clauses are redundant? For example, we have both (x2 ∨ x3) and (¬x2 ∨ ¬x3) from element 3, and similarly from others, but it's fine.
In the application, we can write the formula.
For the answer, I need to provide this formula.
Also, since the question asks to apply the reduction, I should output the SAT instance.
Now, for the format, I need to put it in the answer tag.
So, for option, I set option id=1 to 1 and id=2 to 0.
Then in answer, I describe the reduction and apply it.
I think that's it.
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Die Aussage gilt.
Reduktionsfunktion: Gegeben eine Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG mit Menge \( M = \{m_1, \dotsc, m_k\} \) und Teilmengen \( T = \{T_1, \dotsc, T_n\} \), wird eine CNF-Formel für SAT wie folgt konstruiert:
- Für jede Teilmenge \( T_i \) wird eine boolesche Variable \( x_i \) eingeführt, die wahr ist, wenn \( T_i \) in der exakten Überdeckung enthalten ist.
- Für jedes Element \( m \in M \):
- Sei \( C_m = \{ i \mid m \in T_i \} \) die Menge der Indizes von Teilmengen, die \( m \) enthalten.
- Füge eine Klausel hinzu: \( \bigvee_{i \in C_m} x_i \) (stellt sicher, dass \( m \) mindestens einmal covered wird).
- Für jedes Paar \( i, j \in C_m \) mit \( i < j \), füge eine Klausel hinzu: \( \neg x_i \lor \neg x_j \) (stellt sicher, dass \( m \) höchstens einmal covered wird).
Die SAT-Formel ist die Konjunktion aller dieser Klauseln.
Angewendet auf die gegebene Instanz:
- \( M = \{1, 2, 3, 4\} \)
- \( T = \{T_1, T_2, T_3, T_4, T_5\} \) mit \( T_1 = \{1\} \), \( T_2 = \{1,3\} \), \( T_3 = \{1,2,3\} \), \( T_4 = \{2,4\} \), \( T_5 = \emptyset \)
- Variablen: \( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \) für \( T_1, T_2, T_3, T_4, T_5 \)
Klauseln für jedes Element:
- Element 1: \( C_1 = \{1,2,3\} \) → Klauseln: \( x_1 \lor x_2 \lor x_3 \), \( \neg x_1 \lor \neg x_2 \), \( \neg x_1 \lor \neg x_3 \), \( \neg x_2 \lor \neg x_3 \)
- Element 2: \( C_2 = \{3,4\} \) → Klauseln: \( x_3 \lor x_4 \), \( \neg x_3 \lor \neg x_4 \)
- Element 3: \( C_3 = \{2,3\} \) → Klauseln: \( x_2 \lor x_3 \), \( \neg x_2 \lor \neg x_3 \)
- Element 4: \( C_4 = \{4\} \) → Klausel: \( x_4 \)
Die vollständige SAT-Formel ist:
\[
(x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor \neg x_2) \land (\neg x_1 \lor \neg x_3) \land (\neg x_2 \lor \neg x_3) \land (x_3 \lor x_4) \land (\neg x_3 \lor \neg x_4) \land (x_2 \lor x_3) \land (\neg x_2 \lor \neg x_3) \land (x_4)
\]
Skizze der Korrektheit: Die Formel ist genau dann erfüllbar, wenn es eine Auswahl von Teilmengen gibt, die jedes Element genau einmal covered. Die Klauseln garantieren, dass für jedes Element mindestens eine und höchstens eine Teilmenge, die es enthält, ausgewählt ist.
</answer>
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem: Eingabe: Eine endliche Menge und eine Menge von Teilmengen von . Ausgabe: Enthält eine exakte Überdeckung von , d.h. gibt es eine Menge , sodass jedes Element von in genau einer der Teilmengen in vorkommt? Aussage: EXAKTE-ÜBERDECKUNG SAT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an. wobei , , , , .
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Die Aussage gilt. Reduktionsfunktion: Gegeben eine Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG mit Menge und Teilmengen , wird eine CNF-Formel für SAT wie folgt konstruiert: - Für jede Teilmenge wird eine boolesche Variable eingeführt, die wahr ist, wenn in der exakten Überdeckung enthalten ist. - Für jedes Element : - Sei die Menge der Indizes von Teilmengen, die enthalten. - Füge eine Klausel hinzu: (stellt sicher, dass mindestens einmal covered wird). - Für jedes Paar mit , füge eine Klausel hinzu: (stellt sicher, dass höchstens einmal covered wird). Die SAT-Formel ist die Konjunktion aller dieser Klauseln. Angewendet auf die gegebene Instanz: - - mit , , , , - Variablen: für Klauseln für jedes Element: - Element 1: → Klauseln: , , , - Element 2: → Klauseln: , - Element 3: → Klauseln: , - Element 4: → Klausel: Die vollständige SAT-Formel ist: Skizze der Korrektheit: Die Formel ist genau dann erfüllbar, wenn es eine Auswahl von Teilmengen gibt, die jedes Element genau einmal covered. Die Klauseln garantieren, dass für jedes Element mindestens eine und höchstens eine Teilmenge, die es enthält, ausgewählt ist.
deepseek/deepseek-r1-0528
Exercise 7: Reduktion
Nehmen Sie an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „“ für Entscheidungsprobleme . Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben und (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
Subproblem a (4.0/4.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Wir sind gegeben:
- HAMILTON-PFAD: Entscheidet, ob ein ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat.
- HAMILTON-KREIS: Entscheidet, ob ein ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
- Aussage: HAMILTON-PFAD ≤p HAMILTON-KREIS
Wir müssen entscheiden, ob diese Aussage unter der Annahme P ≠ NP gilt.
Zuerst: Beide Probleme sind NP-vollständig. Aber wir müssen eine Reduktion von HAMILTON-PFAD auf HAMILTON-KREIS finden.
Idee: Um zu entscheiden, ob ein Graph G einen Hamilton-Pfad hat, können wir einen neuen Graphen G' konstruieren, so dass G' genau dann einen Hamilton-Kreis hat, wenn G einen Hamilton-Pfad hat.
Ein bekannter Ansatz: Füge einen neuen Knoten hinzu, der mit allen Knoten in G verbunden ist. Aber dann hat der neue Graph einen Hamilton-Kreis nur, wenn G bereits einen Hamilton-Pfad hat, denn der Kreis muss durch den neuen Knoten und dann durch den Pfad in G gehen.
Genauer:
- Sei G=(V,E) eine Instanz von HAMILTON-PFAD.
- Konstruiere einen neuen Graphen G'=(V∪{s}, E∪{{s,v} | v∈V}), wobei s ein neuer Knoten ist, der zu allen Knoten in G verbunden ist.
Behauptung: G hat einen Hamilton-Pfad genau dann, wenn G' einen Hamilton-Kreis hat.
Beweisskizze:
(⇒) Wenn G einen Hamilton-Pfad v1,v2,...,vn hat, dann ist in G' der Kreis s, v1, v2, ..., vn, s ein Hamilton-Kreis, weil s mit v1 und vn verbunden ist (da s mit allen verbunden ist).
(⇐) Wenn G' einen Hamilton-Kreis hat, dann muss dieser Kreis den Knoten s enthalten. Da s mit allen Knoten verbunden ist, können die beiden Nachbarn von s im Kreis beliebige Knoten u und w aus V sein. Dann ist der Pfad von u nach w ohne s ein Hamilton-Pfad in G. Genauer: Der Kreis hat die Form s, u, ..., w, s. Dann ist u, ..., w ein Hamilton-Pfad in G, weil alle Knoten von V durchlaufen werden und die Kanten in E sind.
Also ist die Reduktion korrekt.
Jetzt: Die Aussage gilt (weil wir eine Reduktion gefunden haben).
Daher wählen wir für die Option: Die Aussage gilt → <option id="1">1</option> und <option id="2">0</option>.
Nun müssen wir die Reduktion auf die gegebene Instanz anwenden.
Instanz von HAMILTON-PFAD:
- Knoten: A, B, C, D, E
- Kanten: A-B, A-C, B-C, C-D, C-E, D-E.
Wir konstruieren G' für HAMILTON-KREIS:
- Füge einen neuen Knoten s hinzu.
- Verbinde s mit allen vorhandenen Knoten: also s mit A, s mit B, s mit C, s mit D, s mit E.
Also wird G' Knoten: A,B,C,D,E,s
Kanten des ursprünglichen Graphen plus: s-A, s-B, s-C, s-D, s-E.
Jetzt im <answer>-Teil müssen wir das angeben.
Die Reduktion: Funktion f, die G abbildet auf G' wie beschrieben.
Anwendung auf die Instanz:
- Eingabe: G mit V={A,B,C,D,E}, E={ {A,B}, {A,C}, {B,C}, {C,D}, {C,E}, {D,E} }
- Ausgabe: G' mit V' = {A,B,C,D,E,s},
E' = E ∪ { {s,A}, {s,B}, {s,C}, {s,D}, {s,E} }
Jetzt können wir das im <answer> notieren.
Beachte: Wir müssen keinen Beweis der Korrektheit im Detail liefern, nur skizzieren, was wir oben haben.
Also im <answer> werden wir die Reduktion definieren und dann auf die Instanz anwenden.
Format:
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Wir definieren die Reduktionsfunktion f wie folgt: Für einen gegebenen ungerichteten Graphen G = (V, E) konstruieren wir einen neuen Graphen f(G) = G' = (V', E'), wobei:
- V' = V ∪ \{s\} mit einem neuen Knoten s (der nicht in V ist),
- E' = E ∪ \{ \{s, v\} \mid v \in V \}.
Diese Reduktion ist polynomiell, da nur ein Knoten hinzugefügt wird und |V| Kanten hinzugefügt werden.
Korrektheitskizze:
- Wenn G einen Hamilton-Pfad \(v_1, v_2, \dots, v_n\) hat, dann ist \(s, v_1, v_2, \dots, v_n, s\) ein Hamilton-Kreis in G', weil s mit v1 und vn verbunden ist.
- Wenn G' einen Hamilton-Kreis hat, dann muss dieser s enthalten, und die beiden Nachbarn von s seien u und w. Dann ist der Teil des Kreises zwischen u und w ohne s ein Hamilton-Pfad in G.
Anwendung auf die gegebene Instanz:
- Eingabe: G mit Knotenmenge V = \{A, B, C, D, E\} und Kantenmenge E = \{ \{A,B\}, \{A,C\}, \{B,C\}, \{C,D\}, \{C,E\}, \{D,E\} \}.
- Ausgabe: G' mit Knotenmenge V' = \{A, B, C, D, E, s\} und Kantenmenge E' = E ∪ \{ \{s,A\}, \{s,B\}, \{s,C\}, \{s,D\}, \{s,E\} \}.
Also explizit die Kanten von E':
- Originalkanten: A-B, A-C, B-C, C-D, C-E, D-E.
- Zusätzliche Kanten: s-A, s-B, s-C, s-D, s-E.
Dies ist die Instanz für HAMILTON-KREIS.
</answer>
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Die Reduktionsfunktion \(f\) wird wie folgt definiert:
Gegeben einen ungerichteten Graphen \(G = (V, E)\) als Instanz von HAMILTON-PFAD, konstruieren wir einen neuen Graphen \(f(G) = G' = (V', E')\), wobei:
- \(V' = V \cup \{s\}\) mit einem neuen Knoten \(s \notin V\),
- \(E' = E \cup \{\{s, v\} \mid v \in V\}\).
Diese Reduktion ist polynomiell, da nur ein zusätzlicher Knoten und \(n = |V|\) Kanten hinzugefügt werden.
**Korrektheitsskizze:**
- **Ja-Instanzen:** Hat \(G\) einen Hamilton-Pfad \(v_1, v_2, \dots, v_n\), so bildet \(s, v_1, v_2, \dots, v_n, s\) einen Hamilton-Kreis in \(G'\), da \(s\) mit allen Knoten verbunden ist und somit direkt an \(v_1\) und \(v_n\) angeschlossen ist.
- **Nein-Instanzen:** Hat \(G'\) einen Hamilton-Kreis, muss dieser den Knoten \(s\) enthalten. Die beiden Nachbarn von \(s\) im Kreis sind Knoten \(u\) und \(w\) aus \(V\). Der Pfad zwischen \(u\) und \(w\) in diesem Kreis (ohne \(s\)) ist ein Hamilton-Pfad in \(G\), da alle Knoten aus \(V\) durchlaufen werden und die Kanten in \(E\) liegen.
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
- Eingabe (HAMILTON-PFAD):
- Knoten: \(V = \{A, B, C, D, E\}\)
- Kanten: \(E = \{\{A,B\}, \{A,C\}, \{B,C\}, \{C,D\}, \{C,E\}, \{D,E\}\}\)
- Ausgabe (HAMILTON-KREIS):
- Knoten: \(V' = \{A, B, C, D, E, s\}\)
- Kanten: \(E' = E \cup \{\{s,A\}, \{s,B\}, \{s,C\}, \{s,D\}, \{s,E\}\}\)
Explizit:
- Ursprüngliche Kanten: \(\{A,B\}, \{A,C\}, \{B,C\}, \{C,D\}, \{C,E\}, \{D,E\}\)
- Hinzugefügte Kanten: \(\{s,A\}, \{s,B\}, \{s,C\}, \{s,D\}, \{s,E\}\)
</answer>
Sei ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von ist eine Permutation der Knoten von mit für jedes . Ein Hamilton-Kreis von ist ein Hamilton-Pfad von , der zusätzlich erfüllt. Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat. Aussage: HAMILTON-PFAD HAMILTON-KREIS Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an. Knoten: A, B, C, D, E Kanten: A -- B A -- C B -- C C -- D C -- E D -- E
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Die Reduktionsfunktion wird wie folgt definiert: Gegeben einen ungerichteten Graphen als Instanz von HAMILTON-PFAD, konstruieren wir einen neuen Graphen , wobei: - mit einem neuen Knoten , - . Diese Reduktion ist polynomiell, da nur ein zusätzlicher Knoten und Kanten hinzugefügt werden. Korrektheitsskizze: - Ja-Instanzen: Hat einen Hamilton-Pfad , so bildet einen Hamilton-Kreis in , da mit allen Knoten verbunden ist und somit direkt an und angeschlossen ist. - Nein-Instanzen: Hat einen Hamilton-Kreis, muss dieser den Knoten enthalten. Die beiden Nachbarn von im Kreis sind Knoten und aus . Der Pfad zwischen und in diesem Kreis (ohne ) ist ein Hamilton-Pfad in , da alle Knoten aus durchlaufen werden und die Kanten in liegen. Anwendung auf die gegebene Instanz: - Eingabe (HAMILTON-PFAD): - Knoten: - Kanten: - Ausgabe (HAMILTON-KREIS): - Knoten: - Kanten: Explizit: - Ursprüngliche Kanten: - Hinzugefügte Kanten:
Subproblem b (3.0/3.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Die Reduktionsfunktion \(f\) wird wie folgt definiert:
Gegeben einen ungerichteten Graphen \(G = (V, E)\) als Instanz von HAMILTON-PFAD, konstruieren wir einen neuen Graphen \(f(G) = G' = (V', E')\), wobei:
- \(V' = V \cup \{s\}\) mit einem neuen Knoten \(s \notin V\),
- \(E' = E \cup \{\{s, v\} \mid v \in V\}\).
Diese Reduktion ist polynomiell, da nur ein zusätzlicher Knoten und \(n = |V|\) Kanten hinzugefügt werden.
**Korrektheitsskizze:**
- **Ja-Instanzen:** Hat \(G\) einen Hamilton-Pfad \(v_1, v_2, \dots, v_n\), so bildet \(s, v_1, v_2, \dots, v_n, s\) einen Hamilton-Kreis in \(G'\), da \(s\) mit allen Knoten verbunden ist und somit direkt an \(v_1\) und \(v_n\) angeschlossen ist.
- **Nein-Instanzen:** Hat \(G'\) einen Hamilton-Kreis, muss dieser den Knoten \(s\) enthalten. Die beiden Nachbarn von \(s\) im Kreis sind Knoten \(u\) und \(w\) aus \(V\). Der Pfad zwischen \(u\) und \(w\) in diesem Kreis (ohne \(s\)) ist ein Hamilton-Pfad in \(G\), da alle Knoten aus \(V\) durchlaufen werden und die Kanten in \(E\) liegen.
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
- Eingabe (HAMILTON-PFAD):
- Knoten: \(V = \{A, B, C, D, E\}\)
- Kanten: \(E = \{\{A,B\}, \{A,C\}, \{B,C\}, \{C,D\}, \{C,E\}, \{D,E\}\}\)
- Ausgabe (HAMILTON-KREIS):
- Knoten: \(V' = \{A, B, C, D, E, s\}\)
- Kanten: \(E' = E \cup \{\{s,A\}, \{s,B\}, \{s,C\}, \{s,D\}, \{s,E\}\}\)
Explizit:
- Ursprüngliche Kanten: \(\{A,B\}, \{A,C\}, \{B,C\}, \{C,D\}, \{C,E\}, \{D,E\}\)
- Hinzugefügte Kanten: \(\{s,A\}, \{s,B\}, \{s,C\}, \{s,D\}, \{s,E\}\)
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Wir nehmen P ≠ NP an. Die Aussage behauptet, dass 3KNF-SAT auf CFG-LEERHEIT reduziert werden kann. Zunächst ist 3KNF-SAT NP-vollständig. CFG-LEERHEIT ist entscheidbar und liegt in P, da wir in polynomieller Zeit prüfen können, ob eine kontextfreie Grammatik mindestens ein Wort erzeugt (durch Entfernen von nicht-erreichbaren und nicht-produktiven Symbolen). Also ist das Komplement, CFG-LEERHEIT, auch in P. Da 3KNF-SAT NP-vollständig ist und CFG-LEERHEIT in P liegt (wenn P ≠ NP), kann 3KNF-SAT nur dann auf CFG-LEERHEIT reduziert werden, wenn 3KNF-SAT in P läge. Aber nach Annahme ist P ≠ NP, also ist 3KNF-SAT nicht in P. Daher gibt es keine solche Reduktion, es sei denn, P = NP. Also sollte die Aussage nicht gelten. Allerdings: Wenn wir 3KNF-SAT auf CFG-LEERHEIT reduzieren, und CFG-LEERHEIT in P ist, dann würde das bedeuten, dass 3KNF-SAT in P liegt, was aber aufgrund von P ≠ NP nicht der Fall ist. Daher kann die Reduktion nicht existieren. Also: Die Aussage gilt nicht. Jetzt müssten wir das beweisen. Beweis: Angenommen, 3KNF-SAT ≤p CFG-LEERHEIT. Da CFG-LEERHEIT in P liegt (wie oben erwähnt), folgt, dass 3KNF-SAT in P liegt. Aber 3KNF-SAT ist NP-vollständig, und nach Annahme P ≠ NP, so dass 3KNF-SAT nicht in P liegt. Widerspruch. Daher kann die Reduktion nicht existieren. Also: Die Aussage gilt nicht. Keine Reduktion benötigt. In der Aufgabe steht: "Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen." Also müssen wir das so schreiben. Für die Instanz muss nichts gemacht werden, da die Aussage nicht gilt. Also: <option id="1">0</option> (weil die Aussage nicht gilt) <option id="2">1</option> (für "gilt nicht", aber Vorsicht: Die Optionen sind "Die Aussage gilt" und "Die Aussage gilt nicht". Wenn wir "gilt nicht" wählen, dann option id="2" auf 1 setzen. Schauen wir auf die Optionen: <option id="1">Die Aussage gilt</option> <option id="2">Die Aussage gilt nicht</option> Wir setzen also <option id="2">1</option> und <option id="1">0</option>. Im Antwortformat müssen wir nur die Optionen und dann eine Beweisskizze im answer-Teil geben. Also:
Answer
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Die Aussage gilt nicht.
**Beweis:**
Angenommen, \(3\text{KNF-SAT} \leq_p \text{CFG-LEERHEIT}\).
- \(\text{CFG-LEERHEIT} \in \P\), da in Polynomzeit entscheidbar ist, ob \(L(G) = \emptyset\) durch Entfernen unerreichbarer/ohne Terminierbarkeit nicht-produktiver Symbole.
- Unter \(\P \neq \NP\) folgt \(3\text{KNF-SAT} \in \P\), da die Reduktion und \(\text{CFG-LEERHEIT} \in \P\) eine Polynomzeitalgorithmus für \(3\text{KNF-SAT}\) implizieren.
- Aber \(3\text{KNF-SAT}\) ist \(\NP\)-vollständig, sodass \(3\text{KNF-SAT} \in \P\) \(\NP \subseteq \P\) und somit \(\P = \NP\) impliziert, im Widerspruch zur Annahme \(\P \neq \NP\).
Folglich existiert keine polynomielle Reduktion von \(3\text{KNF-SAT}\) auf \(\text{CFG-LEERHEIT}\).
</answer>
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik kein Wort erzeugt, also ob gilt. Aussage: 3KNF-SAT CFG-LEERHEIT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
☐Die Aussage gilt☒Die Aussage gilt nicht
Die Aussage gilt nicht. Beweis: Angenommen, . - , da in Polynomzeit entscheidbar ist, ob durch Entfernen unerreichbarer/ohne Terminierbarkeit nicht-produktiver Symbole. - Unter folgt , da die Reduktion und eine Polynomzeitalgorithmus für implizieren. - Aber ist -vollständig, sodass und somit impliziert, im Widerspruch zur Annahme . Folglich existiert keine polynomielle Reduktion von auf .
Subproblem c (7.0/7.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Die Reduktionsfunktion \(f\) wird wie folgt definiert:
Gegeben einen ungerichteten Graphen \(G = (V, E)\) als Instanz von HAMILTON-PFAD, konstruieren wir einen neuen Graphen \(f(G) = G' = (V', E')\), wobei:
- \(V' = V \cup \{s\}\) mit einem neuen Knoten \(s \notin V\),
- \(E' = E \cup \{\{s, v\} \mid v \in V\}\).
Diese Reduktion ist polynomiell, da nur ein zusätzlicher Knoten und \(n = |V|\) Kanten hinzugefügt werden.
**Korrektheitsskizze:**
- **Ja-Instanzen:** Hat \(G\) einen Hamilton-Pfad \(v_1, v_2, \dots, v_n\), so bildet \(s, v_1, v_2, \dots, v_n, s\) einen Hamilton-Kreis in \(G'\), da \(s\) mit allen Knoten verbunden ist und somit direkt an \(v_1\) und \(v_n\) angeschlossen ist.
- **Nein-Instanzen:** Hat \(G'\) einen Hamilton-Kreis, muss dieser den Knoten \(s\) enthalten. Die beiden Nachbarn von \(s\) im Kreis sind Knoten \(u\) und \(w\) aus \(V\). Der Pfad zwischen \(u\) und \(w\) in diesem Kreis (ohne \(s\)) ist ein Hamilton-Pfad in \(G\), da alle Knoten aus \(V\) durchlaufen werden und die Kanten in \(E\) liegen.
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
- Eingabe (HAMILTON-PFAD):
- Knoten: \(V = \{A, B, C, D, E\}\)
- Kanten: \(E = \{\{A,B\}, \{A,C\}, \{B,C\}, \{C,D\}, \{C,E\}, \{D,E\}\}\)
- Ausgabe (HAMILTON-KREIS):
- Knoten: \(V' = \{A, B, C, D, E, s\}\)
- Kanten: \(E' = E \cup \{\{s,A\}, \{s,B\}, \{s,C\}, \{s,D\}, \{s,E\}\}\)
Explizit:
- Ursprüngliche Kanten: \(\{A,B\}, \{A,C\}, \{B,C\}, \{C,D\}, \{C,E\}, \{D,E\}\)
- Hinzugefügte Kanten: \(\{s,A\}, \{s,B\}, \{s,C\}, \{s,D\}, \{s,E\}\)
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Die Aussage gilt nicht.
**Beweis:**
Angenommen, \(3\text{KNF-SAT} \leq_p \text{CFG-LEERHEIT}\).
- \(\text{CFG-LEERHEIT} \in \P\), da in Polynomzeit entscheidbar ist, ob \(L(G) = \emptyset\) durch Entfernen unerreichbarer/ohne Terminierbarkeit nicht-produktiver Symbole.
- Unter \(\P \neq \NP\) folgt \(3\text{KNF-SAT} \in \P\), da die Reduktion und \(\text{CFG-LEERHEIT} \in \P\) eine Polynomzeitalgorithmus für \(3\text{KNF-SAT}\) implizieren.
- Aber \(3\text{KNF-SAT}\) ist \(\NP\)-vollständig, sodass \(3\text{KNF-SAT} \in \P\) \(\NP \subseteq \P\) und somit \(\P = \NP\) impliziert, im Widerspruch zur Annahme \(\P \neq \NP\).
Folglich existiert keine polynomielle Reduktion von \(3\text{KNF-SAT}\) auf \(\text{CFG-LEERHEIT}\).
\endanswer>
user:
## subproblem c (7.0 points)
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem:
Eingabe: Eine endliche Menge $M=\{m_1, ..., m_k\}$ und eine Menge $T=\{T_1, ..., T_n\}$ von Teilmengen von $M$.
Ausgabe: Enthält $T$ eine *exakte Überdeckung* von $M$, d.h. gibt es eine Menge $S \subseteq T$, sodass jedes Element von $M$ in **genau** einer der Teilmengen in $S$ vorkommt?
**Aussage:** EXAKTE-ÜBERDECKUNG $\leq_p$ SAT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an.
$M\coloneqq\{1,2,3,4\}$
$T\coloneqq\{T_1,T_2,T_3,T_4,T_5\}$
wobei
$T_1\coloneqq\{1\}$,
$T_2\coloneqq\{1,3\}$,
$T_3\coloneqq\{1,2,3\}$,
$T_4\coloneqq\{2,4\}$,
$T_5\coloneqq\emptyset$.
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Wir betrachten die Aussage: EXAKTE-ÜBERDECKUNG ≤p SAT.
Zuerst: EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist ein bekanntes NP-vollständiges Problem (ähnlich zum Exact Cover Problem). SAT ist ebenfalls NP-vollständig. Aber die Reduktion soll von EXAKTE-ÜBERDECKUNG zu SAT gehen. Da beide NP-vollständig sind, gibt es eine Reduktion. Also sollte die Aussage gelten.
Wir müssen eine Reduktionsfunktion angeben, die eine Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG in eine Instanz von SAT überführt.
Gegeben:
- Eine endliche Menge M = {m1, ..., mk}
- Eine Kollektion T = {T1, ..., Tn} von Teilmengen von M.
Gesucht: Gibt es eine Teilmenge S ⊆ T, die eine exakte Überdeckung von M ist, d.h. jedes Element von M ist in genau einer Menge in S enthalten.
Wir modellieren dies mit einer booleschen Formel.
Idee:
- Einführung von Variablen: Für jede Teilmenge T_i führen wir eine boolesche Variable x_i ein, die bedeutet: "T_i ist in der Überdeckung S enthalten".
Die Formel muss drei Bedingungen ausdrücken:
1. Jedes Element von M muss in mindestens einer Menge in S enthalten sein. (Überdeckung)
2. Jedes Element von M darf in höchstens einer Menge in S enthalten sein. (Eindeutigkeit)
Die zweite Bedingung kann auch ausgedrückt werden als: Für jedes Element m in M und für jedes Paar von Teilmengen T_i, T_j, die m enthalten, mit i≠j, darf nicht beide x_i und x_j wahr sein.
Formaler:
- Für jedes Element m ∈ M:
- Sei I_m = { i | m ∈ T_i } die Menge der Indizes der Teilmengen, die m enthalten.
- Bedingung 1: Die Disjunktion über i ∈ I_m von x_i. (d.h. ∨_{i ∈ I_m} x_i)
- Bedingung 2: Für jedes Paar i,j ∈ I_m mit i≠j, die Implikation ¬(x_i ∧ x_j), was äquivalent ist zu (¬x_i ∨ ¬x_j).
Statt für alle Paare, können wir eine Formel der Art: für jedes m, und für jede Teilmenge von zwei Teilmengen, die m enthalten, aber effizienter ist, wenn wir für jedes m und jedes Paar i<j in I_m die Klausel (¬x_i ∨ ¬x_j) nehmen.
Alternativ können wir die "höchstens eine" Bedingung in CNF so schreiben: Für jedes m, und jedes Paar i≠j in I_m, die Klausel (¬x_i ∨ ¬x_j). Allerdings kann |I_m| groß sein, aber die Anzahl der solchen Klauseln ist polynomiell in der Eingabe.
Wir können die Formel in CNF bringen, da SAT für beliebige Formeln entschieden werden kann, aber typischerweise wird SAT als in KNF gegeben betrachtet. In der Aussage steht nur SAT, also ist es egal. Aber wir müssen es explizit in eine Formel umwandeln.
Alternativ können wir die Formel so konstruieren, dass sie in KNF ist.
Insgesamt haben wir die Formel:
φ = ( ∧_{m ∈ M} [ (∨_{i ∈ I_m} x_i) ] ) ∧ ( ∧_{m ∈ M} ∧_{i,j ∈ I_m, i<j} (¬x_i ∨ ¬x_j) )
Beachte: Die zweite Konjunktion ist über alle Paare (i,j) mit i<j in I_m. Wir nehmen i<j um Duplikate zu vermeiden.
Nun ist die Formel bereits in CNF:
- Jeder Teil der ersten Konjunktion, ∨_{i ∈ I_m} x_i, ist eine Klausel.
- Jeder Teil (¬x_i ∨ ¬x_j) ist auch eine Klausel.
Die gesamte Formel ist eine Konjunktion solcher Klauseln, also eine KNF-Formel.
Wir haben also eine Formel in KNF, die genau dann erfüllbar ist, wenn es eine exakte Überdeckung gibt.
Der Reduktionsalgorithmus:
- Eingabe: M und T (dabei könnte T auch leere Mengen enthalten oder Elemente, die nicht benötigt werden, aber in der Definition ist T eine Menge von Teilmengen von M; die leere Menge ist erlaubt).
- Für jedes Element m in M:
- Sei I_m die Menge der Indizes i, so dass m ∈ T_i.
- Erzeuge die Formel φ = C1 ∧ C2, wobei:
- C1 = { K1_m | m ∈ M } wobei K1_m = ( ∨_{i ∈ I_m} x_i )
- C2 = { K2_{m,i,j} | m ∈ M, i,j ∈ I_m, i<j } wobei K2_{m,i,j} = (¬x_i ∨ ¬x_j)
Aber beachte: Die Klausel (∨_{i ∈ I_m} x_i) für ein m muss sicherstellen, dass mindestens eine Menge, die m enthält, ausgewählt wird.
Und die Klauseln (¬x_i ∨ ¬x_j) für i<j in I_m verhindern, dass zwei Mengen, die m enthalten, ausgewählt werden.
Was passiert, wenn ein Element m von keiner Teilmenge in T abgedeckt wird? Dann ist I_m leer. In diesem Fall ist die Klausel ∨_{i ∈ I_m} x_i leer und nicht wahr. Also ist die Formel unerfüllbar. Das ist korrekt, denn es gibt keine Überdeckung. Wenn m in keinem T_i ist, dann kann es nicht abgedeckt werden.
Andererseits: Die Klausel (¬x_i ∨ ¬x_j) für ein Element m, das nur in einer Teilmenge vorkommt, d.h. |I_m| <= 1. Dann gibt es keine Paare i<j in I_m, also keine solche Klausel. Das ist in Ordnung.
Falls |I_m|=1, gibt es nur eine Teilmenge, so dass die Klausel für "mindestens eins" die eine Variable und die "höchstens eins" keine Klausel hat.
Falls |I_m|=0, dann die "mindestens eins" Klausel ist leer (falsch), also unerfüllbar.
Für die Anwendbarkeit der Reduktion müssen wir auch nicht-leere I_m überprüfen, aber die Formel ist auf jeden Fall korrekt.
Wir führen eine Variable für jede Teilmenge in T. Beachte, dass T_5 = ∅ in der gegebenen Instanz ist. Aber da T_5 keine Elemente abdeckt, wird zu keinem Element die Variable x_5 in den Klauseln vorkommen (da I_m nur Teilmengen enthält, die m enthalten, und T_5 enthält keine m, also ist ∅ nicht member von T_i in I_m? Korrekt: Für jedes m ∈ M, m ∉ ∅, also ist für jedes m, i=5 ∉ I_m, also kommt x_5 in keiner der Klauseln vor. Dann wird es in der Formel nicht vorkommen. Daher ist die Wertbelegung zu x_5 irrelevant, aber wir können die Variable in der Formel weglassen, oder als frei belassen. In der Reduktion müssen alle Variablen definiert sein, aber wenn x_5 in keiner Klausel vorkommt, können wir es weglassen. Der Übersichtlichkeit halber können wir es auch weglassen.
In der Definition müssen wir Variablen für jede Teilmenge haben? Die Variable x_i ist für "T_i ist ausgewählt". Wenn T_i = ∅ und in keiner Klausel vorkommt, kann es nicht ausgewählt werden, was korrekt ist, da es zur Überdeckung nichts beiträgt. Aber wenn es ausgewählt wird, tut es nichts, jedoch wird es nicht verboten. Aber in der exakten Überdeckung ist es in Ordnung, wenn eine leere Menge ausgewählt wird? In der Definition: Jedes Element muss in genau einer Menge vorkommen. Eine leere Menge enthält keine Elemente, also hat das keine Auswirkung. Jedoch gibt es in der Regel eine Einschränkung, da die Menge leer ist und kein Element abdeckt. In der Definition: "jedes Element von M [soll] in genau einer der Teilmengen in S vorkommt". Die leere Menge enthält keine Elemente und überdeckt nichts. Wenn in S eine leere Menge enthalten ist, dann ändert das nichts an der Überdeckung. Daher wenn wir eine exakte Überdeckung haben, und wir eine leere Menge hinzufügen, ist sie nicht mehr exakt? Weil das gleiche Element muss in genau einer Menge ist bereits erfüllt, aber die leere Menge deckt ein Element mehrfach? Sie deckt überhaupt nichts. Um exakte Überdeckung zu sein, muss jedes Element in genau einer Menge sein. Aber die leere Menge enthält keine Elemente, und daher folgt: wenn S eine exakte Überdeckung ist, dann ist S genau die Mengen, die Elemente abdecken. Wenn wir zu S eine leere Menge hinzufügen, dann kann das nicht mehr exakt sein, da das Element nicht plötzlich doppelt vorkommt, weil die leere Menge keine Elemente hat. Aber die Elemente von M kommen ja in den Mengen in S vor, wobei S die Teilmengen enthält. Das Hinzufügen einer Teilmenge, die leer ist, führt nicht dazu, dass ein Element doppelt enthalten ist. Aber ein Element, das nicht in der leeren Menge vorkommt, ist nicht mehr oder weniger abgedeckt. Jedoch ist, wenn wir eine leere Menge hinzufügen, die Eigenschaft, dass jedes Element in genau einer Menge ist nach wie vor erfüllt? Ja, weil die leere Menge enthält keine Elemente, also hat jedes Element noch dieselbe Anzahl der Zugehörigkeit (nämlich diejenigen zur ursprünglichen Menge). Und das Abdecken ändert sich nicht. Daher sollte ein exakter Überdeckung einschließlich der leeren Menge erlaubt sein? Aber normalerweise wird in der Definition von "exact cover" die leere Menge ausgeschlossen, insbesondere wenn die Teilmengen nicht leer sein müssen?
In diesem Fall: In der gegebenen Instanz ist T_5 = ∅.
Laut Definition: "gibt es eine Menge S ⊆ T, sodass jedes Element von M in genau einer der Teilmengen in S vorkommt."
Wenn S die leere Menge enthält, dann enthält die leere Menge kein Element, so dass die Bedingung für ein Element wie 1 in M nicht durch die leere Menge beeinflusst wird: es ist in T1 oder nicht. Wenn T1 in S ist und auch T5, dann ist T5 in S, aber es enthält 1 nicht, so dass 1 noch in genau einer Menge (T1) ist? S enthält T1 und T5, dann T1 enthält {1}, und T5 enthält ∅. Element 1 ist in T1, das einen Platz in S hat. Es ist nicht in T5. Also ist es genau einmal in S. Also nicht öfter. Also wäre es erlaubt. Aber wir haben ein Problem: wenn man die leere Menge wählt, dann erfüllt es die Bedingung, aber die leere Menge ist nutzlos und wird nicht benötigt. In einer exakten Überdeckung kann man jede Teilmenge wählen oder nicht, und die leere Menge kann wahlfrei dabei sein.
Allerdings ist die Eigenschaft, dass die Überdeckung exakt ist, nicht verletzt, wenn wir leere Mengen hinzufügen. Das erhöht nur die Größe von S, aber wenn es um die Existenz geht: Ja, es ist eine exakte Überdeckung, wenn S ohne leere Mengen eine ist, dann ist S mit leeren Mengen auch eine.
Aber typischerweise verlangt "exact cover", dass alle Mengen nicht leer sind. Trotzdem sind in der Definition die Teilmengen in T selbst Teilmengen von M, und sie können leer sein. Wenn T die leere Menge enthält, dann ist S vielleicht {T5} nur. Aber wenn S = {T5} wählt, dann wird kein Element überdeckt (da T5 leer). M hat Elemente {1,2,3,4}, die nicht abgedeckt werden, also ist es keine Überdeckung.
Wenn S = {T1, T5} mit T1={1}, dann wird 1 abgedeckt, aber 2,3,4 nicht, also auch nicht vollständig.
In unserem Reduktion: für jedes Element m, I_m = { i | m in T_i }
Für m=1, T_i, die 1 enthalten: T1={1}, T2={1,3}, T3={1,2,3}; also I_1 = {1,2,3}. Für m=2: T3={1,2,3}, T4={2,4}; I_2={3,4}. Für m=3: T2={1,3}, T3={1,2,3}; I_3={2,3}. Für m=4: T4={2,4}; I_4={4}.
Die leere Menge T5: enthält kein m, also ist I_m für alle m nicht enthaltend 5. Daher wird die Variable x5 in keiner Klausel erscheinen.
Wenn wir die Formel aufbauen, gibt es also 5 mögliche Variablen? Wir haben T1, T2, T3, T4, T5.
Aber in der Formel für jedes m:
- m=1: I_1={1,2,3}; daher Klausel: x1 ∨ x2 ∨ x3
- m=1; auch die Paare: für i<j in {1,2,3}:
Klauseln: (¬x1 ∨ ¬x2) für (1,2), (¬x1 ∨ ¬x3) für (1,3), (¬x2 ∨ ¬x3) für (2,3)
- m=2: I_2={3,4}; Klausel: x3 ∨ x4
Paare: nur {(3,4)} -> (¬x3 ∨ ¬x4)
- m=3: I_3={2,3}; Klausel: x2 ∨ x3
Paare: nur (2,3) -> (¬x2 ∨ ¬x3)
- m=4: I_4={4}; Klausel: x4
Keine Paare.
Ferner ist x5 in keiner dieser Klauseln.
Nun die gesamte Formel:
Klauseln:
1. x1 ∨ x2 ∨ x3 (aus m=1)
2. ¬x1 ∨ ¬x2 (aus m=1, Paar (1,2))
3. ¬x1 ∨ ¬x3 (auf m=1, (1,3))
4. ¬x2 ∨ ¬x3 (auf m=1, (2,3))
5. x3 ∨ x4 (aus m=2)
6. ¬x3 ∨ ¬x4 (aus m=2, Paar (3,4))
7. x2 ∨ x3 (aus m=3)
8. ¬x2 ∨ ¬x3 (aus m=3, Paar (2,3)) [wird doppelt sein, aber gleiche Klausel wie (4)]
9. x4 (aus m=4)
Da x5 in keiner Klausel vorkommt, können wir sie weglassen, oder sie ist frei und ohne Bedingungen.
Nehmen wir an, dass wir nur die notwendigen Variablen x1 bis x4 haben.
Die doppelten Klauseln können wir weglassen, da sie äquivalent sind.
Die Klauseln:
1. x1 ∨ x2 ∨ x3
2. ¬x1 ∨ ¬x2
3. ¬x1 ∨ ¬x3
4. ¬x2 ∨ ¬x3 (Kann in der Konjunktion einmal auftauchen. Aus m=1 und aus m=3 haben wir jeweils solche Klauseln, aber wir schreiben sie nur einmal.)
5. x3 ∨ x4
6. ¬x3 ∨ ¬x4
7. x2 ∨ x3
8. x4
Betrachten wir die Klauseln:
- x4 (aus m=4) und
- x3 ∨ x4 (aus m=2) – redundante Klausel, weil durch x4 und x3∨x4 ist x4 notwendig, aber wir haben auch die Widersprüche:
- ¬x3 ∨ ¬x4 (aus m=2)
- x4 bedeutet ¬x4 ist falsch, also ¬x3 ∨ ¬x4 ist wahr genau dann wenn ¬x3 wahr ist.
Aber wir haben auch zurück zum Element m=2: x3 ∨ x4 muss wahr sein, aber mit x4, so dass es wahr ist.
Weiter analysieren:
Wir können alle Klauseln für die Instanz aufschreiben:
Nachdem wir Duplikate entfernen, haben wir:
- A: x1 ∨ x2 ∨ x3
- B: ¬x1 ∨ ¬x2
- C: ¬x1 ∨ ¬x3
- D: ¬x2 ∨ ¬x3 (Erscheint mindestens zweimal in der Konstruktion, aber nur einmal notiert)
- E: x3 ∨ x4
- F: ¬x3 ∨ ¬x4
- G: x2 ∨ x3
- H: x4
Jetzt ist die Formel A∧B∧C∧D∧E∧F∧G∧H.
Wir werden sehen, ob sie erfüllbar ist.
Aus H: x4 muss wahr sein.
Aus F: ¬x3 ∨ ¬x4; mit x4, impliziert ¬x3 muss wahr sein, also x3 falsch.
Aus E: x3 ∨ x4; wahr, weil x4 wahr.
Aus G: x2 ∨ x3; x3 ist falsch, daher muss x2 wahr sein.
Aber dann D: ¬x2 ∨ ¬x3; ¬x2 ∨ wahr (¬x3 ist wahr) – aber ¬x3 wahr, so ist die Klausel wahr.
Aus D: ¬x2 ∨ ¬x3, ¬x3 ist wahr, so wahr.
Jetzt haben wir x4 wahr, x3 falsch, x2 wahr.
Aus H: x4 wahr. G: x2∨x3: mit x2 wahr, erfüllt. A: x1∨x2∨x3: x2 wahr, erfüllt.
Jetzt B: ¬x1 ∨ ¬x2; x2 wahr, also muss ¬x1 wahr sein → x1 falsch.
C: ¬x1 ∨ ¬x3; ¬x1 wahr (da x1 falsch) und ¬x3 wahr, also erfüllt.
Setzen wir: x1=0, x2=1, x3=0, x4=1.
Offensichtlich:
T1: x1→0: nicht ausgewählt.
T2: {1,3} → x2=1: ausgewählt.
T3: {1,2,3} → x3=0: nicht.
T4: {2,4} → x4=1: ausgewählt.
Betrachten der Überdeckung:
M = {1,2,3,4}
T2 = {1,3}, T4 = {2,4}, ...
1 ist nur in T1 und T1 steht nicht ausgewählt? T2 enthält auch 1? T2={1,3}, ja; T4={2,4}. Also 1 in T2, 2 in T4, 3 in T2, 4 in T4. So kommt 2 und 4 in T4 vor, 1 und 3 in T4? T4 enthält 2,4; nicht 1 und nicht 3?
T2={1,3} enthält 1 und 3.
T4={2,4} enthält 2 und 4.
Also 1 in T2, 2 in T4, 3 in T2, 4 in T4.
Jedes Element ist genau einmal? 1 in T1? In unserer Wahl: T2 und T4, also 1 in T2, also kein Problem. Allerdings, ist 3 in T2? Ja, und 4 in T4.
Aber Kommt 3 in T4? Nein, in T4 ist {2,4}, also nicht 3.
Aber was ist mit 3: wird durch T2 abgedeckt. Und kein anderes Set enthält 3? T3={1,2,3} ist nicht ausgewählt. Außerdem, wie wir sehen: 1: in T2, nicht in T4.
2: in T4, nicht in T2? T2 hat 1,3; T4 hat 2,4. Also 2 ist nur in T4? 2 ist auch in T3, aber T3 nicht ausgewählt. Also alles gut.
Oh: Problem in der Klausel? T2 und T4 decken:
1: in T2
2: in T4
3: in T2
4: in T4
Also 3 ist in T2, und kein anderes? Und 1 in T2, so dass ein Element nur in einer Menge sein sollte? Hier jedoch: T2 enthält zwei Elemente, 1 und 3. Aber in exakter Überdeckung, soll jedes Element in genau einer Menge sein? Bedeutung: die Mengen überlappen sich.
In diesem Fall: T2 = {1,3}, T4 = {2,4}, keine Überlappung.
1: nur in T2
2: nur in T4
3: nur in T2
4: nur in T4
Doch 3 ist in T2 und kein anderes, aber T2 enthält zwei Elemente. Das ist in Ordnung, weil man darf jedes Element in einem Set haben. Aber hier ist 3 nur in T2 enthalten? Das heißt, es wird nicht von einer anderen Menge überdeckt? Ja.
Stimmt es, dass jedes Element in genau einer Menge in S ist: die Menge S = { T2, T4 }, dann:
1: in T2 -> einmal
2: in T4 -> einmal
3: in T2 -> einmal
4: in T4 -> einmal
Perfekt.
Daher in dieser Belegung ist x2=1 und x4=1, x1=0, x3=0, und es funktioniert.
Außerdem hat T5 mit x5 nicht vorhanden.
Aber in der gegebenen Instanz: M = {1,2,3,4}, T = {T1, T2, T3, T4, T5} mit T5 leer.
S = { T2, T4 } ist eine exakte Überdeckung.
Beachten wir, dass T5 nicht verwendet wird.
Die Reduktion sollte also funktionieren.
Es gibt Einschränkungen?
In der Formel: was ist mit der Klausel für m=3:
I_3 = {2,3} -> die Klausel für "mindestens eins" ist x2 ∨ x3. Wir haben x2=1, sodass erfüllt.
Die Paare: für m=3, I_3={2,3}, Klausel ¬x2 ∨ ¬x3 -> ¬1 ∨ ¬0 = true.
Alle sind erfüllt.
Wenn wir T5 hätten, dann müssen wir es ignoriert. In der SAT-Instanz ist die Variable x5 nicht in den Klauseln, also egal, was ihre Belegung ist. Das ist in Ordnung.
Nun zur Reduktionsfunktion:
Definiere für eine Eingabe (M, T) von EXAKTE-ÜBERDECKUNG eine KNF-Formel φ.
- Var: X = {x_i | T_i ∈ T, T_i ≠ ∅}? Aber auch T_i leer, die wir auch eine Variable haben könnten, aber da sie nicht in den Klauseln vorkommt, können wir Variablen nur für T_i in T definieren. Um klar zu sein, definieren wir eine Variable x_i für jede Teilmenge T_i in T (das schließt die leere Menge ein). Die Anzahl der Variablen ist |T| = n.
- Für jedes m in M:
- Berechne I_m = { i ∈ {1, ..., n} | m ∈ T_i }
- Füge eine Klausel hinzu: ∨_{i ∈ I_m} x_i
- Für jedes Paar i,j mit i,j ∈ I_m, i < j: Füge Klausel (¬x_i ∨ ¬x_j) hinzu.
Formal, um Duplikate zu vermeiden, können wir die Klauseln nur einmal pro Paar hinzufügen.
Die resultierende Formel φ ist in konjunktiver Normalform (KNF).
Die Reduktion läuft in Polynomzeit, weil die Anzahl der Klauseln begrenzt ist: für jedes m in M, |I_m| Klauseln? Nein, die Teil "mindestens eins" ist eine Klausel pro m, und die "höchstens eins" sind O(|I_m|^2) Klauseln pro m. Aber |I_m| ≤ n (Anzahl der Teilmengen) und |M|=k, also insgesamt O(k * n^2) Klauseln, die alle genommen werden können.
Die Reduktion ist korrekt:
- Wenn es eine exakte Überdeckung S ⊆ T gibt, dann:
- für jedes m in M gibt es genau ein i* ∈ S mit m ∈ T_{i*}.
- Wir setzen x_{i*} = 1, und x_i = 0 für i ∉ S.
- Da in S nur die Teilmengen in der Überdeckung sind, und andere nicht.
- Die Klausel ∨_{i∈I_m} x_i ist erfüllt, weil das einzige i*, das zu I_m gehört, 1 sein wird (denn m ist durch T_{i*} abgedeckt).
- Für jede Klausel (¬x_i ∨ ¬x_j) für ein Paar i, j in I_m: wenn i und j beide in S wären, würde das bedeuten, dass beide T_i und T_j m enthalten, aber in der exakten Überdeckung wird m in genau einem Set vorkommen, so dass nicht beide gleichzeitig in S sein können. Also eines von beiden ist nicht in S, also entweder ¬x_i oder ¬x_j ist wahr. Folglich ist die Klausel erfüllt.
- Umgekehrt, wenn φ erfüllbar, dann definiert es eine Menge S = { T_i | x_i = 1 }.
- Wegen der ersten Menge von Klauseln (∨_{i∈I_m} x_i) gilt für jedes m ∈ M: mindestens ein i mit x_i=1 und m ∈ T_i. Also Abdeckung.
- Wegen der zweiten Klauseln, für jedes Paar i,j in I_m, ¬x_i ∨ ¬x_j schließt aus, dass beide x_i und x_j für i in I_m und j in I_m mit i≠j 1 sein können. Also sind für jede m bei höchstens einer Teilmenge i in S mit m ∈ T_i. Zusammen mit "mindestens ein" gibt es genau eine. Also ist S eine exakte Überdeckung.
Daraus folgt, dass die Reduktion funktioniert.
Für die spezifische Instanz:
M={1,2,3,4}
T:
T1={1} → Var x1
T2={1,3} → Var x2
T3={1,2,3} → Var x3
T4={2,4} → Var x4
T5=∅ → Var x5 (aber in keiner Klausel)
Berechnen der Klauseln:
Für m=1: I_m = { i | "1" in T_i } = {1,2,3} (denn T1, T2, T3 enthalten 1)
- Klausel: (x1 ∨ x2 ∨ x3)
- Paare: (1,2), (1,3), (2,3): Klauseln: (¬x1 ∨ ¬x2), (¬x1 ∨ ¬x3), (¬x2 ∨ ¬x3)
Für m=2: I_m = { i | "2" in T_i } = {3,4} (weil T3={1,2,3}, T4={2,4})
- Klausel: (x3 ∨ x4)
- Paar: (3,4): Klausel: (¬x3 ∨ ¬x4)
Für m=3: I_m = { i | "3" in T_i } = {2,3} (T2={1,3}, T3={1,2,3})
- Klausel: (x2 ∨ x3)
- Paar: (2,3): Klausel: (¬x2 ∨ ¬x3) [bereits vorhanden, aber nicht doppelt einfügen]
Für m=4: I_m = { i | "4" in T_i } = {4} (nur T4)
- Klausel: (x4)
- Kein Paar.
Weitere m? M hat nur 1,2,3,4.
Liste der Klauseln (alle einzigartig):
1. (x1 ∨ x2 ∨ x3) [für m=1 "mindestens eins"]
2. (¬x1 ∨ ¬x2) [für m=1, Paar (1,2)]
3. (¬x1 ∨ ¬x3) [für m=1, Paar (1,3)]
4. (¬x2 ∨ ¬x3) [für m=1, Paar (2,3)] [und auch für m=3, Paar]
5. (x3 ∨ x4) [für m=2]
6. (¬x3 ∨ ¬x4) [für m=2, Paar (3,4)]
7. (x2 ∨ x3) [für m=3] // Diese ist redundant? Siehe unten.
8. (x4) [für m=4]
Klausel 7: x2 ∨ x3 und wir haben schon Klausel 1: x1∨x2∨x3 und Klausel 4: ¬x2∨¬x3. Es ist nicht redundant.
Und in der Formel ohnehin dabei.
x5 ist nicht erwähnt, also keine Klausel.
Wir geben die KNF-Formel:
Die Klauseln (die in einer KNF-Formel konjunktiv verbunden sind):
( x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧ ( ¬x1 ∨ ¬x2 ) ∧ ( ¬x1 ∨ ¬x3 ) ∧ ( ¬x2 ∨ ¬x3 ) ∧ ( x3 ∨ x4 ) ∧ ( ¬x3 ∨ ¬x4 ) ∧ ( x2 ∨ x3 ) ∧ ( x4 )
Wir können sie sortiert notieren.
In der Bereitstellung aus der Reduktion.
Nun, die Instanz von SAT ist diese Formel in den Variablen x1, x2, x3, x4.
Answer
### Antwort für Teil c
Die Aussage gilt, da EXAKTE-ÜBERDECKUNG NP-vollständig und SAT NP-schwierig ist. Eine polynomielle Reduktion von EXAKTE-ÜBERDECKUNG nach SAT wird durch Konstruktion einer konjunktiven Normalform (KNF) beschrieben, die genau dann erfüllbar ist, wenn eine exakte Überdeckung existiert.
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion:**
Gegeben eine Instanz $(M, T)$ von EXAKTE-ÜBERDECKUNG mit $M = \{m_1, \dotsc, m_k\}$ und $T = \{T_1, \dotsc, T_n\}$, konstruieren wir eine boolesche Formel $\phi$ in KNF wie folgt:
- **Variablen:** Für jede Teilmenge $T_i$ definieren wir eine Variable $x_i$, die wahr ist, wenn $T_i$ in der Überdeckung $S$ enthalten ist.
- **Klauseln:**
1. Für jedes Element $m \in M$:
- Klausel für Mindestüberdeckung: $\bigvee_{i: m \in T_i} x_i$ (mindestens ein $T_i$ mit $m \in T_i$ wird ausgewählt).
- Klauseln für Eindeutigkeit: Für jedes Paar $i, j$ mit $i < j$ und $m \in T_i \cap T_j$ die Klausel $\neg x_i \lor \neg x_j$ (höchstens ein $T_i$ wird ausgewählt).
2. Leere Teilmengen $T_i = \emptyset$ führen zu keiner Klausel, da keine Elemente abgedeckt werden.
Die Formel $\phi$ ist die Konjunktion aller Klauseln. Die Reduktion läuft in Polynomzeit, da die Anzahl der Klauseln durch $O(k \cdot n^2)$ beschränkt ist (mit $|M| = k$, $|T| = n$).
**Korrektheitsskizze:**
- **Ja-Instanzen:** Wenn es eine exakte Überdeckung $S \subseteq T$ gibt, setze $x_i = 1$ für $T_i \in S$, sonst $0$. Jede Klausel ist erfüllt: Die Mindestüberdeckungs-Klausel gilt für jedes $m$, da genau ein $T_i$ mit $m \in T_i$ in $S$ ist. Die Eindeutigkeits-Klauseln sind erfüllt, da kein $m$ in mehreren $T_i \in S$ vorkommt.
- **Nein-Instanzen:** Wenn kein exakte Überdeckung existiert, ist $\phi$ unerfüllbar, da entweder ein Element nicht abgedeckt wird (Mindestüberdeckung verletzt) oder sich Überlappungen ergeben (Eindeutigkeit verletzt).
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
- Eingabe:
- $M = \{1, 2, 3, 4\}$
- $T = \{T_1, T_2, T_3, T_4, T_5\}$ mit $T_1 = \{1\}$, $T_2 = \{1, 3\}$, $T_3 = \{1, 2, 3\}$, $T_4 = \{2, 4\}$, $T_5 = \emptyset$.
- Variablen: $x_1$ für $T_1$, $x_2$ für $T_2$, $x_3$ für $T_3$, $x_4$ für $T_4$, $x_5$ für $T_5$ (entfällt, da in keiner Klausel).
- Klauseln:
- $m=1$:
- $I_1 = \{1,2,3\}$ → Klausel: $x_1 \lor x_2 \lor x_3$
- Paare: $(1,2),(1,3),(2,3)$ → Klauseln: $\neg x_1 \lor \neg x_2$, $\neg x_1 \lor \neg x_3$, $\neg x_2 \lor \neg x_3$
- $m=2$:
- $I_2 = \{3,4\}$ → Klausel: $x_3 \lor x_4$
- Paar: $(3,4)$ → Klausel: $\neg x_3 \lor \neg x_4$
- $m=3$:
- $I_3 = \{2,3\}$ → Klausel: $x_2 \lor x_3$
- Paar: $(2,3)$ → Klausel: $\neg x_2 \lor \neg x_3$ (bereits vorhanden)
- $m=4$:
- $I_4 = \{4\}$ → Klausel: $x_4$
- Kein Paar.
- KNF-Formel $\phi$:
\[
(x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor \neg x_2) \land (\neg x_1 \lor \neg x_3) \land (\neg x_2 \lor \neg x_3) \land (x_3 \lor x_4) \land (\neg x_3 \lor \neg x_4) \land (x_2 \lor x_3) \land (x_4)
\]
</answer>
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem: Eingabe: Eine endliche Menge und eine Menge von Teilmengen von . Ausgabe: Enthält eine exakte Überdeckung von , d.h. gibt es eine Menge , sodass jedes Element von in genau einer der Teilmengen in vorkommt? Aussage: EXAKTE-ÜBERDECKUNG SAT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an. wobei , , , , .
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Reduktionsfunktion: Gegeben eine Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG mit und , konstruieren wir eine boolesche Formel in KNF wie folgt: - Variablen: Für jede Teilmenge definieren wir eine Variable , die wahr ist, wenn in der Überdeckung enthalten ist. - Klauseln: 1. Für jedes Element : - Klausel für Mindestüberdeckung: (mindestens ein mit wird ausgewählt). - Klauseln für Eindeutigkeit: Für jedes Paar mit und die Klausel (höchstens ein wird ausgewählt). 2. Leere Teilmengen führen zu keiner Klausel, da keine Elemente abgedeckt werden. Die Formel ist die Konjunktion aller Klauseln. Die Reduktion läuft in Polynomzeit, da die Anzahl der Klauseln durch beschränkt ist (mit , ). Korrektheitsskizze: - Ja-Instanzen: Wenn es eine exakte Überdeckung gibt, setze für , sonst . Jede Klausel ist erfüllt: Die Mindestüberdeckungs-Klausel gilt für jedes , da genau ein mit in ist. Die Eindeutigkeits-Klauseln sind erfüllt, da kein in mehreren vorkommt. - Nein-Instanzen: Wenn kein exakte Überdeckung existiert, ist unerfüllbar, da entweder ein Element nicht abgedeckt wird (Mindestüberdeckung verletzt) oder sich Überlappungen ergeben (Eindeutigkeit verletzt). Anwendung auf die gegebene Instanz: - Eingabe: - - mit , , , , . - Variablen: für , für , für , für , für (entfällt, da in keiner Klausel). - Klauseln: - : - → Klausel: - Paare: → Klauseln: , , - : - → Klausel: - Paar: → Klausel: - : - → Klausel: - Paar: → Klausel: (bereits vorhanden) - : - → Klausel: - Kein Paar. - KNF-Formel :
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Exercise 7: Reduktion
Nehmen Sie an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „“ für Entscheidungsprobleme . Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben und (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
Subproblem a (4.0/4.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
**Defining the Reduction**
I'm working on a reduction from HAMILTON-PFAD to HAMILTON-KREIS. The user's request is clear: I must show polynomial-time reducibility, assuming P does not equal NP. I'm currently focused on building a suitable transformation for the HAMILTON-PFAD graph, and I'm considering how to modify its structure to force a Hamiltonian cycle within the HAMILTON-KREIS instance.
**Forming the Connection**
I'm now exploring the connection between HAMILTON-PFAD and HAMILTON-KREIS. The key challenge is to convert a path, which has defined start and end points, into a cycle, which is circular. I'm leaning toward adding extra nodes, as well as edges to the HAMILTON-PFAD graph to "close" the path into a cycle, which will guarantee a Hamilton cycle in the HAMILTON-KREIS graph if and only if a Hamilton path exists in the original graph.
**Considering Vertex Addition**
I'm now exploring how to construct the reduced graph. Adding a new vertex $w$ and connecting it to all other vertices in the original graph, forming $G'$, seems promising. If a Hamilton path exists in the original graph, a Hamilton cycle can be created using *w*. I'm now focusing on how to prove this construction works in both directions and that it's computationally efficient.
**Formulating the Construction**
I've refined the construction. Given a HAMILTON-PFAD graph $G=(V, E)$, create $G'=(V', E')$ by adding a new vertex $w$, and edges from $w$ to every vertex in $V$. My aim is to prove that a Hamilton path in G exists if and only if a Hamilton cycle exists in G'. The time complexity is now also under review, with particular interest in how it scales with the size of the input graph.
**Finalizing the Proof**
I've now formalized the reduction's correctness. I've completed the proof, demonstrating that a Hamilton path in the original graph $G$ exists if and only if a Hamilton cycle exists in the transformed graph $G'$. The construction is performed in polynomial time because of the addition of a single vertex and edges to every other existing vertex. I'm happy with the result.
**Finalizing the Solution**
I've now finalized my approach to the reduction. I've provided a complete proof of polynomial-time reducibility from HAMILTON-PFAD to HAMILTON-KREIS. I formally describe the construction of $G'$ and prove that it preserves the property of having a Hamilton path. The reduction function's construction takes polynomial time, and is thus correct. I am happy with the solution.
**Finalizing the Analysis**
I've now formalized the reduction process and included a concrete example. My approach involves adding a new vertex and connecting it to all vertices in the original graph. I've proved the reduction's correctness, showing that a Hamilton path in the original graph directly implies a Hamilton cycle in the transformed graph and vice-versa. I am confident that my analysis and reduction is correct.
**Formulating the Answer**
I'm ready to address the reduction from HAMILTON-PFAD to HAMILTON-KREIS. My next step is to formally define the reduction function, apply it to the given graph example, and then briefly outline the proof of correctness. This will involve creating the graph $G'$ from the initial $G$ and demonstrating the preservation of the Hamiltonian path/cycle properties.
**Finalizing the Solution**
I'm now starting the formal presentation for the user. My goal is to clearly define the reduction function, then apply it to the example graph. I'll also provide a brief overview to demonstrate that the reduction preserves the properties of a Hamilton path or cycle.
**Outlining the Approach**
I'm now crafting a detailed answer for the user, ensuring a structured response that includes all requirements. I will begin by stating the validity of the reduction, define the transformation, apply it to the provided example, and then briefly outline the proof. This process is essential for demonstrating the validity of HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS, as requested.
**Confirming the Approach**
I'm now verifying that my detailed answer complies with all instructions. This ensures the response defines the reduction function and demonstrates its application on the example, along with a sketch of its proof. I've also confirmed I am only providing updates on the thought process and adhering to the word limits.
**Confirming Solution Completeness**
I'm reviewing my answer to ensure it provides all necessary information as required by the instructions. I'm satisfied with the completeness of the response, including defining the reduction function, applying it to the example graph, and providing a sketch of the correctness proof. My plan is good.
**Finalizing the Answer**
I'm now integrating all the elements: selection, reduction definition, application, and sketch of proof. I will organize the answer according to the specified structure, and I will ensure I have met all of the requirements, and the answer is in German.
**Formulating the Solution**
I'm now poised to present the user with a complete solution. This entails stating the answer, defining the polynomial-time reduction, applying it to the specific graph instance, and finally, sketching out the proof of the reduction's correctness.
**Confirming the Response**
I'm now finalizing my response by carefully reviewing all components to ensure correctness and completeness. I've covered all required aspects, including the reduction definition, application, and a sketch of the correctness proof in German.
**Confirming the Presentation**
I'm now focusing on presenting the user with a concise, yet accurate and comprehensive answer in German. I will format it according to the provided guidelines, ensuring the response is easy to understand. My plan is to clearly define the reduction, apply it to the given example, and sketch the proof.
\n\n
Ich habe die Antwort vorbereitet.
<answer>
<option id="1">1</option>
Die Aussage gilt. HAMILTON-PFAD ist in Polynomialzeit auf HAMILTON-KREIS reduzierbar.
**1. Reduktionsfunktion:**
Sei $G=(V, E)$ eine Instanz von HAMILTON-PFAD. Wir konstruieren eine Instanz $G'=(V', E')$ von HAMILTON-KREIS wie folgt:
- Füge einen neuen Knoten $w$ zu $V$ hinzu: $V' = V \cup \{w\}$.
- Füge Kanten zwischen $w$ und allen Knoten in $V$ hinzu: $E' = E \cup \{\{v, w\} \mid v \in V\}$.
**2. Anwendung der Reduktion:**
Die gegebene Instanz von HAMILTON-PFAD ist der Graph $G=(V, E)$ mit:
* $V = \{\text{A, B, C, D, E}\}$
* $E = \{\{\text{A, B}\}, \{\text{A, C}\}, \{\text{B, C}\}, \{\text{C, D}\}, \{\text{C, E}\}, \{\text{D, E}\}\}$
Anwendung der Reduktion ergibt $G' = (V', E')$.
* $V' = V \cup \{W\} = \{\text{A, B, C, D, E, W}\}$
* $E' = E \cup \{\{\text{W, A}\}, \{\text{W, B}\}, \{\text{W, C}\}, \{\text{W, D}\}, \{\text{W, E}\}\}$.
Explizit:
* $\{\text{A, B}\}, \{\text{A, C}\}, \{\text{B, C}\}, \{\text{C, D}\}, \{\text{C, E}\}, \{\text{D, E}\}$ (ursprüngliche Kanten)
* $\{\text{W, A}\}, \{\text{W, B}\}, \{\text{W, C}\}, \{\text{W, D}\}, \{\text{W, E}\}$ (neue Kanten)
**3. Korrektheitsskizze:**
Wir müssen zeigen, dass $G$ einen Hamilton-Pfad hat, genau dann, wenn $G'$ einen Hamilton-Kreis hat.
* **($\Rightarrow$):** Sei $v_1, \dots, v_n$ ein Hamilton-Pfad in $G$. Dann ist $v_1, \dots, v_n, W, v_1$ ein Hamilton-Kreis in $G'$. Die Kanten $\{v_i, v_{i+1}\}$ sind in $E \subseteq E'$. Die Kanten $\{v_n, W\}$ und $\{W, v_1\}$ wurden in $G'$ hinzugefügt. Der Kreis besucht alle Knoten in $V' = V \cup \{W\}$ genau einmal.
* **($\Leftarrow$):** Sei $C$ ein Hamilton-Kreis in $G'$. Da $W$ ein Knoten in $G'$ ist, muss $C$ den Knoten $W$ enthalten. Seien $v_i, v_j \in V$ die Nachbarn von $W$ im Kreis. Der Kreis hat die Form $v_i, \dots, v_j, W, v_i$. Der Pfad $v_i, \dots, v_j$ muss alle Knoten aus $V$ genau einmal enthalten. Da in diesem Pfadsegment keine Kanten zu $W$ vorkommen, sind alle Kanten aus $E$. Somit ist $v_i, \dots, v_j$ ein Hamilton-Pfad in $G$.
</answer>
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Die Aussage HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS gilt.
#### (1) Reduktionsfunktion
Sei $G=(V, E)$ eine beliebige Instanz von HAMILTON-PFAD. Wir konstruieren eine Instanz $G'=(V', E')$ von HAMILTON-KREIS wie folgt:
1. Wir fügen einen neuen Knoten $w$ hinzu, der nicht in $V$ ist. Die neue Knotenmenge ist $V' = V \cup \{w\}$.
2. Wir behalten alle Kanten aus $E$ bei und fügen für jeden Knoten $v \in V$ eine Kante zwischen $v$ und dem neuen Knoten $w$ hinzu. Die neue Kantenmenge ist $E' = E \cup \{ \{v, w\} \mid v \in V \}$.
Diese Konstruktion kann in Polynomialzeit bezüglich der Größe von $G$ durchgeführt werden.
#### (2) Anwendung auf die gegebene Instanz
Die gegebene Instanz von HAMILTON-PFAD ist der Graph $G=(V,E)$ mit:
* Knoten $V = \{\text{A, B, C, D, E}\}$
* Kanten $E = \{\{\text{A, B}\}, \{\text{A, C}\}, \{\text{B, C}\}, \{\text{C, D}\}, \{\text{C, E}\}, \{\text{D, E}\}\}$
Wir wenden die obige Reduktion an, um den Graphen $G'=(V',E')$ zu konstruieren:
* **Neue Knotenmenge $V'$**: Wir fügen einen neuen Knoten hinzu, den wir $W$ nennen.
$V' = \{\text{A, B, C, D, E, W}\}$
* **Neue Kantenmenge $E'$**: Wir behalten alle Kanten aus $E$ und fügen Kanten von $W$ zu allen anderen Knoten hinzu.
$E' = E \cup \{\{\text{W, A}\}, \{\text{W, B}\}, \{\text{W, C}\}, \{\text{W, D}\}, \{\text{W, E}\}\}$
Der resultierende Graph $G'$ hat somit die folgenden Kanten:
$\{\text{A, B}\}, \{\text{A, C}\}, \{\text{B, C}\}, \{\text{C, D}\}, \{\text{C, E}\}, \{\text{D, E}\}, \{\text{W, A}\}, \{\text{W, B}\}, \{\text{W, C}\}, \{\text{W, D}\}, \{\text{W, E}\}$.
*Zur Veranschaulichung: Der gegebene Graph $G$ hat einen Hamilton-Pfad, z.B. A-B-C-E-D. Gemäß unserer Reduktion sollte $G'$ einen Hamilton-Kreis haben. Der Pfad A-B-C-E-D in $G$ wird zu dem Kreis A-B-C-E-D-W-A in $G'$.*
#### Skizze der Korrektheit
Wir müssen zeigen, dass $G$ genau dann einen Hamilton-Pfad hat, wenn $G'$ einen Hamilton-Kreis hat.
**($\Rightarrow$) Annahme: $G$ hat einen Hamilton-Pfad.**
Sei $P = (v_1, v_2, \dots, v_n)$ ein Hamilton-Pfad in $G$. Dieser Pfad besucht jeden Knoten in $V$ genau einmal. Die Endknoten des Pfades sind $v_1$ und $v_n$.
In $G'$ können wir den Kreis $C = (v_1, v_2, \dots, v_n, W, v_1)$ bilden.
* Die Kanten $\{v_i, v_{i+1}\}$ für $i \in \{1, \dots, n-1\}$ sind Kanten von $P$ und somit in $E \subseteq E'$.
* Die Kanten $\{v_n, W\}$ und $\{W, v_1\}$ wurden bei der Konstruktion von $G'$ hinzugefügt und sind somit in $E'$.
Der Kreis $C$ besucht alle Knoten in $V' = V \cup \{W\}$ genau einmal. Also ist $C$ ein Hamilton-Kreis in $G'$.
**($\Leftarrow$) Annahme: $G'$ hat einen Hamilton-Kreis.**
Sei $C$ ein Hamilton-Kreis in $G'$. Da $W$ ein Knoten in $G'$ ist, muss $C$ den Knoten $W$ enthalten. Die Nachbarn von $W$ sind ausschließlich Knoten aus $V$. Seien $v_i, v_j \in V$ die beiden Nachbarn von $W$ in dem Kreis $C$. Der Kreis hat also die Form $(v_i, \dots, v_j, W, v_i)$.
Das Teilstück von $v_i$ nach $v_j$, nennen wir es $P'$, muss alle Knoten in $V$ genau einmal besuchen, da $C$ ein Hamilton-Kreis ist und alle Knoten aus $V'$ besucht. Da $W$ nicht zwischen $v_i$ und $v_j$ auf dem Pfad $P'$ liegt, können alle Kanten in $P'$ nur Knoten aus $V$ verbinden. Somit müssen alle Kanten von $P'$ aus der ursprünglichen Kantenmenge $E$ stammen.
Folglich ist $P'$ ein Pfad im Graphen $G$, der alle Knoten von $V$ genau einmal besucht. $P'$ ist also ein Hamilton-Pfad in $G$.
</answer>
Sei ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von ist eine Permutation der Knoten von mit für jedes . Ein Hamilton-Kreis von ist ein Hamilton-Pfad von , der zusätzlich erfüllt. Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat. Aussage: HAMILTON-PFAD HAMILTON-KREIS Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an. Knoten: A, B, C, D, E Kanten: A -- B A -- C B -- C C -- D C -- E D -- E
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Die Aussage HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS gilt.
#### (1) Reduktionsfunktion
Sei $G=(V, E)$ eine beliebige Instanz von HAMILTON-PFAD. Wir konstruieren eine Instanz $G'=(V', E')$ von HAMILTON-KREIS wie folgt:
1. Wir fügen einen neuen Knoten $w$ hinzu, der nicht in $V$ ist. Die neue Knotenmenge ist $V' = V \cup \{w\}$.
2. Wir behalten alle Kanten aus $E$ bei und fügen für jeden Knoten $v \in V$ eine Kante zwischen $v$ und dem neuen Knoten $w$ hinzu. Die neue Kantenmenge ist $E' = E \cup \{ \{v, w\} \mid v \in V \}$.
Diese Konstruktion kann in Polynomialzeit bezüglich der Größe von $G$ durchgeführt werden.
#### (2) Anwendung auf die gegebene Instanz
Die gegebene Instanz von HAMILTON-PFAD ist der Graph $G=(V,E)$ mit:
* Knoten $V = \{\text{A, B, C, D, E}\}$
* Kanten $E = \{\{\text{A, B}\}, \{\text{A, C}\}, \{\text{B, C}\}, \{\text{C, D}\}, \{\text{C, E}\}, \{\text{D, E}\}\}$
Wir wenden die obige Reduktion an, um den Graphen $G'=(V',E')$ zu konstruieren:
* **Neue Knotenmenge $V'$**: Wir fügen einen neuen Knoten hinzu, den wir $W$ nennen.
$V' = \{\text{A, B, C, D, E, W}\}$
* **Neue Kantenmenge $E'$**: Wir behalten alle Kanten aus $E$ und fügen Kanten von $W$ zu allen anderen Knoten hinzu.
$E' = E \cup \{\{\text{W, A}\}, \{\text{W, B}\}, \{\text{W, C}\}, \{\text{W, D}\}, \{\text{W, E}\}\}$
Der resultierende Graph $G'$ hat somit die folgenden Kanten:
$\{\text{A, B}\}, \{\text{A, C}\}, \{\text{B, C}\}, \{\text{C, D}\}, \{\text{C, E}\}, \{\text{D, E}\}, \{\text{W, A}\}, \{\text{W, B}\}, \{\text{W, C}\}, \{\text{W, D}\}, \{\text{W, E}\}$.
*Zur Veranschaulichung: Der gegebene Graph $G$ hat einen Hamilton-Pfad, z.B. A-B-C-E-D. Gemäß unserer Reduktion sollte $G'$ einen Hamilton-Kreis haben. Der Pfad A-B-C-E-D in $G$ wird zu dem Kreis A-B-C-E-D-W-A in $G'$.*
#### Skizze der Korrektheit
Wir müssen zeigen, dass $G$ genau dann einen Hamilton-Pfad hat, wenn $G'$ einen Hamilton-Kreis hat.
**($\Rightarrow$) Annahme: $G$ hat einen Hamilton-Pfad.**
Sei $P = (v_1, v_2, \dots, v_n)$ ein Hamilton-Pfad in $G$. Dieser Pfad besucht jeden Knoten in $V$ genau einmal. Die Endknoten des Pfades sind $v_1$ und $v_n$.
In $G'$ können wir den Kreis $C = (v_1, v_2, \dots, v_n, W, v_1)$ bilden.
* Die Kanten $\{v_i, v_{i+1}\}$ für $i \in \{1, \dots, n-1\}$ sind Kanten von $P$ und somit in $E \subseteq E'$.
* Die Kanten $\{v_n, W\}$ und $\{W, v_1\}$ wurden bei der Konstruktion von $G'$ hinzugefügt und sind somit in $E'$.
Der Kreis $C$ besucht alle Knoten in $V' = V \cup \{W\}$ genau einmal. Also ist $C$ ein Hamilton-Kreis in $G'$.
**($\Leftarrow$) Annahme: $G'$ hat einen Hamilton-Kreis.**
Sei $C$ ein Hamilton-Kreis in $G'$. Da $W$ ein Knoten in $G'$ ist, muss $C$ den Knoten $W$ enthalten. Die Nachbarn von $W$ sind ausschließlich Knoten aus $V$. Seien $v_i, v_j \in V$ die beiden Nachbarn von $W$ in dem Kreis $C$. Der Kreis hat also die Form $(v_i, \dots, v_j, W, v_i)$.
Das Teilstück von $v_i$ nach $v_j$, nennen wir es $P'$, muss alle Knoten in $V$ genau einmal besuchen, da $C$ ein Hamilton-Kreis ist und alle Knoten aus $V'$ besucht. Da $W$ nicht zwischen $v_i$ und $v_j$ auf dem Pfad $P'$ liegt, können alle Kanten in $P'$ nur Knoten aus $V$ verbinden. Somit müssen alle Kanten von $P'$ aus der ursprünglichen Kantenmenge $E$ stammen.
Folglich ist $P'$ ein Pfad im Graphen $G$, der alle Knoten von $V$ genau einmal besucht. $P'$ ist also ein Hamilton-Pfad in $G$.Subproblem b (3.0/3.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Die Aussage HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS gilt.
#### (1) Reduktionsfunktion
Sei $G=(V, E)$ eine beliebige Instanz von HAMILTON-PFAD. Wir konstruieren eine Instanz $G'=(V', E')$ von HAMILTON-KREIS wie folgt:
1. Wir fügen einen neuen Knoten $w$ hinzu, der nicht in $V$ ist. Die neue Knotenmenge ist $V' = V \cup \{w\}$.
2. Wir behalten alle Kanten aus $E$ bei und fügen für jeden Knoten $v \in V$ eine Kante zwischen $v$ und dem neuen Knoten $w$ hinzu. Die neue Kantenmenge ist $E' = E \cup \{ \{v, w\} \mid v \in V \}$.
Diese Konstruktion kann in Polynomialzeit bezüglich der Größe von $G$ durchgeführt werden.
#### (2) Anwendung auf die gegebene Instanz
Die gegebene Instanz von HAMILTON-PFAD ist der Graph $G=(V,E)$ mit:
* Knoten $V = \{\text{A, B, C, D, E}\}$
* Kanten $E = \{\{\text{A, B}\}, \{\text{A, C}\}, \{\text{B, C}\}, \{\text{C, D}\}, \{\text{C, E}\}, \{\text{D, E}\}\}$
Wir wenden die obige Reduktion an, um den Graphen $G'=(V',E')$ zu konstruieren:
* **Neue Knotenmenge $V'$**: Wir fügen einen neuen Knoten hinzu, den wir $W$ nennen.
$V' = \{\text{A, B, C, D, E, W}\}$
* **Neue Kantenmenge $E'$**: Wir behalten alle Kanten aus $E$ und fügen Kanten von $W$ zu allen anderen Knoten hinzu.
$E' = E \cup \{\{\text{W, A}\}, \{\text{W, B}\}, \{\text{W, C}\}, \{\text{W, D}\}, \{\text{W, E}\}\}$
Der resultierende Graph $G'$ hat somit die folgenden Kanten:
$\{\text{A, B}\}, \{\text{A, C}\}, \{\text{B, C}\}, \{\text{C, D}\}, \{\text{C, E}\}, \{\text{D, E}\}, \{\text{W, A}\}, \{\text{W, B}\}, \{\text{W, C}\}, \{\text{W, D}\}, \{\text{W, E}\}$.
*Zur Veranschaulichung: Der gegebene Graph $G$ hat einen Hamilton-Pfad, z.B. A-B-C-E-D. Gemäß unserer Reduktion sollte $G'$ einen Hamilton-Kreis haben. Der Pfad A-B-C-E-D in $G$ wird zu dem Kreis A-B-C-E-D-W-A in $G'$.*
#### Skizze der Korrektheit
Wir müssen zeigen, dass $G$ genau dann einen Hamilton-Pfad hat, wenn $G'$ einen Hamilton-Kreis hat.
**($\Rightarrow$) Annahme: $G$ hat einen Hamilton-Pfad.**
Sei $P = (v_1, v_2, \dots, v_n)$ ein Hamilton-Pfad in $G$. Dieser Pfad besucht jeden Knoten in $V$ genau einmal. Die Endknoten des Pfades sind $v_1$ und $v_n$.
In $G'$ können wir den Kreis $C = (v_1, v_2, \dots, v_n, W, v_1)$ bilden.
* Die Kanten $\{v_i, v_{i+1}\}$ für $i \in \{1, \dots, n-1\}$ sind Kanten von $P$ und somit in $E \subseteq E'$.
* Die Kanten $\{v_n, W\}$ und $\{W, v_1\}$ wurden bei der Konstruktion von $G'$ hinzugefügt und sind somit in $E'$.
Der Kreis $C$ besucht alle Knoten in $V' = V \cup \{W\}$ genau einmal. Also ist $C$ ein Hamilton-Kreis in $G'$.
**($\Leftarrow$) Annahme: $G'$ hat einen Hamilton-Kreis.**
Sei $C$ ein Hamilton-Kreis in $G'$. Da $W$ ein Knoten in $G'$ ist, muss $C$ den Knoten $W$ enthalten. Die Nachbarn von $W$ sind ausschließlich Knoten aus $V$. Seien $v_i, v_j \in V$ die beiden Nachbarn von $W$ in dem Kreis $C$. Der Kreis hat also die Form $(v_i, \dots, v_j, W, v_i)$.
Das Teilstück von $v_i$ nach $v_j$, nennen wir es $P'$, muss alle Knoten in $V$ genau einmal besuchen, da $C$ ein Hamilton-Kreis ist und alle Knoten aus $V'$ besucht. Da $W$ nicht zwischen $v_i$ und $v_j$ auf dem Pfad $P'$ liegt, können alle Kanten in $P'$ nur Knoten aus $V$ verbinden. Somit müssen alle Kanten von $P'$ aus der ursprünglichen Kantenmenge $E$ stammen.
Folglich ist $P'$ ein Pfad im Graphen $G$, der alle Knoten von $V$ genau einmal besucht. $P'$ ist also ein Hamilton-Pfad in $G$.
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
**Examining Problem Complexity** I'm currently breaking down the two problems. First, I'm defining 3KNF-SAT as a boolean formula with three literals per clause. Now, thinking about CFG-LEERHEIT (CFG-Emptiness). I need to ensure I grasp both problem types fully before considering a reduction. The goal is to determine whether there is a reduction from 3KNF-SAT to CFG-LEERHEIT. **Evaluating Problem Reducibility** I'm currently thinking about the relationship between 3KNF-SAT and CFG-LEERHEIT. Since I know 3KNF-SAT is NP-complete, and CFG-LEERHEIT is in P, I can't create a polynomial-time reduction in either direction, assuming P != NP. I need to formalize my reasoning about the impossibility of the reduction. I am leaning towards definitively saying "false", but require more proof. **Formalizing the Conclusion** I've constructed the proof. It begins with the assumption that a reduction from 3KNF-SAT to CFG-LEERHEIT exists. This, combined with CFG-LEERHEIT being in P, would imply 3KNF-SAT is also in P, thus proving P=NP. This contradicts the problem statement, and thus, I've concluded the reduction is impossible. **Concluding Reduction Impossibility** Now, I've finalized the proof. I've established, by contradiction, that the polynomial-time reduction from 3KNF-SAT to CFG-LEERHEIT is not possible. My argument rests on the fact that CFG-LEERHEIT resides in P, whereas, assuming P != NP, 3KNF-SAT cannot. Therefore, a reduction would violate the P != NP assumption. **Concluding the Argumentation** I've formulated the complete proof for the impossibility of the reduction. My reasoning hinges on proof by contradiction, starting with the assumption of a polynomial-time reduction from 3KNF-SAT to CFG-LEERHEIT. Then, using the assumption that P != NP, I'm ready to state my final conclusion.
Answer
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Die Aussage „3KNF-SAT $\le_p$ CFG-LEERHEIT“ gilt nicht unter der Annahme $\P \ne \NP$.
#### Beweis
Wir führen einen Widerspruchsbeweis.
1. **Annahme:** Nehmen wir an, die Aussage gilt, d.h., es existiert eine polynomialzeitliche Reduktion $f$ von 3KNF-SAT auf CFG-LEERHEIT. Das bedeutet, für jede 3KNF-Formel $\phi$ können wir in Polynomialzeit eine kontextfreie Grammatik $G_\phi = f(\phi)$ konstruieren, sodass gilt:
$\phi$ ist erfüllbar $\iff L(G_\phi) \ne \emptyset$.
Dies ist äquivalent zu:
$\phi$ ist **nicht** erfüllbar $\iff L(G_\phi) = \emptyset$.
2. **Analyse von CFG-LEERHEIT:** Das Problem CFG-LEERHEIT, also zu entscheiden, ob für eine gegebene CFG $G$ die Sprache $L(G)$ leer ist, liegt in der Komplexitätsklasse $\P$.
* *Skizze des Algorithmus:* Man kann die Menge aller Nichtterminalsymbole bestimmen, die eine Kette von Terminalsymbolen erzeugen können.
1. Initialisiere eine Menge $M$ mit allen Nichtterminalen $A$, für die eine Regel $A \to w$ existiert, wobei $w$ nur aus Terminalen besteht.
2. Füge iterativ zu $M$ jedes Nichtterminal $B$ hinzu, für das eine Regel $B \to \alpha$ existiert, wobei alle Symbole in $\alpha$ (sowohl Terminale als auch Nichtterminale) bereits in $M$ bzw. der Menge der Terminale sind.
3. Wiederhole Schritt 2, bis sich $M$ nicht mehr ändert.
4. $L(G)$ ist genau dann nicht leer, wenn das Startsymbol $S$ in der finalen Menge $M$ enthalten ist.
*_Dieser Algorithmus terminiert in polynomialer Zeit bezüglich der Größe der Grammatik._
3. **Widerspruchsargumentation:**
* Wenn 3KNF-SAT $\le_p$ CFG-LEERHEIT gilt und CFG-LEERHEIT $\in \P$, dann würde aus der Definition der polynomialen Reduktion folgen, dass auch 3KNF-SAT $\in \P$ sein muss.
* *Begründung:* Ein Algorithmus für 3KNF-SAT könnte eine gegebene Formel $\phi$ mittels der Reduktion $f$ in eine Grammatik $G_\phi$ umwandeln und dann den P-Zeit-Algorithmus für CFG-LEERHEIT (bzw. dessen Komplement) auf $G_\phi$ anwenden, um die Erfüllbarkeit von $\phi$ zu entscheiden. Die Gesamtlaufzeit wäre polynomial.
* Das Problem 3KNF-SAT ist jedoch NP-vollständig. Wenn ein NP-vollständiges Problem in $\P$ liegt, dann folgt daraus, dass $\P = \NP$.
* Dies steht im direkten Widerspruch zur expliziten Annahme der Aufgabe, dass $\P \ne \NP$ gilt.
4. **Schlussfolgerung:** Unsere ursprüngliche Annahme, dass 3KNF-SAT $\le_p$ CFG-LEERHEIT gilt, muss falsch sein. Daher gilt die Aussage nicht.
</answer>
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik kein Wort erzeugt, also ob gilt. Aussage: 3KNF-SAT CFG-LEERHEIT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
☐Die Aussage gilt☒Die Aussage gilt nicht
Die Aussage „3KNF-SAT $\le_p$ CFG-LEERHEIT“ gilt nicht unter der Annahme $\P \ne \NP$.
#### Beweis
Wir führen einen Widerspruchsbeweis.
1. **Annahme:** Nehmen wir an, die Aussage gilt, d.h., es existiert eine polynomialzeitliche Reduktion $f$ von 3KNF-SAT auf CFG-LEERHEIT. Das bedeutet, für jede 3KNF-Formel $\phi$ können wir in Polynomialzeit eine kontextfreie Grammatik $G_\phi = f(\phi)$ konstruieren, sodass gilt:
$\phi$ ist erfüllbar $\iff L(G_\phi) \ne \emptyset$.
Dies ist äquivalent zu:
$\phi$ ist **nicht** erfüllbar $\iff L(G_\phi) = \emptyset$.
2. **Analyse von CFG-LEERHEIT:** Das Problem CFG-LEERHEIT, also zu entscheiden, ob für eine gegebene CFG $G$ die Sprache $L(G)$ leer ist, liegt in der Komplexitätsklasse $\P$.
* *Skizze des Algorithmus:* Man kann die Menge aller Nichtterminalsymbole bestimmen, die eine Kette von Terminalsymbolen erzeugen können.
1. Initialisiere eine Menge $M$ mit allen Nichtterminalen $A$, für die eine Regel $A \to w$ existiert, wobei $w$ nur aus Terminalen besteht.
2. Füge iterativ zu $M$ jedes Nichtterminal $B$ hinzu, für das eine Regel $B \to \alpha$ existiert, wobei alle Symbole in $\alpha$ (sowohl Terminale als auch Nichtterminale) bereits in $M$ bzw. der Menge der Terminale sind.
3. Wiederhole Schritt 2, bis sich $M$ nicht mehr ändert.
4. $L(G)$ ist genau dann nicht leer, wenn das Startsymbol $S$ in der finalen Menge $M$ enthalten ist.
*_Dieser Algorithmus terminiert in polynomialer Zeit bezüglich der Größe der Grammatik._
3. **Widerspruchsargumentation:**
* Wenn 3KNF-SAT $\le_p$ CFG-LEERHEIT gilt und CFG-LEERHEIT $\in \P$, dann würde aus der Definition der polynomialen Reduktion folgen, dass auch 3KNF-SAT $\in \P$ sein muss.
* *Begründung:* Ein Algorithmus für 3KNF-SAT könnte eine gegebene Formel $\phi$ mittels der Reduktion $f$ in eine Grammatik $G_\phi$ umwandeln und dann den P-Zeit-Algorithmus für CFG-LEERHEIT (bzw. dessen Komplement) auf $G_\phi$ anwenden, um die Erfüllbarkeit von $\phi$ zu entscheiden. Die Gesamtlaufzeit wäre polynomial.
* Das Problem 3KNF-SAT ist jedoch NP-vollständig. Wenn ein NP-vollständiges Problem in $\P$ liegt, dann folgt daraus, dass $\P = \NP$.
* Dies steht im direkten Widerspruch zur expliziten Annahme der Aufgabe, dass $\P \ne \NP$ gilt.
4. **Schlussfolgerung:** Unsere ursprüngliche Annahme, dass 3KNF-SAT $\le_p$ CFG-LEERHEIT gilt, muss falsch sein. Daher gilt die Aussage nicht.Subproblem c (7.0/7.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Die Aussage HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS gilt.
#### (1) Reduktionsfunktion
Sei $G=(V, E)$ eine beliebige Instanz von HAMILTON-PFAD. Wir konstruieren eine Instanz $G'=(V', E')$ von HAMILTON-KREIS wie folgt:
1. Wir fügen einen neuen Knoten $w$ hinzu, der nicht in $V$ ist. Die neue Knotenmenge ist $V' = V \cup \{w\}$.
2. Wir behalten alle Kanten aus $E$ bei und fügen für jeden Knoten $v \in V$ eine Kante zwischen $v$ und dem neuen Knoten $w$ hinzu. Die neue Kantenmenge ist $E' = E \cup \{ \{v, w\} \mid v \in V \}$.
Diese Konstruktion kann in Polynomialzeit bezüglich der Größe von $G$ durchgeführt werden.
#### (2) Anwendung auf die gegebene Instanz
Die gegebene Instanz von HAMILTON-PFAD ist der Graph $G=(V,E)$ mit:
* Knoten $V = \{\text{A, B, C, D, E}\}$
* Kanten $E = \{\{\text{A, B}\}, \{\text{A, C}\}, \{\text{B, C}\}, \{\text{C, D}\}, \{\text{C, E}\}, \{\text{D, E}\}\}$
Wir wenden die obige Reduktion an, um den Graphen $G'=(V',E')$ zu konstruieren:
* **Neue Knotenmenge $V'$**: Wir fügen einen neuen Knoten hinzu, den wir $W$ nennen.
$V' = \{\text{A, B, C, D, E, W}\}$
* **Neue Kantenmenge $E'$**: Wir behalten alle Kanten aus $E$ und fügen Kanten von $W$ zu allen anderen Knoten hinzu.
$E' = E \cup \{\{\text{W, A}\}, \{\text{W, B}\}, \{\text{W, C}\}, \{\text{W, D}\}, \{\text{W, E}\}\}$
Der resultierende Graph $G'$ hat somit die folgenden Kanten:
$\{\text{A, B}\}, \{\text{A, C}\}, \{\text{B, C}\}, \{\text{C, D}\}, \{\text{C, E}\}, \{\text{D, E}\}, \{\text{W, A}\}, \{\text{W, B}\}, \{\text{W, C}\}, \{\text{W, D}\}, \{\text{W, E}\}$.
*Zur Veranschaulichung: Der gegebene Graph $G$ hat einen Hamilton-Pfad, z.B. A-B-C-E-D. Gemäß unserer Reduktion sollte $G'$ einen Hamilton-Kreis haben. Der Pfad A-B-C-E-D in $G$ wird zu dem Kreis A-B-C-E-D-W-A in $G'$.*
#### Skizze der Korrektheit
Wir müssen zeigen, dass $G$ genau dann einen Hamilton-Pfad hat, wenn $G'$ einen Hamilton-Kreis hat.
**($\Rightarrow$) Annahme: $G$ hat einen Hamilton-Pfad.**
Sei $P = (v_1, v_2, \dots, v_n)$ ein Hamilton-Pfad in $G$. Dieser Pfad besucht jeden Knoten in $V$ genau einmal. Die Endknoten des Pfades sind $v_1$ und $v_n$.
In $G'$ können wir den Kreis $C = (v_1, v_2, \dots, v_n, W, v_1)$ bilden.
* Die Kanten $\{v_i, v_{i+1}\}$ für $i \in \{1, \dots, n-1\}$ sind Kanten von $P$ und somit in $E \subseteq E'$.
* Die Kanten $\{v_n, W\}$ und $\{W, v_1\}$ wurden bei der Konstruktion von $G'$ hinzugefügt und sind somit in $E'$.
Der Kreis $C$ besucht alle Knoten in $V' = V \cup \{W\}$ genau einmal. Also ist $C$ ein Hamilton-Kreis in $G'$.
**($\Leftarrow$) Annahme: $G'$ hat einen Hamilton-Kreis.**
Sei $C$ ein Hamilton-Kreis in $G'$. Da $W$ ein Knoten in $G'$ ist, muss $C$ den Knoten $W$ enthalten. Die Nachbarn von $W$ sind ausschließlich Knoten aus $V$. Seien $v_i, v_j \in V$ die beiden Nachbarn von $W$ in dem Kreis $C$. Der Kreis hat also die Form $(v_i, \dots, v_j, W, v_i)$.
Das Teilstück von $v_i$ nach $v_j$, nennen wir es $P'$, muss alle Knoten in $V$ genau einmal besuchen, da $C$ ein Hamilton-Kreis ist und alle Knoten aus $V'$ besucht. Da $W$ nicht zwischen $v_i$ und $v_j$ auf dem Pfad $P'$ liegt, können alle Kanten in $P'$ nur Knoten aus $V$ verbinden. Somit müssen alle Kanten von $P'$ aus der ursprünglichen Kantenmenge $E$ stammen.
Folglich ist $P'$ ein Pfad im Graphen $G$, der alle Knoten von $V$ genau einmal besucht. $P'$ ist also ein Hamilton-Pfad in $G$.
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Die Aussage „3KNF-SAT $\le_p$ CFG-LEERHEIT“ gilt nicht unter der Annahme $\P \ne \NP$.
#### Beweis
Wir führen einen Widerspruchsbeweis.
1. **Annahme:** Nehmen wir an, die Aussage gilt, d.h., es existiert eine polynomialzeitliche Reduktion $f$ von 3KNF-SAT auf CFG-LEERHEIT. Das bedeutet, für jede 3KNF-Formel $\phi$ können wir in Polynomialzeit eine kontextfreie Grammatik $G_\phi = f(\phi)$ konstruieren, sodass gilt:
$\phi$ ist erfüllbar $\iff L(G_\phi) \ne \emptyset$.
Dies ist äquivalent zu:
$\phi$ ist **nicht** erfüllbar $\iff L(G_\phi) = \emptyset$.
2. **Analyse von CFG-LEERHEIT:** Das Problem CFG-LEERHEIT, also zu entscheiden, ob für eine gegebene CFG $G$ die Sprache $L(G)$ leer ist, liegt in der Komplexitätsklasse $\P$.
* *Skizze des Algorithmus:* Man kann die Menge aller Nichtterminalsymbole bestimmen, die eine Kette von Terminalsymbolen erzeugen können.
1. Initialisiere eine Menge $M$ mit allen Nichtterminalen $A$, für die eine Regel $A \to w$ existiert, wobei $w$ nur aus Terminalen besteht.
2. Füge iterativ zu $M$ jedes Nichtterminal $B$ hinzu, für das eine Regel $B \to \alpha$ existiert, wobei alle Symbole in $\alpha$ (sowohl Terminale als auch Nichtterminale) bereits in $M$ bzw. der Menge der Terminale sind.
3. Wiederhole Schritt 2, bis sich $M$ nicht mehr ändert.
4. $L(G)$ ist genau dann nicht leer, wenn das Startsymbol $S$ in der finalen Menge $M$ enthalten ist.
*_Dieser Algorithmus terminiert in polynomialer Zeit bezüglich der Größe der Grammatik._
3. **Widerspruchsargumentation:**
* Wenn 3KNF-SAT $\le_p$ CFG-LEERHEIT gilt und CFG-LEERHEIT $\in \P$, dann würde aus der Definition der polynomialen Reduktion folgen, dass auch 3KNF-SAT $\in \P$ sein muss.
* *Begründung:* Ein Algorithmus für 3KNF-SAT könnte eine gegebene Formel $\phi$ mittels der Reduktion $f$ in eine Grammatik $G_\phi$ umwandeln und dann den P-Zeit-Algorithmus für CFG-LEERHEIT (bzw. dessen Komplement) auf $G_\phi$ anwenden, um die Erfüllbarkeit von $\phi$ zu entscheiden. Die Gesamtlaufzeit wäre polynomial.
* Das Problem 3KNF-SAT ist jedoch NP-vollständig. Wenn ein NP-vollständiges Problem in $\P$ liegt, dann folgt daraus, dass $\P = \NP$.
* Dies steht im direkten Widerspruch zur expliziten Annahme der Aufgabe, dass $\P \ne \NP$ gilt.
4. **Schlussfolgerung:** Unsere ursprüngliche Annahme, dass 3KNF-SAT $\le_p$ CFG-LEERHEIT gilt, muss falsch sein. Daher gilt die Aussage nicht.
</answer>
user:
## subproblem c (7.0 points)
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem:
Eingabe: Eine endliche Menge $M=\{m_1, ..., m_k\}$ und eine Menge $T=\{T_1, ..., T_n\}$ von Teilmengen von $M$.
Ausgabe: Enthält $T$ eine *exakte Überdeckung* von $M$, d.h. gibt es eine Menge $S \subseteq T$, sodass jedes Element von $M$ in **genau** einer der Teilmengen in $S$ vorkommt?
**Aussage:** EXAKTE-ÜBERDECKUNG $\leq_p$ SAT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an.
$M\coloneqq\{1,2,3,4\}$
$T\coloneqq\{T_1,T_2,T_3,T_4,T_5\}$
wobei
$T_1\coloneqq\{1\}$,
$T_2\coloneqq\{1,3\}$,
$T_3\coloneqq\{1,2,3\}$,
$T_4\coloneqq\{2,4\}$,
$T_5\coloneqq\emptyset$.
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
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<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
**Contemplating Problem Reduction** I'm wrestling with the exam question. Currently, I'm focused on the reduction. I need to demonstrate EXAKTE-ÜBERDECKUNG is polynomial-time reducible to SAT. I'm sketching out the necessary transformations, working through how to encode the exact cover instance as a Boolean formula that's satisfiable if and only if a cover exists. I'm thinking about variables representing subset inclusion. **Formulating the Reduction** I've now moved beyond the initial conceptualization. The key is constructing the boolean formula. My current focus involves assigning a boolean variable to each subset in the Exact Cover instance. I am thinking about a clause for each element in the set M, ensuring that it is covered by exactly one subset. This seems to capture the essence of the exact cover problem in boolean logic. I am exploring how to use CNF to ensure this condition is met. **Defining Variables and Clauses** I'm now working through the mechanics of the reduction. I've assigned a boolean variable, $x_i$, to each subset $T_i$. Now, I'm focused on translating the "exact cover" condition into clauses. Specifically, how can I ensure each element in $M$ is included in exactly one subset of the chosen $T_i$'s? This is the heart of the construction. **Encoding the Constraints** I'm now focused on meticulously translating the Exact Cover constraints into the boolean formula. I've introduced variables for the subsets. The next step is ensuring each element of M is covered by exactly one selected subset. I'm exploring how to formulate the "at least one" and "at most one" requirements for each element using logical clauses, specifically CNF form. The challenge lies in accurately encoding these constraints. **Designing the Formula** I've constructed the boolean variables and their relation to the subsets. Now I have the building blocks. I'm breaking down the constraints into clauses, focusing on "at least one" and "at most one" requirements. I'm working toward generating the complete CNF formula to correctly represent the exact cover problem in SAT. I'm also thinking about edge cases. **Developing the Proof** I've finalized the construction of the reduction function, defining how to translate an Exact Cover instance to a SAT formula. It involves creating variables for each subset and then crafting clauses to enforce that each element is covered by exactly one subset. Now, I'm working on a proof of correctness, showing the formula's satisfiability is equivalent to the existence of an exact cover. **Proving Correctness** I'm now detailing the proof of correctness. I need to show the reduction function works bidirectionally. First, if there is an exact cover, then $\phi$ is satisfiable. Then, if $\phi$ is satisfiable, there is an exact cover. Showing both directions is crucial for establishing the equivalence between the exact cover instance and the satisfiability of the boolean formula. **Analyzing the Construction** I'm now reviewing the formula's construction, specifically the generated clauses. It seems I've correctly created variables, and clauses for the "at least one" condition. I have a CNF form. I am checking for the "at most one" constraint for an element. Then I will proceed by making the proof of correctness. **Verifying the Formula** I'm now confirming that the resulting formula, the conjunction of the "cover" and "unique" constraints, correctly represents the Exact Cover instance as a SAT instance. I am focusing on verifying the construction. I will create a proof of correctness in the next phase. My emphasis is on correctly translating the exact cover conditions into CNF clauses. **Evaluating the Construction** I'm revisiting the construction, specifically the reduction function from Exact Cover to SAT. I've defined the variables, clauses, and translated the problem. Now, I'm ready to sketch a formal proof of correctness to demonstrate the equivalence between the Exact Cover instance and the SAT formula's satisfiability. I will start with the forward direction. **Finalizing Proof Structure** I'm now composing the proof of correctness. I have my formula built for reduction. I must show that if there's an exact cover, the formula is satisfiable, and vice versa. My goal is to show that the satisfiability of the produced formula and the existence of an exact cover are equivalent, establishing the reduction's validity. **Proving Equivalence** I'm establishing the critical equivalence in my proof. If a satisfying assignment exists, I must show that the chosen subsets form a proper exact cover. Conversely, an existing exact cover must lead to a valid assignment for the constructed formula. This bidirectional proof is necessary for verifying the reduction's correctness. **Proving Equivalence** I'm meticulously crafting the proof for the reduction's correctness. First, if an exact cover exists, I show how to derive a satisfying assignment for the boolean formula. Then, I show if the formula is satisfiable, it implies an exact cover exists. The core lies in demonstrating this bidirectional implication. **Refining Proof Strategies** I'm now revisiting the proof of correctness, and analyzing the two directions of implication. I have a strategy. For one direction I will show the satisfiability of my formula comes from the construction of an exact cover. I will then show that my formula has been proven to be correct. I am working to make the proof concise and precise. **Reducing to Satisfiability** I'm constructing the reduction now. I'm in the process of translating an Exact Cover instance into a SAT formula. I've established the variables representing subsets and am designing clauses. My current focus is to enforce the "exactly one" constraint for each element of the universe $M$. **Analyzing the Formula** I've reviewed the formula construction. The "at least one" and "at most one" constraints seem correctly translated. I've verified the construction. Now I'm preparing the sketch proof, ensuring the equivalence holds bidirectionally. I'm focusing on clear explanations of the assignments. **Reasoning the Reduction** I've decided the statement is true and prepared to construct the reduction. My approach involves transforming the Exact Cover problem into a Satisfiability (SAT) problem using a polynomial-time reduction. Now, I'm generating the boolean variables and setting up the constraints. The essence of the reduction is to capture Exact Cover's requirements in a boolean formula.
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Die Aussage EXAKTE-ÜBERDECKUNG $\le_p$ SAT gilt. Da EXAKTE-ÜBERDECKUNG NP-vollständig ist und SAT ebenfalls NP-vollständig ist, existiert eine solche Reduktion. Wir geben eine konkrete Reduktionsfunktion an.
#### (1) Reduktionsfunktion
Sei eine Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG gegeben durch eine Menge $M=\{m_1, ..., m_k\}$ und eine Menge von Teilmengen $T=\{T_1, ..., T_n\}$. Wir konstruieren eine aussagenlogische Formel $\phi$ in konjunktiver Normalform (KNF), die genau dann erfüllbar ist, wenn eine exakte Überdeckung existiert.
1. **Variablen:** Für jede Teilmenge $T_i \in T$ (für $i=1, ..., n$) führen wir eine boolesche Variable $x_i$ ein. Die Intuition ist, dass $x_i$ genau dann wahr ist, wenn die Teilmenge $T_i$ für die exakte Überdeckung ausgewählt wird.
2. **Klauseln:** Wir konstruieren $\phi$ als Konjunktion zweier Arten von Klauseln:
a. **Jedes Element von $M$ wird überdeckt:** Für jedes Element $m_j \in M$ muss es mindestens eine ausgewählte Teilmenge $T_i$ geben, die $m_j$ enthält. Dies wird durch die folgende Klausel für jedes $j \in \{1,...,k\}$ sichergestellt:
\[ C_j^{\text{cover}} = \bigvee_{i \text{ s.d. } m_j \in T_i} x_i \]
Falls für ein $m_j$ keine Teilmenge $T_i$ existiert, die es enthält, ist die Disjunktion leer und somit falsch, was die resultierende Formel unerfüllbar macht (korrekt, da keine Überdeckung möglich ist).
b. **Jedes Element von $M$ wird höchstens einmal überdeckt:** Für jedes Element $m_j \in M$ und für jedes Paar von verschiedenen Teilmengen $T_i, T_l \in T$ (mit $i \neq l$), die beide $m_j$ enthalten, können nicht beide für die Überdeckung ausgewählt werden. Dies wird durch die folgende Klausel für jedes $j \in \{1,...,k\}$ und jedes Paar $i,l$ mit $i < l$, sodass $m_j \in T_i$ und $m_j \in T_l$, sichergestellt:
\[ C_{j,i,l}^{\text{unique}} = (\neg x_i \vee \neg x_l) \]
Die finale Formel $\phi$ ist die Konjunktion all dieser Klauseln:
\[ \phi = \left( \bigwedge_{j=1}^{k} C_j^{\text{cover}} \right) \wedge \left( \bigwedge_{j=1}^{k} \bigwedge_{\substack{i<l \\ m_j \in T_i \\ m_j \in T_l}} C_{j,i,l}^{\text{unique}} \right) \]
Die Konstruktion dieser Formel kann in Polynomialzeit bezüglich der Größe der EXAKTE-ÜBERDECKUNG-Instanz $(|M|, |T|)$ erfolgen.
#### (2) Anwendung auf die gegebene Instanz
Gegebene Instanz:
$M=\{1,2,3,4\}$
$T=\{T_1=\{1\}, T_2=\{1,3\}, T_3=\{1,2,3\}, T_4=\{2,4\}, T_5=\emptyset\}$
Wir führen Variablen $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ ein.
**a. Klauseln für die Überdeckung:**
* Für $m=1$ (in $T_1, T_2, T_3$): $(x_1 \vee x_2 \vee x_3)$
* Für $m=2$ (in $T_3, T_4$): $(x_3 \vee x_4)$
* Für $m=3$ (in $T_2, T_3$): $(x_2 \vee x_3)$
* Für $m=4$ (in $T_4$): $(x_4)$
(Anmerkung: $T_5$ enthält kein Element und taucht daher in diesen Klauseln nicht auf).
**b. Klauseln für die Eindeutigkeit:**
* Für $m=1$ (in $T_1, T_2, T_3$): Wir benötigen Klauseln für die Paare $(T_1,T_2), (T_1,T_3), (T_2,T_3)$.
$(\neg x_1 \vee \neg x_2) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_2 \vee \neg x_3)$
* Für $m=2$ (in $T_3, T_4$): Wir benötigen eine Klausel für das Paar $(T_3, T_4)$.
$(\neg x_3 \vee \neg x_4)$
* Für $m=3$ (in $T_2, T_3$): Wir benötigen eine Klausel für das Paar $(T_2, T_3)$.
$(\neg x_2 \vee \neg x_3)$ (Diese Klausel wurde bereits für $m=1$ erzeugt).
* Für $m=4$ (nur in $T_4$): Keine Paare, also keine Klauseln.
**Die resultierende SAT-Formel $\phi$ ist:**
$ (x_1 \vee x_2 \vee x_3) \wedge (x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_3) \wedge (x_4) \wedge $
$ (\neg x_1 \vee \neg x_2) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_2 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_3 \vee \neg x_4) $
*Zur Veranschaulichung:* Die gegebene Instanz hat eine exakte Überdeckung $S=\{T_2, T_4\}$. Die entsprechende Belegung ist $x_2=\text{wahr}, x_4=\text{wahr}$ und $x_1=x_3=x_5=\text{falsch}$. Man kann leicht überprüfen, dass diese Belegung die Formel $\phi$ erfüllt.*
#### Skizze der Korrektheit
Wir zeigen, dass die gegebene EXAKTE-ÜBERDECKUNG-Instanz $(M, T)$ eine Lösung hat genau dann, wenn die konstruierte Formel $\phi$ erfüllbar ist.
**($\Rightarrow$) Annahme: Es existiert eine exakte Überdeckung $S \subseteq T$.**
Wir definieren eine Variablenbelegung $A$ wie folgt: $A(x_i) = \text{wahr}$, falls $T_i \in S$, und $A(x_i) = \text{falsch}$, falls $T_i \notin S$.
* Die Klauseln der Art $C_j^{\text{cover}}$ sind erfüllt: Da $S$ eine Überdeckung ist, ist jedes $m_j \in M$ in mindestens einem (sogar genau einem) $T_i \in S$ enthalten. Für dieses $T_i$ gilt $A(x_i)=\text{wahr}$, was die Disjunktion $C_j^{\text{cover}}$ wahr macht.
* Die Klauseln der Art $C_{j,i,l}^{\text{unique}}$ sind erfüllt: Diese Klausel hat die Form $(\neg x_i \vee \neg x_l)$. Wäre sie falsch, müssten $A(x_i)$ und $A(x_l)$ beide wahr sein. Das würde bedeuten, $T_i \in S$ und $T_l \in S$. Da aber $m_j$ in beiden Mengen ist, $T_i \cap T_l \ne \emptyset$, widerspricht dies der Eigenschaft von $S$, eine exakte Überdeckung zu sein (d.h. die Mengen in $S$ müssen paarweise disjunkt sein). Also kann dieser Fall nicht eintreten.
Somit erfüllt $A$ die Formel $\phi$.
**($\Leftarrow$) Annahme: Die Formel $\phi$ ist erfüllbar.**
Sei $A$ eine erfüllende Belegung. Wir definieren eine Lösungsmenge $S = \{ T_i \mid A(x_i)=\text{wahr} \}$. Wir müssen zeigen, dass $S$ eine exakte Überdeckung von $M$ ist.
* Sei $m_j \in M$ ein beliebiges Element. Da die Klausel $C_j^{\text{cover}} = \bigvee_{i \text{ s.d. } m_j \in T_i} x_i$ erfüllt sein muss, muss mindestens ein $A(x_i)$ wahr sein für ein $i$, wo $m_j \in T_i$. Das bedeutet, $m_j$ ist in mindestens einer Menge aus $S$ enthalten.
* Angenommen, $m_j$ ist in zwei verschiedenen Mengen $T_i, T_l \in S$ enthalten ($i \neq l$). Dann wären $A(x_i)$ und $A(x_l)$ beide wahr. Dies würde aber die Klausel $C_{j,i,l}^{\text{unique}} = (\neg x_i \vee \neg x_l)$ falsch machen, was der Annahme widerspricht, dass $A$ eine erfüllende Belegung ist.
Somit ist jedes Element von $M$ in genau einer Menge aus $S$ enthalten. $S$ ist also eine exakte Überdeckung.
</answer>
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem: Eingabe: Eine endliche Menge und eine Menge von Teilmengen von . Ausgabe: Enthält eine exakte Überdeckung von , d.h. gibt es eine Menge , sodass jedes Element von in genau einer der Teilmengen in vorkommt? Aussage: EXAKTE-ÜBERDECKUNG SAT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an. wobei , , , , .
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Die Aussage EXAKTE-ÜBERDECKUNG $\le_p$ SAT gilt. Da EXAKTE-ÜBERDECKUNG NP-vollständig ist und SAT ebenfalls NP-vollständig ist, existiert eine solche Reduktion. Wir geben eine konkrete Reduktionsfunktion an.
#### (1) Reduktionsfunktion
Sei eine Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG gegeben durch eine Menge $M=\{m_1, ..., m_k\}$ und eine Menge von Teilmengen $T=\{T_1, ..., T_n\}$. Wir konstruieren eine aussagenlogische Formel $\phi$ in konjunktiver Normalform (KNF), die genau dann erfüllbar ist, wenn eine exakte Überdeckung existiert.
1. **Variablen:** Für jede Teilmenge $T_i \in T$ (für $i=1, ..., n$) führen wir eine boolesche Variable $x_i$ ein. Die Intuition ist, dass $x_i$ genau dann wahr ist, wenn die Teilmenge $T_i$ für die exakte Überdeckung ausgewählt wird.
2. **Klauseln:** Wir konstruieren $\phi$ als Konjunktion zweier Arten von Klauseln:
a. **Jedes Element von $M$ wird überdeckt:** Für jedes Element $m_j \in M$ muss es mindestens eine ausgewählte Teilmenge $T_i$ geben, die $m_j$ enthält. Dies wird durch die folgende Klausel für jedes $j \in \{1,...,k\}$ sichergestellt:
\[ C_j^{\text{cover}} = \bigvee_{i \text{ s.d. } m_j \in T_i} x_i \]
Falls für ein $m_j$ keine Teilmenge $T_i$ existiert, die es enthält, ist die Disjunktion leer und somit falsch, was die resultierende Formel unerfüllbar macht (korrekt, da keine Überdeckung möglich ist).
b. **Jedes Element von $M$ wird höchstens einmal überdeckt:** Für jedes Element $m_j \in M$ und für jedes Paar von verschiedenen Teilmengen $T_i, T_l \in T$ (mit $i \neq l$), die beide $m_j$ enthalten, können nicht beide für die Überdeckung ausgewählt werden. Dies wird durch die folgende Klausel für jedes $j \in \{1,...,k\}$ und jedes Paar $i,l$ mit $i < l$, sodass $m_j \in T_i$ und $m_j \in T_l$, sichergestellt:
\[ C_{j,i,l}^{\text{unique}} = (\neg x_i \vee \neg x_l) \]
Die finale Formel $\phi$ ist die Konjunktion all dieser Klauseln:
\[ \phi = \left( \bigwedge_{j=1}^{k} C_j^{\text{cover}} \right) \wedge \left( \bigwedge_{j=1}^{k} \bigwedge_{\substack{i<l \\ m_j \in T_i \\ m_j \in T_l}} C_{j,i,l}^{\text{unique}} \right) \]
Die Konstruktion dieser Formel kann in Polynomialzeit bezüglich der Größe der EXAKTE-ÜBERDECKUNG-Instanz $(|M|, |T|)$ erfolgen.
#### (2) Anwendung auf die gegebene Instanz
Gegebene Instanz:
$M=\{1,2,3,4\}$
$T=\{T_1=\{1\}, T_2=\{1,3\}, T_3=\{1,2,3\}, T_4=\{2,4\}, T_5=\emptyset\}$
Wir führen Variablen $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ ein.
**a. Klauseln für die Überdeckung:**
* Für $m=1$ (in $T_1, T_2, T_3$): $(x_1 \vee x_2 \vee x_3)$
* Für $m=2$ (in $T_3, T_4$): $(x_3 \vee x_4)$
* Für $m=3$ (in $T_2, T_3$): $(x_2 \vee x_3)$
* Für $m=4$ (in $T_4$): $(x_4)$
(Anmerkung: $T_5$ enthält kein Element und taucht daher in diesen Klauseln nicht auf).
**b. Klauseln für die Eindeutigkeit:**
* Für $m=1$ (in $T_1, T_2, T_3$): Wir benötigen Klauseln für die Paare $(T_1,T_2), (T_1,T_3), (T_2,T_3)$.
$(\neg x_1 \vee \neg x_2) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_2 \vee \neg x_3)$
* Für $m=2$ (in $T_3, T_4$): Wir benötigen eine Klausel für das Paar $(T_3, T_4)$.
$(\neg x_3 \vee \neg x_4)$
* Für $m=3$ (in $T_2, T_3$): Wir benötigen eine Klausel für das Paar $(T_2, T_3)$.
$(\neg x_2 \vee \neg x_3)$ (Diese Klausel wurde bereits für $m=1$ erzeugt).
* Für $m=4$ (nur in $T_4$): Keine Paare, also keine Klauseln.
**Die resultierende SAT-Formel $\phi$ ist:**
$ (x_1 \vee x_2 \vee x_3) \wedge (x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_3) \wedge (x_4) \wedge $
$ (\neg x_1 \vee \neg x_2) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_2 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_3 \vee \neg x_4) $
*Zur Veranschaulichung:* Die gegebene Instanz hat eine exakte Überdeckung $S=\{T_2, T_4\}$. Die entsprechende Belegung ist $x_2=\text{wahr}, x_4=\text{wahr}$ und $x_1=x_3=x_5=\text{falsch}$. Man kann leicht überprüfen, dass diese Belegung die Formel $\phi$ erfüllt.*
#### Skizze der Korrektheit
Wir zeigen, dass die gegebene EXAKTE-ÜBERDECKUNG-Instanz $(M, T)$ eine Lösung hat genau dann, wenn die konstruierte Formel $\phi$ erfüllbar ist.
**($\Rightarrow$) Annahme: Es existiert eine exakte Überdeckung $S \subseteq T$.**
Wir definieren eine Variablenbelegung $A$ wie folgt: $A(x_i) = \text{wahr}$, falls $T_i \in S$, und $A(x_i) = \text{falsch}$, falls $T_i \notin S$.
* Die Klauseln der Art $C_j^{\text{cover}}$ sind erfüllt: Da $S$ eine Überdeckung ist, ist jedes $m_j \in M$ in mindestens einem (sogar genau einem) $T_i \in S$ enthalten. Für dieses $T_i$ gilt $A(x_i)=\text{wahr}$, was die Disjunktion $C_j^{\text{cover}}$ wahr macht.
* Die Klauseln der Art $C_{j,i,l}^{\text{unique}}$ sind erfüllt: Diese Klausel hat die Form $(\neg x_i \vee \neg x_l)$. Wäre sie falsch, müssten $A(x_i)$ und $A(x_l)$ beide wahr sein. Das würde bedeuten, $T_i \in S$ und $T_l \in S$. Da aber $m_j$ in beiden Mengen ist, $T_i \cap T_l \ne \emptyset$, widerspricht dies der Eigenschaft von $S$, eine exakte Überdeckung zu sein (d.h. die Mengen in $S$ müssen paarweise disjunkt sein). Also kann dieser Fall nicht eintreten.
Somit erfüllt $A$ die Formel $\phi$.
**($\Leftarrow$) Annahme: Die Formel $\phi$ ist erfüllbar.**
Sei $A$ eine erfüllende Belegung. Wir definieren eine Lösungsmenge $S = \{ T_i \mid A(x_i)=\text{wahr} \}$. Wir müssen zeigen, dass $S$ eine exakte Überdeckung von $M$ ist.
* Sei $m_j \in M$ ein beliebiges Element. Da die Klausel $C_j^{\text{cover}} = \bigvee_{i \text{ s.d. } m_j \in T_i} x_i$ erfüllt sein muss, muss mindestens ein $A(x_i)$ wahr sein für ein $i$, wo $m_j \in T_i$. Das bedeutet, $m_j$ ist in mindestens einer Menge aus $S$ enthalten.
* Angenommen, $m_j$ ist in zwei verschiedenen Mengen $T_i, T_l \in S$ enthalten ($i \neq l$). Dann wären $A(x_i)$ und $A(x_l)$ beide wahr. Dies würde aber die Klausel $C_{j,i,l}^{\text{unique}} = (\neg x_i \vee \neg x_l)$ falsch machen, was der Annahme widerspricht, dass $A$ eine erfüllende Belegung ist.
Somit ist jedes Element von $M$ in genau einer Menge aus $S$ enthalten. $S$ ist also eine exakte Überdeckung.openai/gpt-5
Exercise 7: Reduktion
Nehmen Sie an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „“ für Entscheidungsprobleme . Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben und (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
Subproblem a (4.0/4.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktionsfunktion f:
Gegeben einen ungerichteten Graphen G = (V, E). Erzeuge G' = (V', E') mit
- V' = V ∪ {s}, wobei s ein neuer Knoten ist,
- E' = E ∪ {{s, v} | v ∈ V}.
Also: Füge einen neuen Knoten s hinzu und verbinde ihn mit allen Knoten aus V.
Laufzeit: O(|V| + |E|).
Korrektheit (Skizze):
- (⇒) Hat G einen Hamilton-Pfad v1, …, vn, so ist s–v1–…–vn–s ein Hamilton-Kreis in G', da s mit v1 und vn adjazent ist.
- (⇐) Hat G' einen Hamilton-Kreis, so muss dieser s enthalten (da s neu und alle Grad ≥ 2; insbesondere s ist mit allen verbunden). Entfernt man s aus dem Kreis, bleibt ein Hamilton-Pfad in G.
Anwendung auf die gegebene Instanz:
G = (V, E) mit
- V = {A, B, C, D, E}
- E = {A–B, A–C, B–C, C–D, C–E, D–E}
Dann ist f(G) = G' = (V', E') mit
- V' = {A, B, C, D, E, s}
- E' = {A–B, A–C, B–C, C–D, C–E, D–E, s–A, s–B, s–C, s–D, s–E}
(Beispiel eines Hamilton-Kreises in G': s–A–B–C–D–E–s.)
</answer>
Sei ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von ist eine Permutation der Knoten von mit für jedes . Ein Hamilton-Kreis von ist ein Hamilton-Pfad von , der zusätzlich erfüllt. Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat. Aussage: HAMILTON-PFAD HAMILTON-KREIS Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an. Knoten: A, B, C, D, E Kanten: A -- B A -- C B -- C C -- D C -- E D -- E
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Reduktionsfunktion f:
Gegeben einen ungerichteten Graphen G = (V, E). Erzeuge G' = (V', E') mit
- V' = V ∪ {s}, wobei s ein neuer Knoten ist,
- E' = E ∪ {{s, v} | v ∈ V}.
Also: Füge einen neuen Knoten s hinzu und verbinde ihn mit allen Knoten aus V.
Laufzeit: O(|V| + |E|).
Korrektheit (Skizze):
- (⇒) Hat G einen Hamilton-Pfad v1, …, vn, so ist s–v1–…–vn–s ein Hamilton-Kreis in G', da s mit v1 und vn adjazent ist.
- (⇐) Hat G' einen Hamilton-Kreis, so muss dieser s enthalten (da s neu und alle Grad ≥ 2; insbesondere s ist mit allen verbunden). Entfernt man s aus dem Kreis, bleibt ein Hamilton-Pfad in G.
Anwendung auf die gegebene Instanz:
G = (V, E) mit
- V = {A, B, C, D, E}
- E = {A–B, A–C, B–C, C–D, C–E, D–E}
Dann ist f(G) = G' = (V', E') mit
- V' = {A, B, C, D, E, s}
- E' = {A–B, A–C, B–C, C–D, C–E, D–E, s–A, s–B, s–C, s–D, s–E}
(Beispiel eines Hamilton-Kreises in G': s–A–B–C–D–E–s.)Subproblem b (3.0/3.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktionsfunktion f:
Gegeben einen ungerichteten Graphen G = (V, E). Erzeuge G' = (V', E') mit
- V' = V ∪ {s}, wobei s ein neuer Knoten ist,
- E' = E ∪ {{s, v} | v ∈ V}.
Also: Füge einen neuen Knoten s hinzu und verbinde ihn mit allen Knoten aus V.
Laufzeit: O(|V| + |E|).
Korrektheit (Skizze):
- (⇒) Hat G einen Hamilton-Pfad v1, …, vn, so ist s–v1–…–vn–s ein Hamilton-Kreis in G', da s mit v1 und vn adjazent ist.
- (⇐) Hat G' einen Hamilton-Kreis, so muss dieser s enthalten (da s neu und alle Grad ≥ 2; insbesondere s ist mit allen verbunden). Entfernt man s aus dem Kreis, bleibt ein Hamilton-Pfad in G.
Anwendung auf die gegebene Instanz:
G = (V, E) mit
- V = {A, B, C, D, E}
- E = {A–B, A–C, B–C, C–D, C–E, D–E}
Dann ist f(G) = G' = (V', E') mit
- V' = {A, B, C, D, E, s}
- E' = {A–B, A–C, B–C, C–D, C–E, D–E, s–A, s–B, s–C, s–D, s–E}
(Beispiel eines Hamilton-Kreises in G': s–A–B–C–D–E–s.)
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
**Evaluating complexity reductions** I’m thinking about whether 3CNF-SAT can reduce in polynomial time to CFG-emptiness, which is a decidable problem. Since CFG-emptiness can be checked in polynomial time and is in P, that raises questions about the reduction from NP-complete problems. If there’s a polynomial-time reduction from an NP-complete problem to a problem in P, it might imply P equals NP. That’s fascinating to consider, and I want to clarify that point!**Analyzing reductions and implications** I'm focused on the idea that a many-one Karp reduction of 3CNF-SAT to CFG-emptiness could imply 3CNF-SAT is in P, hence suggesting P equals NP. Since we assume P doesn't equal NP, this reduction can't exist. I'm considering if we're using polynomial-time Turing reduction, but it seems like it's a Karp reduction. It's confirmed that CFG-emptiness is in P. The contradiction means this statement doesn't hold, but what if we explore the complement? That could be an interesting angle!**Proving non-reducibility** I’m thinking through the requirement to prove that the statement doesn’t hold. If 3CNF-SAT reduces to CFG-emptiness and since the latter is in P, it would imply 3CNF-SAT is also in P, which contradicts our assumption about P and NP. Therefore, no polynomial-time many-one reduction exists unless P equals NP. I need to format my output correctly, indicating that "Die Aussage gilt nicht," and provide a proof of non-reducibility while noting there's no need to apply it further since it doesn’t hold.**Crafting the proof for CFG-emptiness** I want to put together a clear proof that CFG-emptiness is in P. First, I’ll outline the algorithm: I mark generating variables starting with terminals, then use productions to close under all symbols that generate variables. To check emptiness, I compute "productive" variables that can derive terminal strings. It's crucial that the start variable, S, is both productive and reachable, which it is by default. I’ll demonstrate that I can compute this productive set in polynomial time.**Finalizing the proof** I’m clarifying that CFG-emptiness is in P. If there was a Karp reduction from 3CNF-SAT to CFG-emptiness, it would imply 3CNF-SAT is also in P, which contradicts the assumption that P does not equal NP. I’ll provide a succinct argument and small proof: I’ll describe how to determine if a grammar derives terminal strings in polynomial time. The mapping from 3CNF-SAT to CFG-emptiness must preserve membership, reinforcing that if such a reduction existed, it would imply P = NP. Thus, the statement is false.
Answer
<option id="1">0</option> <option id="2">1</option> <answer id="3"> Beweis, dass die Aussage (unter Annahme P ≠ NP) nicht gilt: - CFG-LEERHEIT ist in P: Man kann in Polynomialzeit die Menge der „erzeugenden“ Nichtterminale berechnen (Fixpunkt-Verfahren: Ein Nichtterminal ist erzeugend, wenn es eine Regel hat, deren rechte Seite nur aus Terminalen und bereits als erzeugend markierten Nichtterminalen besteht). Dann gilt L(G) = ∅ genau dann, wenn das Startsymbol nicht erzeugend ist. Diese Prozedur läuft in Zeit poly(|G|). - Angenommen, es gäbe eine polynomielle Many-One-Reduktion 3KNF-SAT ≤p CFG-LEERHEIT. Dann ließe sich 3KNF-SAT in Polynomialzeit lösen, indem man zu einer Formel φ die Grammatik f(φ) berechnet und CFG-LEERHEIT in Polynomialzeit entscheidet. Das impliziert 3KNF-SAT ∈ P, also NP ⊆ P und damit P = NP — im Widerspruch zur Annahme P ≠ NP. Folglich kann eine solche Reduktion nicht existieren. </answer>
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik kein Wort erzeugt, also ob gilt. Aussage: 3KNF-SAT CFG-LEERHEIT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
☐Die Aussage gilt☒Die Aussage gilt nicht
Beweis, dass die Aussage (unter Annahme P ≠ NP) nicht gilt: - CFG-LEERHEIT ist in P: Man kann in Polynomialzeit die Menge der „erzeugenden“ Nichtterminale berechnen (Fixpunkt-Verfahren: Ein Nichtterminal ist erzeugend, wenn es eine Regel hat, deren rechte Seite nur aus Terminalen und bereits als erzeugend markierten Nichtterminalen besteht). Dann gilt L(G) = ∅ genau dann, wenn das Startsymbol nicht erzeugend ist. Diese Prozedur läuft in Zeit poly(|G|). - Angenommen, es gäbe eine polynomielle Many-One-Reduktion 3KNF-SAT ≤p CFG-LEERHEIT. Dann ließe sich 3KNF-SAT in Polynomialzeit lösen, indem man zu einer Formel φ die Grammatik f(φ) berechnet und CFG-LEERHEIT in Polynomialzeit entscheidet. Das impliziert 3KNF-SAT ∈ P, also NP ⊆ P und damit P = NP — im Widerspruch zur Annahme P ≠ NP. Folglich kann eine solche Reduktion nicht existieren.
Subproblem c (7.0/7.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktionsfunktion f:
Gegeben einen ungerichteten Graphen G = (V, E). Erzeuge G' = (V', E') mit
- V' = V ∪ {s}, wobei s ein neuer Knoten ist,
- E' = E ∪ {{s, v} | v ∈ V}.
Also: Füge einen neuen Knoten s hinzu und verbinde ihn mit allen Knoten aus V.
Laufzeit: O(|V| + |E|).
Korrektheit (Skizze):
- (⇒) Hat G einen Hamilton-Pfad v1, …, vn, so ist s–v1–…–vn–s ein Hamilton-Kreis in G', da s mit v1 und vn adjazent ist.
- (⇐) Hat G' einen Hamilton-Kreis, so muss dieser s enthalten (da s neu und alle Grad ≥ 2; insbesondere s ist mit allen verbunden). Entfernt man s aus dem Kreis, bleibt ein Hamilton-Pfad in G.
Anwendung auf die gegebene Instanz:
G = (V, E) mit
- V = {A, B, C, D, E}
- E = {A–B, A–C, B–C, C–D, C–E, D–E}
Dann ist f(G) = G' = (V', E') mit
- V' = {A, B, C, D, E, s}
- E' = {A–B, A–C, B–C, C–D, C–E, D–E, s–A, s–B, s–C, s–D, s–E}
(Beispiel eines Hamilton-Kreises in G': s–A–B–C–D–E–s.)
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Beweis, dass die Aussage (unter Annahme P ≠ NP) nicht gilt:
- CFG-LEERHEIT ist in P: Man kann in Polynomialzeit die Menge der „erzeugenden“ Nichtterminale berechnen (Fixpunkt-Verfahren: Ein Nichtterminal ist erzeugend, wenn es eine Regel hat, deren rechte Seite nur aus Terminalen und bereits als erzeugend markierten Nichtterminalen besteht). Dann gilt L(G) = ∅ genau dann, wenn das Startsymbol nicht erzeugend ist. Diese Prozedur läuft in Zeit poly(|G|).
- Angenommen, es gäbe eine polynomielle Many-One-Reduktion 3KNF-SAT ≤p CFG-LEERHEIT. Dann ließe sich 3KNF-SAT in Polynomialzeit lösen, indem man zu einer Formel φ die Grammatik f(φ) berechnet und CFG-LEERHEIT in Polynomialzeit entscheidet. Das impliziert 3KNF-SAT ∈ P, also NP ⊆ P und damit P = NP — im Widerspruch zur Annahme P ≠ NP.
Folglich kann eine solche Reduktion nicht existieren.
</answer>
user:
## subproblem c (7.0 points)
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem:
Eingabe: Eine endliche Menge $M=\{m_1, ..., m_k\}$ und eine Menge $T=\{T_1, ..., T_n\}$ von Teilmengen von $M$.
Ausgabe: Enthält $T$ eine *exakte Überdeckung* von $M$, d.h. gibt es eine Menge $S \subseteq T$, sodass jedes Element von $M$ in **genau** einer der Teilmengen in $S$ vorkommt?
**Aussage:** EXAKTE-ÜBERDECKUNG $\leq_p$ SAT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an.
$M\coloneqq\{1,2,3,4\}$
$T\coloneqq\{T_1,T_2,T_3,T_4,T_5\}$
wobei
$T_1\coloneqq\{1\}$,
$T_2\coloneqq\{1,3\}$,
$T_3\coloneqq\{1,2,3\}$,
$T_4\coloneqq\{2,4\}$,
$T_5\coloneqq\emptyset$.
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
**Exploring CNF Encoding** I could provide CNF encoding by adding clauses for at least one condition for each element, ensuring that it allows for exactly one per element. But then I wonder about empty sets—if T_5 is empty, is x_5 still useful? I think allowing the selection of an empty set might not harm the process, but it doesn't contribute to coverage. Even so, it seems like selecting extra empty sets doesn't violate the exact cover definition.**Analyzing Exact Coverage** Since the union equals M, I realize that adding an empty set doesn't impact the union. However, the "exactly once" condition implies that empty sets have no elements, so they don’t violate the coverage counts. The definition of "exakte Überdeckung" states that each element should be in exactly one subset of S, and adding an empty set won’t change that. Typically, the presence of an empty set is allowed, and including extra sets with empty intersections doesn’t incur a penalty.**Exploring Exact Cover and Satisfying Assignments** I'm thinking that the mapping from exact cover to satisfying assignments might allow for x_5 being true while still satisfying the constraints. That’s fine since we only need to show that the existence of a satisfying assignment corresponds to the existence of an exact cover. If x_5 can be true, it could lead to multiple satisfying assignments, which seems okay. However, if there's a satisfying assignment with x_5 true, can we still find an exact cover S? We can construct S' by removing T_5, confirming that an exact cover exists.**Examining Exact Covers and CNF Encoding** If J_i is empty, that means the instance has no exact cover, making the formula unsatisfiable. In my encoding, when J_i is empty, the "at least one" clause becomes false, which results in an unsatisfiable situation. To represent this in CNF, I can add a fresh contradiction or an empty clause. It's permissible to add a special variable for this case, but I can state that if J_i is empty, then φ will contain an empty clause, making it unsatisfiable. Also, I can add clauses for at-most-one and consider overlaps in selection.**Clarifying Exact Cover and CNF Formula** I’m wrapping my head around how the "exactly once per element" condition doesn’t prevent selecting sets with overlapping elements. The at-most-one constraint ensures that for each element m_i, I can select at most one set that contains it. If two sets share an element, that prevents selecting both. The family of selected sets is essentially disjoint with respect to the elements. Now, when I apply this to my instance, I can calculate the clauses and check for satisfiability. The result shows that the formula is satisfiable, providing a satisfying assignment while maintaining polynomial complexity.**Creating the Clause List** I'm working on the clause list for my SAT problem. Here are the clauses I've defined: 1. (x1 ∨ x2 ∨ x3) 2. (¬x1 ∨ ¬x2) 3. (¬x1 ∨ ¬x3) 4. (¬x2 ∨ ¬x3) 5. (x3 ∨ x4) 6. (¬x3 ∨ ¬x4) 7. (x2 ∨ x3) 8. (¬x2 ∨ ¬x3) [duplicate] 9. (x4) [unit clause] I could remove duplicates for clarity, but it's also okay to keep them. The final unique set will contain the essential clauses while noting that x5 doesn't occur in any. The satisfying assignment is x2=1, x4=1, with x1 and x3 as 0, and x5 arbitrary. I'll ensure the LaTeX formatting is correct.
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
Reduktionsfunktion f:
Gegeben (M = {m_1, …, m_k}, T = {T_1, …, T_n}). Erzeuge eine CNF-Formel φ über Variablen x_1, …, x_n, wobei x_j = 1 bedeutet „T_j wird in die Überdeckung gewählt“.
Für jedes Element m_i definiere J_i := { j ∈ {1,…,n} | m_i ∈ T_j } und füge hinzu:
- Genau-eins-Nebenbedingung pro m_i durch
• Mindestens-eins: (∨_{j ∈ J_i} x_j) (falls J_i = ∅, füge die leere Klausel hinzu)
• Höchstens-eins: für alle j ≠ ℓ in J_i die Klausel (¬x_j ∨ ¬x_ℓ).
Ausgabe ist φ = ∧_{i=1}^k [ (∨_{j∈J_i} x_j) ∧ ∧_{j<ℓ, j,ℓ∈J_i} (¬x_j ∨ ¬x_ℓ) ].
Laufzeit: polynomiell in |M| + ∑_j |T_j|.
Korrektheit (Skizze):
- (⇒) Hat S ⊆ T eine exakte Überdeckung, setze x_j = 1 genau für T_j ∈ S. Dann ist für jedes m_i genau ein j ∈ J_i gewählt: „mindestens-eins“ und alle „höchstens-eins“-Klauseln sind erfüllt.
- (⇐) Erfüllt eine Belegung φ, dann hat für jedes m_i genau eine der x_j mit j ∈ J_i den Wert 1. Die gewählten Mengen sind paarweise disjunkt und überdecken M: genau eine Treffermenge pro Element ⇒ exakte Überdeckung.
Anwendung auf die Instanz:
M = {1,2,3,4}, T_1={1}, T_2={1,3}, T_3={1,2,3}, T_4={2,4}, T_5=∅.
J-Mengen:
- J_1 = {1,2,3}, J_2 = {3,4}, J_3 = {2,3}, J_4 = {4}.
CNF-Formel φ:
- Mindestens-eins:
(x_1 ∨ x_2 ∨ x_3) ∧ (x_3 ∨ x_4) ∧ (x_2 ∨ x_3) ∧ (x_4)
- Höchstens-eins (einzigartige Paare):
(¬x_1 ∨ ¬x_2) ∧ (¬x_1 ∨ ¬x_3) ∧ (¬x_2 ∨ ¬x_3) ∧ (¬x_3 ∨ ¬x_4)
Hinweis: x_5 kommt in keiner Klausel vor (T_5 = ∅).
Beispielbelegung, die φ erfüllt: x_2 = 1, x_4 = 1, x_1 = x_3 = 0 (x_5 beliebig). Dies entspricht der exakten Überdeckung S = {T_2, T_4}.
</answer>
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem: Eingabe: Eine endliche Menge und eine Menge von Teilmengen von . Ausgabe: Enthält eine exakte Überdeckung von , d.h. gibt es eine Menge , sodass jedes Element von in genau einer der Teilmengen in vorkommt? Aussage: EXAKTE-ÜBERDECKUNG SAT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an. wobei , , , , .
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Reduktionsfunktion f:
Gegeben (M = {m_1, …, m_k}, T = {T_1, …, T_n}). Erzeuge eine CNF-Formel φ über Variablen x_1, …, x_n, wobei x_j = 1 bedeutet „T_j wird in die Überdeckung gewählt“.
Für jedes Element m_i definiere J_i := { j ∈ {1,…,n} | m_i ∈ T_j } und füge hinzu:
- Genau-eins-Nebenbedingung pro m_i durch
• Mindestens-eins: (∨_{j ∈ J_i} x_j) (falls J_i = ∅, füge die leere Klausel hinzu)
• Höchstens-eins: für alle j ≠ ℓ in J_i die Klausel (¬x_j ∨ ¬x_ℓ).
Ausgabe ist φ = ∧_{i=1}^k [ (∨_{j∈J_i} x_j) ∧ ∧_{j<ℓ, j,ℓ∈J_i} (¬x_j ∨ ¬x_ℓ) ].
Laufzeit: polynomiell in |M| + ∑_j |T_j|.
Korrektheit (Skizze):
- (⇒) Hat S ⊆ T eine exakte Überdeckung, setze x_j = 1 genau für T_j ∈ S. Dann ist für jedes m_i genau ein j ∈ J_i gewählt: „mindestens-eins“ und alle „höchstens-eins“-Klauseln sind erfüllt.
- (⇐) Erfüllt eine Belegung φ, dann hat für jedes m_i genau eine der x_j mit j ∈ J_i den Wert 1. Die gewählten Mengen sind paarweise disjunkt und überdecken M: genau eine Treffermenge pro Element ⇒ exakte Überdeckung.
Anwendung auf die Instanz:
M = {1,2,3,4}, T_1={1}, T_2={1,3}, T_3={1,2,3}, T_4={2,4}, T_5=∅.
J-Mengen:
- J_1 = {1,2,3}, J_2 = {3,4}, J_3 = {2,3}, J_4 = {4}.
CNF-Formel φ:
- Mindestens-eins:
(x_1 ∨ x_2 ∨ x_3) ∧ (x_3 ∨ x_4) ∧ (x_2 ∨ x_3) ∧ (x_4)
- Höchstens-eins (einzigartige Paare):
(¬x_1 ∨ ¬x_2) ∧ (¬x_1 ∨ ¬x_3) ∧ (¬x_2 ∨ ¬x_3) ∧ (¬x_3 ∨ ¬x_4)
Hinweis: x_5 kommt in keiner Klausel vor (T_5 = ∅).
Beispielbelegung, die φ erfüllt: x_2 = 1, x_4 = 1, x_1 = x_3 = 0 (x_5 beliebig). Dies entspricht der exakten Überdeckung S = {T_2, T_4}.openai/gpt-oss-120b
Exercise 7: Reduktion
Nehmen Sie an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „“ für Entscheidungsprobleme . Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben und (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
Subproblem a (4.0/4.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
We need to decide if Hamiltonian Path ≤_p Hamiltonian Cycle. Known: Hamiltonian Path polynomially reduces to Hamiltonian Cycle. Indeed, we can transform a graph G into G' by adding a new vertex connected to all vertices of G? Actually reduction: Given G, create G' by adding two new vertices s,t and connect s to all vertices, t to all vertices, and add edge (s,t). Then G has Hamiltonian path iff G' has Hamiltonian cycle. Another known reduction: For undirected case, add a new vertex connected to all vertices; then Hamiltonian path in G corresponds to Hamiltonian cycle in G' that uses the new vertex to close the path. However careful: If we add a universal vertex u connected to all vertices of G, then any Hamiltonian cycle in G' must include u, and removing u gives a Hamiltonian path in G. Conversely, a Hamiltonian path in G can be turned into a Hamiltonian cycle in G' by adding edges from endpoints to u. So reduces.
Thus statement holds => option 1 = 1, option 2 = 0.
We must also provide reduction function and apply to given instance.
Define reduction f that maps graph G = (V,E) to graph G' = (V ∪ {u}, E ∪ { {u,v} | v∈V } ). Provide output graph.
Apply to given graph: vertices A,B,C,D,E plus new vertex X (call it Z). Edges: original plus edges X-A, X-B, X-C, X-D, X-E.
We need to sketch correctness. Provide answer.
Answer format: options first, then answer id="3". Provide maybe the reduction description and applied instance.
Let's format accordingly.
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion $f$ (Hamilton‑Pfad → Hamilton‑Kreis)**
Eingabe: ein ungerichteter Graph $G=(V,E)$.
Ausgabe: der Graph $G' = f(G) = (V\cup\{u\}, E')$, wobei
\[
E' = E \;\cup\; \bigl\{\,\{u,v\}\mid v\in V\,\bigr\}.
\]
Der neue Knoten $u$ wird also zu allen ursprünglichen Knoten adjazent gemacht (ein *universeller* Knoten).
---
**Anwendung von $f$ auf die gegebene Instanz**
Ursprüngliche Knoten: $V=\{A,B,C,D,E\}$
Ursprüngliche Kanten:
\[
\{A,B\},\; \{A,C\},\; \{B,C\},\; \{C,D\},\; \{C,E\},\; \{D,E\}.
\]
Wir führen einen neuen Knoten $U$ ein und verbinden ihn mit allen vorhandenen Knoten:
\[
\{U,A\},\{U,B\},\{U,C\},\{U,D\},\{U,E\}.
\]
Damit ist das Ergebnis‑Graph $G' = (V\cup\{U\},E')$ mit
Knoten: $A,B,C,D,E,U$
Kanten:
\[
\begin{aligned}
& A\!-\!B,\; A\!-\!C,\; B\!-\!C,\; C\!-\!D,\; C\!-\!E,\; D\!-\!E,\\
& U\!-\!A,\; U\!-\!B,\; U\!-\!C,\; U\!-\!D,\; U\!-\!E.
\end{aligned}
\]
---
**Korrektheit (Skizze)**
*„$\Rightarrow$“*:
Angenommen $G$ besitzt einen Hamilton‑Pfad $v_1,\dots ,v_n$.
Füge den neuen Knoten $u$ am Anfang und am Ende des ein:
\[
u, v_1, v_2,\dots ,v_n, u .
\]
Da $u$ zu jedem $v_i$ adjazent ist, bilden diese Knoten eine Hamilton‑Kreis in $G'$.
*„$\Leftarrow$“*:
Angenommen $G'$ besitzt einen Hamilton‑Kreis.
Da $u$ der einzige mit Grad $|V|$ ist, muss $u$ im Kreis genau zweimal vorkommen – unmittelbar vor und nach zwei Nachbarn $x,y\in V$.
Entfernt man $u$ aus dem Kreis, bleibt ein Pfad $x,\dots ,y$ der alle ursprünglichen Knoten $V$ exakt einmal besucht; also ist das ein Hamilton‑Pfad in $G$.
Damit gilt $G$ hat einen Hamilton‑Pfad ⇔ $f(G)$ hat einen Hamilton‑Kreis, also ist $f$ eine polynomialzeit‑berechenbare Reduktion.
∎
</answer>
Sei ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von ist eine Permutation der Knoten von mit für jedes . Ein Hamilton-Kreis von ist ein Hamilton-Pfad von , der zusätzlich erfüllt. Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat. Aussage: HAMILTON-PFAD HAMILTON-KREIS Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an. Knoten: A, B, C, D, E Kanten: A -- B A -- C B -- C C -- D C -- E D -- E
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
**Reduktionsfunktion $f$ (Hamilton‑Pfad → Hamilton‑Kreis)**
Eingabe: ein ungerichteter Graph $G=(V,E)$.
Ausgabe: der Graph $G' = f(G) = (V\cup\{u\}, E')$, wobei
\[
E' = E \;\cup\; \bigl\{\,\{u,v\}\mid v\in V\,\bigr\}.
\]
Der neue Knoten $u$ wird also zu allen ursprünglichen Knoten adjazent gemacht (ein *universeller* Knoten).
---
**Anwendung von $f$ auf die gegebene Instanz**
Ursprüngliche Knoten: $V=\{A,B,C,D,E\}$
Ursprüngliche Kanten:
\[
\{A,B\},\; \{A,C\},\; \{B,C\},\; \{C,D\},\; \{C,E\},\; \{D,E\}.
\]
Wir führen einen neuen Knoten $U$ ein und verbinden ihn mit allen vorhandenen Knoten:
\[
\{U,A\},\{U,B\},\{U,C\},\{U,D\},\{U,E\}.
\]
Damit ist das Ergebnis‑Graph $G' = (V\cup\{U\},E')$ mit
Knoten: $A,B,C,D,E,U$
Kanten:
\[
\begin{aligned}
& A\!-\!B,\; A\!-\!C,\; B\!-\!C,\; C\!-\!D,\; C\!-\!E,\; D\!-\!E,\\
& U\!-\!A,\; U\!-\!B,\; U\!-\!C,\; U\!-\!D,\; U\!-\!E.
\end{aligned}
\]
---
**Korrektheit (Skizze)**
*„$\Rightarrow$“*:
Angenommen $G$ besitzt einen Hamilton‑Pfad $v_1,\dots ,v_n$.
Füge den neuen Knoten $u$ am Anfang und am Ende des ein:
\[
u, v_1, v_2,\dots ,v_n, u .
\]
Da $u$ zu jedem $v_i$ adjazent ist, bilden diese Knoten eine Hamilton‑Kreis in $G'$.
*„$\Leftarrow$“*:
Angenommen $G'$ besitzt einen Hamilton‑Kreis.
Da $u$ der einzige mit Grad $|V|$ ist, muss $u$ im Kreis genau zweimal vorkommen – unmittelbar vor und nach zwei Nachbarn $x,y\in V$.
Entfernt man $u$ aus dem Kreis, bleibt ein Pfad $x,\dots ,y$ der alle ursprünglichen Knoten $V$ exakt einmal besucht; also ist das ein Hamilton‑Pfad in $G$.
Damit gilt $G$ hat einen Hamilton‑Pfad ⇔ $f(G)$ hat einen Hamilton‑Kreis, also ist $f$ eine polynomialzeit‑berechenbare Reduktion.
∎Subproblem b (3.0/3.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion $f$ (Hamilton‑Pfad → Hamilton‑Kreis)**
Eingabe: ein ungerichteter Graph $G=(V,E)$.
Ausgabe: der Graph $G' = f(G) = (V\cup\{u\}, E')$, wobei
\[
E' = E \;\cup\; \bigl\{\,\{u,v\}\mid v\in V\,\bigr\}.
\]
Der neue Knoten $u$ wird also zu allen ursprünglichen Knoten adjazent gemacht (ein *universeller* Knoten).
---
**Anwendung von $f$ auf die gegebene Instanz**
Ursprüngliche Knoten: $V=\{A,B,C,D,E\}$
Ursprüngliche Kanten:
\[
\{A,B\},\; \{A,C\},\; \{B,C\},\; \{C,D\},\; \{C,E\},\; \{D,E\}.
\]
Wir führen einen neuen Knoten $U$ ein und verbinden ihn mit allen vorhandenen Knoten:
\[
\{U,A\},\{U,B\},\{U,C\},\{U,D\},\{U,E\}.
\]
Damit ist das Ergebnis‑Graph $G' = (V\cup\{U\},E')$ mit
Knoten: $A,B,C,D,E,U$
Kanten:
\[
\begin{aligned}
& A\!-\!B,\; A\!-\!C,\; B\!-\!C,\; C\!-\!D,\; C\!-\!E,\; D\!-\!E,\\
& U\!-\!A,\; U\!-\!B,\; U\!-\!C,\; U\!-\!D,\; U\!-\!E.
\end{aligned}
\]
---
**Korrektheit (Skizze)**
*„$\Rightarrow$“*:
Angenommen $G$ besitzt einen Hamilton‑Pfad $v_1,\dots ,v_n$.
Füge den neuen Knoten $u$ am Anfang und am Ende des ein:
\[
u, v_1, v_2,\dots ,v_n, u .
\]
Da $u$ zu jedem $v_i$ adjazent ist, bilden diese Knoten eine Hamilton‑Kreis in $G'$.
*„$\Leftarrow$“*:
Angenommen $G'$ besitzt einen Hamilton‑Kreis.
Da $u$ der einzige mit Grad $|V|$ ist, muss $u$ im Kreis genau zweimal vorkommen – unmittelbar vor und nach zwei Nachbarn $x,y\in V$.
Entfernt man $u$ aus dem Kreis, bleibt ein Pfad $x,\dots ,y$ der alle ursprünglichen Knoten $V$ exakt einmal besucht; also ist das ein Hamilton‑Pfad in $G$.
Damit gilt $G$ hat einen Hamilton‑Pfad ⇔ $f(G)$ hat einen Hamilton‑Kreis, also ist $f$ eine polynomialzeit‑berechenbare Reduktion.
∎
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
We need decide if 3KNF-SAT ≤p CFG-emptiness. Known: CFG emptiness (emptiness problem) is decidable in polynomial time (actually linear). SAT is NP-complete. If reduction existed, then SAT ≤p P (since emptiness in P), implying NP⊆P, contradict P≠NP assumption. Wait we assume P≠NP, so NP not in P. Since CFG-emptiness is in P, a poly-time many-one reduction from NP-complete to a P problem would imply NP⊆P, which contradicts. Therefore the statement does NOT hold. Thus option 2 true (statement does not hold). So set option1=0, option2=1. No need to give reduction. We must also prove not hold. Thus answer.
Answer
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
**Beweis, dass die Reduktion nicht existieren kann (unter der Annahme \(P\neq NP\)).**
1. **Komplexität von CFG‑LEERHEIT**
Das Problem, zu entscheiden, ob die von einer kontextfreien Grammatik \(G\) erzeugte Sprache leer ist, kann in linearer Zeit gelöst werden (z.\;B. durch Berechnung der erreichbaren Nichtterminalsymbole). Damit liegt **CFG‑LEERHEIT in \(P\)**.
2. **Komplexität von 3‑KNF‑SAT**
Das Erfüllbarkeitsproblem für 3‑KNF‑Formeln ist **NP‑voll**. Insbesondere ist es **NP‑schwer**; jede Sprache in \(NP\) lässt sich in polynomieller Zeit auf 3‑KNF‑SAT reduzieren.
3. **Folgerung einer hypothetischen Reduktion**
Angenommen, es gäbe eine polynomialzeit‑many‑one‑Reduktion
\[
f : \text{3KNF‑SAT} \longrightarrow \text{CFG‑LEERHEIT}.
\]
Dann könnte man für jede 3‑KNF‑Formel \(\varphi\) zunächst \(f(\varphi)\) in polynomialer Zeit konstruieren und anschließend das Ergebnis von CFG‑LEERHEIT in polynomialer Zeit entscheiden. Damit gäbe es ein deterministisches Polynomzeit‑Verfahren für 3‑KNF‑SAT, also **\( \text{3KNF‑SAT} \in P\)**.
4. **Widerspruch zur Annahme \(P\neq NP\)**
Da 3‑KNF‑SAT NP‑voll ist, würde \(\text{3KNF‑SAT} \in P\) die Inklusion \(NP \subseteq P\) implizieren, also \(P = NP\). Das steht im Widerspruch zur Voraussetzung \(P \neq NP\).
5. **Schluss**
Unter der Annahme \(P\neq NP\) **kann keine polynomialzeit‑Reduktion von 3‑KNF‑SAT auf CFG‑LEERHEIT existieren**. Folglich ist die Aussage **falsch**.
∎
</answer>
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik kein Wort erzeugt, also ob gilt. Aussage: 3KNF-SAT CFG-LEERHEIT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
☐Die Aussage gilt☒Die Aussage gilt nicht
**Beweis, dass die Reduktion nicht existieren kann (unter der Annahme \(P\neq NP\)).**
1. **Komplexität von CFG‑LEERHEIT**
Das Problem, zu entscheiden, ob die von einer kontextfreien Grammatik \(G\) erzeugte Sprache leer ist, kann in linearer Zeit gelöst werden (z.\;B. durch Berechnung der erreichbaren Nichtterminalsymbole). Damit liegt **CFG‑LEERHEIT in \(P\)**.
2. **Komplexität von 3‑KNF‑SAT**
Das Erfüllbarkeitsproblem für 3‑KNF‑Formeln ist **NP‑voll**. Insbesondere ist es **NP‑schwer**; jede Sprache in \(NP\) lässt sich in polynomieller Zeit auf 3‑KNF‑SAT reduzieren.
3. **Folgerung einer hypothetischen Reduktion**
Angenommen, es gäbe eine polynomialzeit‑many‑one‑Reduktion
\[
f : \text{3KNF‑SAT} \longrightarrow \text{CFG‑LEERHEIT}.
\]
Dann könnte man für jede 3‑KNF‑Formel \(\varphi\) zunächst \(f(\varphi)\) in polynomialer Zeit konstruieren und anschließend das Ergebnis von CFG‑LEERHEIT in polynomialer Zeit entscheiden. Damit gäbe es ein deterministisches Polynomzeit‑Verfahren für 3‑KNF‑SAT, also **\( \text{3KNF‑SAT} \in P\)**.
4. **Widerspruch zur Annahme \(P\neq NP\)**
Da 3‑KNF‑SAT NP‑voll ist, würde \(\text{3KNF‑SAT} \in P\) die Inklusion \(NP \subseteq P\) implizieren, also \(P = NP\). Das steht im Widerspruch zur Voraussetzung \(P \neq NP\).
5. **Schluss**
Unter der Annahme \(P\neq NP\) **kann keine polynomialzeit‑Reduktion von 3‑KNF‑SAT auf CFG‑LEERHEIT existieren**. Folglich ist die Aussage **falsch**.
∎Subproblem c (7.0/7.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion $f$ (Hamilton‑Pfad → Hamilton‑Kreis)**
Eingabe: ein ungerichteter Graph $G=(V,E)$.
Ausgabe: der Graph $G' = f(G) = (V\cup\{u\}, E')$, wobei
\[
E' = E \;\cup\; \bigl\{\,\{u,v\}\mid v\in V\,\bigr\}.
\]
Der neue Knoten $u$ wird also zu allen ursprünglichen Knoten adjazent gemacht (ein *universeller* Knoten).
---
**Anwendung von $f$ auf die gegebene Instanz**
Ursprüngliche Knoten: $V=\{A,B,C,D,E\}$
Ursprüngliche Kanten:
\[
\{A,B\},\; \{A,C\},\; \{B,C\},\; \{C,D\},\; \{C,E\},\; \{D,E\}.
\]
Wir führen einen neuen Knoten $U$ ein und verbinden ihn mit allen vorhandenen Knoten:
\[
\{U,A\},\{U,B\},\{U,C\},\{U,D\},\{U,E\}.
\]
Damit ist das Ergebnis‑Graph $G' = (V\cup\{U\},E')$ mit
Knoten: $A,B,C,D,E,U$
Kanten:
\[
\begin{aligned}
& A\!-\!B,\; A\!-\!C,\; B\!-\!C,\; C\!-\!D,\; C\!-\!E,\; D\!-\!E,\\
& U\!-\!A,\; U\!-\!B,\; U\!-\!C,\; U\!-\!D,\; U\!-\!E.
\end{aligned}
\]
---
**Korrektheit (Skizze)**
*„$\Rightarrow$“*:
Angenommen $G$ besitzt einen Hamilton‑Pfad $v_1,\dots ,v_n$.
Füge den neuen Knoten $u$ am Anfang und am Ende des ein:
\[
u, v_1, v_2,\dots ,v_n, u .
\]
Da $u$ zu jedem $v_i$ adjazent ist, bilden diese Knoten eine Hamilton‑Kreis in $G'$.
*„$\Leftarrow$“*:
Angenommen $G'$ besitzt einen Hamilton‑Kreis.
Da $u$ der einzige mit Grad $|V|$ ist, muss $u$ im Kreis genau zweimal vorkommen – unmittelbar vor und nach zwei Nachbarn $x,y\in V$.
Entfernt man $u$ aus dem Kreis, bleibt ein Pfad $x,\dots ,y$ der alle ursprünglichen Knoten $V$ exakt einmal besucht; also ist das ein Hamilton‑Pfad in $G$.
Damit gilt $G$ hat einen Hamilton‑Pfad ⇔ $f(G)$ hat einen Hamilton‑Kreis, also ist $f$ eine polynomialzeit‑berechenbare Reduktion.
∎
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
**Beweis, dass die Reduktion nicht existieren kann (unter der Annahme \(P\neq NP\)).**
1. **Komplexität von CFG‑LEERHEIT**
Das Problem, zu entscheiden, ob die von einer kontextfreien Grammatik \(G\) erzeugte Sprache leer ist, kann in linearer Zeit gelöst werden (z.\;B. durch Berechnung der erreichbaren Nichtterminalsymbole). Damit liegt **CFG‑LEERHEIT in \(P\)**.
2. **Komplexität von 3‑KNF‑SAT**
Das Erfüllbarkeitsproblem für 3‑KNF‑Formeln ist **NP‑voll**. Insbesondere ist es **NP‑schwer**; jede Sprache in \(NP\) lässt sich in polynomieller Zeit auf 3‑KNF‑SAT reduzieren.
3. **Folgerung einer hypothetischen Reduktion**
Angenommen, es gäbe eine polynomialzeit‑many‑one‑Reduktion
\[
f : \text{3KNF‑SAT} \longrightarrow \text{CFG‑LEERHEIT}.
\]
Dann könnte man für jede 3‑KNF‑Formel \(\varphi\) zunächst \(f(\varphi)\) in polynomialer Zeit konstruieren und anschließend das Ergebnis von CFG‑LEERHEIT in polynomialer Zeit entscheiden. Damit gäbe es ein deterministisches Polynomzeit‑Verfahren für 3‑KNF‑SAT, also **\( \text{3KNF‑SAT} \in P\)**.
4. **Widerspruch zur Annahme \(P\neq NP\)**
Da 3‑KNF‑SAT NP‑voll ist, würde \(\text{3KNF‑SAT} \in P\) die Inklusion \(NP \subseteq P\) implizieren, also \(P = NP\). Das steht im Widerspruch zur Voraussetzung \(P \neq NP\).
5. **Schluss**
Unter der Annahme \(P\neq NP\) **kann keine polynomialzeit‑Reduktion von 3‑KNF‑SAT auf CFG‑LEERHEIT existieren**. Folglich ist die Aussage **falsch**.
∎
</answer>
user:
## subproblem c (7.0 points)
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem:
Eingabe: Eine endliche Menge $M=\{m_1, ..., m_k\}$ und eine Menge $T=\{T_1, ..., T_n\}$ von Teilmengen von $M$.
Ausgabe: Enthält $T$ eine *exakte Überdeckung* von $M$, d.h. gibt es eine Menge $S \subseteq T$, sodass jedes Element von $M$ in **genau** einer der Teilmengen in $S$ vorkommt?
**Aussage:** EXAKTE-ÜBERDECKUNG $\leq_p$ SAT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an.
$M\coloneqq\{1,2,3,4\}$
$T\coloneqq\{T_1,T_2,T_3,T_4,T_5\}$
wobei
$T_1\coloneqq\{1\}$,
$T_2\coloneqq\{1,3\}$,
$T_3\coloneqq\{1,2,3\}$,
$T_4\coloneqq\{2,4\}$,
$T_5\coloneqq\emptyset$.
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
We need to answer statement whether Exact Cover reduces to SAT. Exact Cover is known NP-complete (Exact Cover by 3-sets? but general exact cover) It's a special case of SAT? Actually exact cover can be reduced to SAT, as we can encode each set variable, each element must be covered exactly once, leading to a CNF formula with cardinality constraints. However reduction to SAT (CNF) can be done polynomial time. So statement likely true. Provide reduction and apply to given instance.
We need to output options: id1 true => 1, id2 false =>0.
Then answer id3: provide reduction description and application.
Need to follow template format: there is <answer id="3">???</answer>. We should include the reduction function definition and then apply it to the instance producing a SAT formula (CNF) presumably.
We also need to sketch correctness.
Let's craft answer: Reduction: given (M,T) produce Boolean variables x_i for each subset T_i. For each element m ∈ M, create clause that exactly one of the subsets containing m is chosen. Exact "exactly one" can be expressed as (at least one) ∧ (at most one). At least one: OR of variables whose sets contain m. At most one: pairwise ¬(x_i ∧ x_j) for all i<j both contain m, i.e., (¬x_i ∨ ¬x_j). So formula Φ = ∧_{m∈M} [ (∨_{i: m∈T_i} x_i) ∧ ∧_{i<j: m∈T_i∧m∈T_j} (¬x_i ∨ ¬x_j) ].
Complexity polynomial: number of variables = n, number of clauses O(k * n^2) etc.
Application to instance: M={1,2,3,4}; subsets:
T1={1}
T2={1,3}
T3={1,2,3}
T4={2,4}
T5=∅ (won't matter)
Variables: x1,...,x5.
Now for each element:
- element 1 appears in T1,T2,T3. So clause at least one: (x1 ∨ x2 ∨ x3). Pairwise at most one: (¬x1 ∨ ¬x2) ∧ (¬x1 ∨ ¬x3) ∧ (¬x2 ∨ ¬x3).
- element 2 appears in T3,T4. At least one: (x3 ∨ x4). At most one: (¬x3 ∨ ¬x4).
- element 3 appears in T2,T3. At least: (x2 ∨ x3). At most: (¬x2 ∨ ¬x3).
- element 4 appears in T4 only. At least: (x4). No at-most (single).
Elements with empty coverage? T5 empty irrelevant.
Thus formula Φ = (x1 ∨ x2 ∨ x3) ∧ (¬x1 ∨ ¬x2) ∧ (¬x1 ∨ ¬x3) ∧ (¬x2 ∨ ¬x3) ∧ (x3 ∨ x4) ∧ (¬x3 ∨ ¬x4) ∧ (x2 ∨ x3) ∧ (¬x2 ∨ ¬x3) ∧ (x4).
Simplify: (x4) forces x4 true. Then clause (x3 ∨ x4) satisfied, plus (¬x3 ∨ ¬x4) becomes (¬x3 ∨ false) = ¬x3, so x3 must be false. Then clause (x2 ∨ x3) becomes (x2 ∨ false) => x2 must be true. But then (¬x1 ∨ ¬x2) forces ¬x1 (since x2 true). Also (¬x2 ∨ ¬x3) satisfied because x3 false. Also (¬x2 ∨ ¬x3) already ok. And (¬x1 ∨ ¬x3) satisfied; (¬x1 ∨ ¬x2) forces ¬x1. Now clause (x1 ∨ x2 ∨ x3) becomes (x1 ∨ true ∨ false) true. So assignment works: x4=true, x2=true, others false. That corresponds to selecting T2 and T4? Actually x2 true means T2 selected, x4 true T4 selected. T2={1,3}, T4={2,4}. Covers each element exactly once, good.
Provide sketch of correctness: if there is exact cover S then setting x_i true for sets in S yields satisfying assignment; conversely any satisfying assignment corresponds to a set of true variables forming exact cover because constraints enforce each element appears exactly once.
Thus reduce.
Now produce final answer with proper formatting.
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion $f$ (EXAKTE‑ÜBERDECKUNG → SAT)**
*Eingabe:* ein Paar \((M,T)\) mit
\(M=\{m_1,\dots ,m_k\}\) und \(T=\{T_1,\dots ,T_n\}\) (jede \(T_i\subseteq M\)).
*Ausgabe:* eine aussagenlogische Formel \(\Phi = f(M,T)\) in konjunktiver Normalform.
1. **Variablen.** Für jedes Teilmengenelement \(T_i\) führen wir eine boolesche Variable \(x_i\) ein.
\(x_i = 1\) bedeutet, dass \(T_i\) in die gesuchte exakte Überdeckung aufgenommen wird.
2. **„mindestens‑ein‑Set‑für‑jedes‑Element“-Klauseln.**
Für jedes Element \(m\in M\) bilden wir die Klausel
\[
C_m^{\;\text{at‑least}} \;=\; \bigvee_{i:\,m\in T_i} x_i .
\]
(Falls kein \(T_i\) das Element enthält, ist die Instanz sofort **nicht** lösbar – die Reduktion erzeugt die triviale unbefriedigbare Formel.)
3. **„höchstens‑ein‑Set‑für‑jedes‑Element“-Klauseln.**
Für jedes \(m\in M\) und jedes ungeordnete Paar \((i,j)\) mit \(i<j\) und \(m\in T_i\cap T_j\) fügen wir die Klausel
\[
C_{m,i,j}^{\;\text{at‑most}} \;=\; \lnot x_i \;\lor\; \lnot x_j .
\]
Diese Klauseln verhindern, dass ein Element von zwei unterschiedlichen gewählten Teilmengen gedeckt wird.
4. **Gesamte Formel.**
\[
\Phi \;=\; \bigwedge_{m\in M}\;C_m^{\;\text{at‑least}}
\;\;\land\;\;
\bigwedge_{m\in M}\;\bigwedge_{i<j,\;m\in T_i\cap T_j}\;C_{m,i,j}^{\;\text{at‑most}} .
\]
Die Konstruktion ist eindeutig, benötigt nur das Durchsuchen aller Elemente von \(M\) und aller Mengen von \(T\) und erzeugt polynomial viele Klauseln (höchstens \(|M|\cdot n^2\)). Damit ist \(f\) eine polynomialzeit‑many‑one‑Reduktion.
---
### Korrektheit (Skizze)
*→* Angenommen, es gibt eine exakte Überdeckung \(S\subseteq T\).
Setze \(x_i=1\) genau für die Mengen \(T_i\in S\) und \(x_i=0\) sonst.
Für jedes \(m\in M\) ist wegen der Exaktheit genau ein \(T_i\in S\) mit \(m\in T_i\); damit erfüllt \(C_m^{\;\text{at‑least}}\) und alle „höchstens‑ein‑“‑Klauseln (da nie zwei gewählte Mengen dasselbe Element teilen). Somit ist \(\Phi\) erfüllbar.
*←* Angenommen, \(\Phi\) ist erfüllbar und sei \(\alpha\) eine erfüllende Belegung.
Definiere \(S=\{\,T_i\mid \alpha(x_i)=1\,\}\).
Die „at‑least“‑Klauseln garantieren, dass jedes Element \(m\) in mindestens einer Menge aus \(S\) vorkommt.
Die „at‑most“‑Klauseln verhindern, dass ein Element in zwei verschiedenen Mengen aus \(S\) vorkommt.
Also enthält jedes \(m\) genau eine Menge aus \(S\); das heißt, \(S\) ist eine exakte Überdeckung von \(M\).
Damit gilt: \((M,T)\) hat eine exakte Überdeckung ⇔ \(\Phi\) ist erfüllbar. Somit ist die Reduktion korrekt.
---
## Anwendung auf die gegebene Instanz
**Instanz von EXAKTE‑ÜBERDECKUNG**
\[
\begin{aligned}
M &= \{1,2,3,4\},\\[2pt]
T_1 &= \{1\},\\
T_2 &= \{1,3\},\\
T_3 &= \{1,2,3\},\\
T_4 &= \{2,4\},\\
T_5 &= \emptyset .
\end{aligned}
\]
Wir führen Variablen \(x_1,\dots ,x_5\) ein.
### Klauseln für jedes Element
*Element 1* (in \(T_1,T_2,T_3\)):
\[
\begin{aligned}
C_1^{\text{at‑least}} &: \; (x_1 \lor x_2 \lor x_3)\\
C_{1,1,2}^{\text{at‑most}} &: \;lnot x_1 \lor \lnot x_2)\\
C_{1,1,3}^{\text{at‑most}} &: \; (\lnot x_1 \lor \lnot x_3)\\
C_{1,2,3}^{\text{at‑most}} &: \; (\lnot x_2 \lor \lnot x_3)
\end{aligned}
\]
*Element 2* (in \(T_3,T_4\)):
\[
\begin{aligned}
C_2^{\text{at‑least}} &: \; (x_3 \lor x_4)\\
C_{2,3,4}^{\text{at‑most}} &: \; (\lnot x_3 \lor \lnot x_4)
\end{aligned}
\]
*Element 3* (in \(T_2,T_3\)):
\[
\begin{aligned}
C_3^{\text{at‑least}} &: \; (x_2 \lor x_3)\\
C_{3,2,3}^{\text{at‑most}} &: \; (\lnot x_2 \lor \lnot x_3)
\end{aligned}
\]
*Element 4* (in \(T_4\) allein):
\[
C_4^{\text{at‑least}} :\; (x_4)
\]
(keine „at‑most“‑Klauseln, weil nur ein Set das Element enthält).
\(T_5\) ist leer und erzeugt keine Klauseln.
### Gesamte CNF‑Formel \(\Phi\)
\[
\begin}
\Phi =\;& (x_1 \lor x_2 \lor x_3) \;\land\;
(\lnot x_1 \lor \lnot x_2) \;\land\;
(\lnot x_1 \lor \lnot x_3) \;\land\;
(\lnot x_2 \lor \lnot x_3) \\[2pt]
&\land\; (x_3 \lor x_4) \;\land\;
(\lnot x_3 \lor \lnot x_4) \\[2pt]
&\land\; (x_2 \lor x_3) \;\land\;
(\lnot x_2 \lor \lnot x_3) \\[2pt]
&\land\; (x_4).
\end{aligned}
\]
**Interpretation:**
Die Belegung \(x_2 = 1,\; x_4 = 1\) und \(x_1 = x_3 = x_5 = 0\) erfüllt \(\Phi\).
Sie entspricht genau der Auswahl der Teilmengen \(T_2=\{1,3\}\) und \(T_4=\{2,4\}\), die jedes Element aus \(M\) **einmal** und nur einmal abdecken – also einer exakten Überdeckung.
Damit ist die Reduktion auf die gegebene Instanz vollzogen. ∎
</answer>
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem: Eingabe: Eine endliche Menge und eine Menge von Teilmengen von . Ausgabe: Enthält eine exakte Überdeckung von , d.h. gibt es eine Menge , sodass jedes Element von in genau einer der Teilmengen in vorkommt? Aussage: EXAKTE-ÜBERDECKUNG SAT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an. wobei , , , , .
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
**Reduktionsfunktion $f$ (EXAKTE‑ÜBERDECKUNG → SAT)**
*Eingabe:* ein Paar \((M,T)\) mit
\(M=\{m_1,\dots ,m_k\}\) und \(T=\{T_1,\dots ,T_n\}\) (jede \(T_i\subseteq M\)).
*Ausgabe:* eine aussagenlogische Formel \(\Phi = f(M,T)\) in konjunktiver Normalform.
1. **Variablen.** Für jedes Teilmengenelement \(T_i\) führen wir eine boolesche Variable \(x_i\) ein.
\(x_i = 1\) bedeutet, dass \(T_i\) in die gesuchte exakte Überdeckung aufgenommen wird.
2. **„mindestens‑ein‑Set‑für‑jedes‑Element“-Klauseln.**
Für jedes Element \(m\in M\) bilden wir die Klausel
\[
C_m^{\;\text{at‑least}} \;=\; \bigvee_{i:\,m\in T_i} x_i .
\]
(Falls kein \(T_i\) das Element enthält, ist die Instanz sofort **nicht** lösbar – die Reduktion erzeugt die triviale unbefriedigbare Formel.)
3. **„höchstens‑ein‑Set‑für‑jedes‑Element“-Klauseln.**
Für jedes \(m\in M\) und jedes ungeordnete Paar \((i,j)\) mit \(i<j\) und \(m\in T_i\cap T_j\) fügen wir die Klausel
\[
C_{m,i,j}^{\;\text{at‑most}} \;=\; \lnot x_i \;\lor\; \lnot x_j .
\]
Diese Klauseln verhindern, dass ein Element von zwei unterschiedlichen gewählten Teilmengen gedeckt wird.
4. **Gesamte Formel.**
\[
\Phi \;=\; \bigwedge_{m\in M}\;C_m^{\;\text{at‑least}}
\;\;\land\;\;
\bigwedge_{m\in M}\;\bigwedge_{i<j,\;m\in T_i\cap T_j}\;C_{m,i,j}^{\;\text{at‑most}} .
\]
Die Konstruktion ist eindeutig, benötigt nur das Durchsuchen aller Elemente von \(M\) und aller Mengen von \(T\) und erzeugt polynomial viele Klauseln (höchstens \(|M|\cdot n^2\)). Damit ist \(f\) eine polynomialzeit‑many‑one‑Reduktion.
---
### Korrektheit (Skizze)
*→* Angenommen, es gibt eine exakte Überdeckung \(S\subseteq T\).
Setze \(x_i=1\) genau für die Mengen \(T_i\in S\) und \(x_i=0\) sonst.
Für jedes \(m\in M\) ist wegen der Exaktheit genau ein \(T_i\in S\) mit \(m\in T_i\); damit erfüllt \(C_m^{\;\text{at‑least}}\) und alle „höchstens‑ein‑“‑Klauseln (da nie zwei gewählte Mengen dasselbe Element teilen). Somit ist \(\Phi\) erfüllbar.
*←* Angenommen, \(\Phi\) ist erfüllbar und sei \(\alpha\) eine erfüllende Belegung.
Definiere \(S=\{\,T_i\mid \alpha(x_i)=1\,\}\).
Die „at‑least“‑Klauseln garantieren, dass jedes Element \(m\) in mindestens einer Menge aus \(S\) vorkommt.
Die „at‑most“‑Klauseln verhindern, dass ein Element in zwei verschiedenen Mengen aus \(S\) vorkommt.
Also enthält jedes \(m\) genau eine Menge aus \(S\); das heißt, \(S\) ist eine exakte Überdeckung von \(M\).
Damit gilt: \((M,T)\) hat eine exakte Überdeckung ⇔ \(\Phi\) ist erfüllbar. Somit ist die Reduktion korrekt.
---
## Anwendung auf die gegebene Instanz
**Instanz von EXAKTE‑ÜBERDECKUNG**
\[
\begin{aligned}
M &= \{1,2,3,4\},\\[2pt]
T_1 &= \{1\},\\
T_2 &= \{1,3\},\\
T_3 &= \{1,2,3\},\\
T_4 &= \{2,4\},\\
T_5 &= \emptyset .
\end{aligned}
\]
Wir führen Variablen \(x_1,\dots ,x_5\) ein.
### Klauseln für jedes Element
*Element 1* (in \(T_1,T_2,T_3\)):
\[
\begin{aligned}
C_1^{\text{at‑least}} &: \; (x_1 \lor x_2 \lor x_3)\\
C_{1,1,2}^{\text{at‑most}} &: \;lnot x_1 \lor \lnot x_2)\\
C_{1,1,3}^{\text{at‑most}} &: \; (\lnot x_1 \lor \lnot x_3)\\
C_{1,2,3}^{\text{at‑most}} &: \; (\lnot x_2 \lor \lnot x_3)
\end{aligned}
\]
*Element 2* (in \(T_3,T_4\)):
\[
\begin{aligned}
C_2^{\text{at‑least}} &: \; (x_3 \lor x_4)\\
C_{2,3,4}^{\text{at‑most}} &: \; (\lnot x_3 \lor \lnot x_4)
\end{aligned}
\]
*Element 3* (in \(T_2,T_3\)):
\[
\begin{aligned}
C_3^{\text{at‑least}} &: \; (x_2 \lor x_3)\\
C_{3,2,3}^{\text{at‑most}} &: \; (\lnot x_2 \lor \lnot x_3)
\end{aligned}
\]
*Element 4* (in \(T_4\) allein):
\[
C_4^{\text{at‑least}} :\; (x_4)
\]
(keine „at‑most“‑Klauseln, weil nur ein Set das Element enthält).
\(T_5\) ist leer und erzeugt keine Klauseln.
### Gesamte CNF‑Formel \(\Phi\)
\[
\begin}
\Phi =\;& (x_1 \lor x_2 \lor x_3) \;\land\;
(\lnot x_1 \lor \lnot x_2) \;\land\;
(\lnot x_1 \lor \lnot x_3) \;\land\;
(\lnot x_2 \lor \lnot x_3) \\[2pt]
&\land\; (x_3 \lor x_4) \;\land\;
(\lnot x_3 \lor \lnot x_4) \\[2pt]
&\land\; (x_2 \lor x_3) \;\land\;
(\lnot x_2 \lor \lnot x_3) \\[2pt]
&\land\; (x_4).
\end{aligned}
\]
**Interpretation:**
Die Belegung \(x_2 = 1,\; x_4 = 1\) und \(x_1 = x_3 = x_5 = 0\) erfüllt \(\Phi\).
Sie entspricht genau der Auswahl der Teilmengen \(T_2=\{1,3\}\) und \(T_4=\{2,4\}\), die jedes Element aus \(M\) **einmal** und nur einmal abdecken – also einer exakten Überdeckung.
Damit ist die Reduktion auf die gegebene Instanz vollzogen. ∎qwen/qwen3-235b-a22b
Exercise 7: Reduktion
Nehmen Sie an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „“ für Entscheidungsprobleme . Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben und (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
Subproblem a (4.0/4.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Okay, I need to determine if the statement "HAMILTON-PFAD ≤_p HAMILTON-KREIS" holds under the assumption that P ≠ NP. If it does hold, I must also provide a reduction function and apply it to the given instance. Let's start by understanding what each problem entails.
HAMILTON-PFAD is the problem of determining if a given undirected graph has a Hamiltonian path. A Hamiltonian path is a path that visits every vertex exactly once without the need to return to the starting vertex. HAMILTON-KREIS, on the other hand, asks whether the graph has a Hamiltonian cycle, which is a cycle that starts and ends at the same vertex and visits every other vertex exactly once.
The question is about a polynomial-time reduction from HAMILTON-PFAD to HAMILTON-KREIS. For a reduction to be valid, solving the HAMILTON-KREIS problem on the transformed graph must be equivalent to solving the HAMILTON-PFAD problem on the original graph.
I remember that reductions for such Hamiltonian problems often involve modifying the graph structure so that a cycle in the modified graph implies a path in the original. One standard approach is adding a new vertex connected to all other vertices, which might create cycles where they correspond to paths in the original graph. Let me think through this.
Suppose we have a graph G. We want to create a graph G' such that G has a Hamiltonian path if and only if G' has a Hamiltonian cycle. How?
In some known reductions, when you want to reduce HAMILTON-PFAD to HAMILTON-KREIS (maybe shown in class), you can take G and add a new node that is connected to all existing nodes. But wait, does that work? Let's see. Suppose G has a Hamiltonian path. Adding a new node connected to everyone allows a Hamiltonian cycle in G' by traversing the path and then connecting through the new node. Conversely, a Hamiltonian cycle in G' that includes the new node must have two edges connected to it; following the cycle between its connections would yield a path in G. But perhaps that's the idea.
Alternatively, another approach is to take each existing node v and split it into two nodes, say v_in and v_out, but that's more common in directed graph contexts. Another idea is to create a graph where you add an edge from each of the existing nodes to a common new node. But I need to ensure that the existence of a cycle in the modified graph corresponds exactly to the existence of a path in the original.
Let me think again. Let's suppose that for a graph G, we create a graph G' by adding a copy of a node in G, say, pick a node u in G, and create a graph G' where u is split into u1 and u2. Then a Hamiltonian path in G would correspond to a Hamiltonian cycle in G' only if u1 and u2 are at the ends of the path. Hmm, not sure.
Wait, here's the correct approach. Let's take the original graph G. We need to construct G' such that G has a Hamiltonian path if and only if G' has a Hamiltonian cycle. For that, we can add a new vertex to G. Then, connect this new vertex to all vertices in G. Then, a Hamiltonian path in G can be extended to a cycle in G' by adding the new vertex between the start and end of the path and then connecting back through it. Wait, not exactly. Let's formalize.
Suppose the original graph G has a Hamiltonian path from s to t. Then in the modified graph G', adding a vertex x, and connecting x to s and t. Then, in G', the path can be turned into a cycle by connecting s → ... → t → x → s. But wait, that requires that x's only edges are to s and t. If x is connected to all nodes in G, then maybe it gives more flexibility. Alternatively, connecting x to all nodes might allow a cycle to go through x and ensure the rest of the path is Hamiltonian.
Wait, maybe a better approach is to add a new node connected to all existing nodes. Let's formalize this. For a given graph G with vertices V, create G' by adding a new node w. Then connect w to all vertices in V. Now, if G has a Hamiltonian path, which has n vertices (assuming n=|V|), then G' has n+1 vertices. The Hamiltonian cycle in G' would have to include w. The idea is that the path in G corresponds to a cycle in G' plus w. But how?
In the path, you have a sequence of length n. To form a cycle in G', you could traverse the path, then go from the end of the path to w, then back to the start? No, because how would w connect back to the starting node if they are connected? Because we connected w to all nodes. So, for example, if the original path has start s and end t, then adding edges from w to s and to t. But even if we connect w to all, then in the cycle, the path would be s → ... → t → w → any of the others? No, the cycle must visit all nodes once. Wait, suppose G has a Hamiltonian path. Then in G', the number of vertices is n+1. A Hamiltonian cycle in G' must go through all n+1 nodes. If the original path is s = v1, v2, ..., vn, then the cycle could be s → v2 → ... → vn → w → s. But in this case, the edge w-s must exist. If w is connected to all in G, then yes. So, by connecting w to all, then if G has a Hamiltonian path, then G' would have a cycle. Conversely, if G' has a Hamiltonian cycle, then removing w would leave a Hamiltonian path in G.
Wait, but if the cycle in G' uses some other structure involving w, perhaps multiple times. However, since w is a single node, in a cycle, it can appear only once. So the path in G' would have to traverse all nodes, including w. Therefore, the path in G' would be a path that starts somewhere in G, walks through all nodes of G, then goes through w, and then back to the starting node. But since w is only connected to the nodes in G, the only way to enter and leave w in the cycle is to go from some node in G to w, then to another node in G. But then the cycle would have to connect to another node when leaving w, which isn't possible unless there's a way to go from w to that node. But if we connected w to all nodes in G, then we can do this.
Wait, let me think step by step. Suppose G has a Hamiltonian path P in G. Then, in G', which has G plus a new vertex w connected to all nodes in G, then P + w would form a cycle. Wait, no. The path in G has n nodes. Let's say the path is v_1, v_2, ..., v_n. Then, in G', adding w connected to all vertices. Now, the path in G' can be modified to form a cycle by starting at v_1, going to v_2, ..., v_n, then to w, and then back to v_1. But wait, the edge w-v_1 must exist. Since w is connected to all in G, that edge does exist. Then, would that form a cycle? Because the last edge would be from w to v_1, closing the cycle. So yes. However, the Hamiltonian cycle would have to include all n+1 nodes. So yes, that works.
Conversely, if G' has a Hamiltonian cycle, then removing w from it would leave a path in G that contains all original nodes. Because the cycle in G' must pass through w. Suppose w is between nodes u and v. Then removing w from the cycle gives us a path from u to v, covering all nodes except w, i.e., all original nodes. Thus, this path is a Hamiltonian path in G. Therefore, this seems to form a valid equivalence.
Therefore, the reduction would be: for graph G, add a new node w connected to all nodes in G. Then G has a Hamiltonian path if and only if the new graph G' has a Hamiltonian cycle.
So the function f(G) = G' where G' is constructed by adding a new node w and edges between w and every node in G. This function can be computed in polynomial time because we just iterate through all nodes in G to create edges.
Now, let's check this again. Let's take an example. Suppose G is a line graph: A-B-C. Then the path is A-B-C. In G', there's node w connected to all three. So the cycle would be A-B-C-w-A. So the cycle exists. Similarly, if G has a path, then G' has a cycle. If G does not have a path, then G' cannot have such a cycle.
But wait, what if G already has all nodes connected in a certain way? For example, if G has a Hamiltonian cycle, then obviously it also has a Hamiltonian path. But our reduction is going from Hamilton path to Hamilton cycle, which should be okay.
But given the assumption that P ≠ NP, we know that both HAMILTON-PFAD and HAMILTON-KREIS are NP-complete problems. Therefore, since both are in NP, and we can reduce one to the other, then either way reduction exists. Wait, but the direction here is whether HAMILTON-PFAD is reducible to HAMILTON-KREIS. Since both are NP-complete, by standard completeness, they can be reduced to each other. But the question seems to require for this specific case, and considering the direction from HP to HK.
However, under the assumption that P ≠ NP, the reduction is possible since both are NP-complete. Therefore, the statement HAMILTON-PFAD ≤_p HAMILTON-KREIS holds. So the answer is 1.
But the question requires that if the statement holds, provide a precise reduction function and apply it to the given instance. Let's detail this.
So the reduction function f maps instances of HAMILTON-PFAD (graph G) to HAMILTON-KREIS instances (graph G'). The construction is:
Input: G (original graph with n nodes)
Output: G' = graph constructed from G by adding a new node w and edges from w to all nodes in G.
This transformation can be done in polynomial time.
Now, proving correctness:
If G has a Hamiltonian path: Let the path be v1, v2, ..., vn. Then in G', the cycle is v1 → v2 → ... → vn → w → v1. Therefore, G' has a Hamiltonian cycle.
If G' has a Hamiltonian cycle: Let's say the cycle is C. We need to remove w. Since the cycle passes through every node exactly once, we can write C as: ... → u → w → v → ... . Now, in the cycle, if w is connected to u and v, then since the cycle is a closed path, the u and v are adjacent in the path. Since we can't have multiple passes through w, this sequence appears once. Now, in the path u → ... → v ... → u, inserting the new edge u → v (which may not exist, but perhaps that's not relevant). However, since we need to find a path in G, perhaps by replacing the part where w is, we can construct a path from u to v in G. The cycle is of length n+1, so removing w gives a path of length n. The path in G would start at u, follow the part of the cycle that goes from u to v (excluding w), which covers all the nodes except w. Therefore, u to v is a Hamiltonian path in G. Thus, the existence of a cycle in G' implies the existence of a path in G.
Therefore, the reduction is correct.
Now, applying this to the given instance:
Original graph G has nodes A, B, C, D, E. Edges are A-B, A-C, B-C, C-D, C-E, D-E. Let's try to visualize:
A
/ \
B C
\ / \
D-E
Where C is connected to everyone except perhaps B? Wait:
Edges as listed:
- A connected to B and C
- B connected to C
- C connected to D and E
- D connected to E.
So the structure is a triangle A-B-C, with C connected to D and E. And D and E are connected. Visualizing the graph:
A connected to B and C.
C connected to B, A, D, E.
B connected to A and C.
D connected to C and E.
E connected to C and D.
So the graph's structure is a sort of cross around C.
Now, applying the reduction: add a new node w, connected to A, B, C, D, E. Now, the graph G' has 6 nodes. We need to check if in this new graph there's a Hamiltonian cycle. According to the reduction, if the original graph had a Hamiltonian path, then G' would have a cycle.
But the actual application here is to take the original graph G and apply this transformation to create G', and then conclude that if there is a cycle in G', then G has a path.
But in the reduction, the function is f(G), so the given instance G is transformed into G' as described. The actual application would be: the user wants us to show the transformed graph and how the reduction leads to a yes or no answer.
But perhaps for the application, we need to just describe the transformed graph. However, according to the original question, the task is to apply the reduction to the given instance. So, taking the input HAMILTON-PFAD instance (the specific graph G) and creating G' as per the reduction. Then, solving HAMILTON-KREIS for G' tells whether G has a path.
In the example given:
The original G may or may not have a Hamiltonian path. But according to the reduction, if we create G', then solving HAMILTON-KREIS for G' gives us the answer for HAMILTON-PFAD in G. Let's see:
Let's check if the graph G has a Hamiltonian path. The given graph has nodes A-B-C-D-E. Let's try to find a path. Let's see:
Start at A. Possible path: A -> B -> C -> D -> E. This path has edges A-B (yes), B-C (yes), C-D (yes), D-E (yes). That's a path of length 4 edges covering all 5 nodes. So yes, in this case, there is a Hamiltonian path. Then according to the reduction, the transformed graph G' should have a Hamiltonian cycle.
The transformed graph G' includes node w connected to all other nodes. So the cycle would be A-B-C-D-E-w-A, which forms a cycle. Thus, the reduction would output yes. However, in the original graph, the answer was yes. If there was no Hamiltonian path in G, then the transformed graph would have no cycle.
Therefore, the reduction function is as described, and in this instance, applying it would output a transformed graph that does have a Hamiltonian cycle, which matches that the original G has a Hamiltonian path.
So the conclusion is that the statement holds, and the answer is 1. The reduction function adds a new node connected to all others, then the transformed instance for HAMILTON-KREIS is correct.
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
<ul>
<li><strong>Reduktionsfunktion:</strong></li>
Dabei wird für einen gegebenen Graphen $ G = (V, E) $ ein neuer Graph $ G' = (V \cup \{w\}, E \cup \{\{w, v\} \mid v \in V\}) $ konstruiert. Ein Hamilton-Kreis in $ G' $ korrespondiert mit einem Hamilton-Pfad in $ G $.
<li><strong>Anwendung auf den Graphen:</strong></li>
Der Originalgraph $ G $ mit Knoten $ A, B, C, D, E $ wird um den Knoten $ w $ erweitert, der mit allen existierenden Knoten verbunden ist. Die Kanten von $ w $ zu den Knoten sind: $ w\text{--}A, w\text{--}B, w\text{--}C, w\text{--}D, w\text{--}E $.
<li><strong>Korrektheitsargument (Skizze):</strong></li>
<ul>
<li>$ \Rightarrow $: Ein Hamilton-Pfad $ A\text{--}B\text{--}C\text{--}D\text{--}E $ in $ G $ wird zu einem Hamilton-Kreis $ A\text{--}B\text{--}C\text{--}D\text{--}E\text{--}w\text{--}A $ in $ G' $ erweitert.</li>
<li>$ \Leftarrow $: Ein Hamilton-Kreis in $ G' $ durchläuft alle Knoten, einschließlich $ w $. $ w $ hat nur Kanten zu $ G $, daher muss ein Pfad durch alle Knoten von $ G $ existieren, sobald $ w $ entfernt wird.</li>
</ul>
</ul>
</answer>
Sei ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von ist eine Permutation der Knoten von mit für jedes . Ein Hamilton-Kreis von ist ein Hamilton-Pfad von , der zusätzlich erfüllt. Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat. Aussage: HAMILTON-PFAD HAMILTON-KREIS Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an. Knoten: A, B, C, D, E Kanten: A -- B A -- C B -- C C -- D C -- E D -- E
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
<ul> <li><strong>Reduktionsfunktion:</strong></li> Dabei wird für einen gegebenen Graphen ein neuer Graph konstruiert. Ein Hamilton-Kreis in korrespondiert mit einem Hamilton-Pfad in . <li><strong>Anwendung auf den Graphen:</strong></li> Der Originalgraph mit Knoten wird um den Knoten erweitert, der mit allen existierenden Knoten verbunden ist. Die Kanten von zu den Knoten sind: . <li><strong>Korrektheitsargument (Skizze):</strong></li> <ul> <li>: Ein Hamilton-Pfad in wird zu einem Hamilton-Kreis in erweitert.</li> <li>: Ein Hamilton-Kreis in durchläuft alle Knoten, einschließlich . hat nur Kanten zu , daher muss ein Pfad durch alle Knoten von existieren, sobald entfernt wird.</li> </ul> </ul>
Subproblem b (3.0/3.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
<ul>
<li><strong>Reduktionsfunktion:</strong></li>
Dabei wird für einen gegebenen Graphen $ G = (V, E) $ ein neuer Graph $ G' = (V \cup \{w\}, E \cup \{\{w, v\} \mid v \in V\}) $ konstruiert. Ein Hamilton-Kreis in $ G' $ korrespondiert mit einem Hamilton-Pfad in $ G $.
<li><strong>Anwendung auf den Graphen:</strong></li>
Der Originalgraph $ G $ mit Knoten $ A, B, C, D, E $ wird um den Knoten $ w $ erweitert, der mit allen existierenden Knoten verbunden ist. Die Kanten von $ w $ zu den Knoten sind: $ w\text{--}A, w\text{--}B, w\text{--}C, w\text{--}D, w\text{--}E $.
<li><strong>Korrektheitsargument (Skizze):</strong></li>
<ul>
<li>$ \Rightarrow $: Ein Hamilton-Pfad $ A\text{--}B\text{--}C\text{--}D\text{--}E $ in $ G $ wird zu einem Hamilton-Kreis $ A\text{--}B\text{--}C\text{--}D\text{--}E\text{--}w\text{--}A $ in $ G' $ erweitert.</li>
<li>$ \Leftarrow $: Ein Hamilton-Kreis in $ G' $ durchläuft alle Knoten, einschließlich $ w $. $ w $ hat nur Kanten zu $ G $, daher muss ein Pfad durch alle Knoten von $ G $ existieren, sobald $ w $ entfernt wird.</li>
</ul>
</ul>
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Okay, let's tackle this problem step by step. So, the question is whether 3KNF-SAT can be reduced to CFG-LEERHEIT. The assumption here is that P ≠ NP, but I'm not sure if that directly affects this part. First, let me recall what CFG-LEERHEIT is. It's the problem of deciding if a given context-free grammar (CFG) generates the empty language, meaning it doesn't produce any strings. So, if someone gives us a CFG and asks if L(G) is empty, we need to determine that. Now, the other problem is 3KNF-SAT, which is known to be NP-complete. The reduction here would mean that we transform any instance of 3KNF-SAT into a CFG such that the formula is satisfiable if and only if the grammar is not empty. But wait, the problem says we have to reduce 3KNF-SAT to CFG-LEERHEIT. Since CFG-LEERHEIT is in P for a reason I'm trying to remember. Because if a CFG is non-empty, there must exist at least one derivation path. Checking whether a grammar can generate any string is decidable in linear time using reachability on the variables (like finding if any variable is live). So CFG-LEERHEIT is in P. But if 3KNF-SAT were reducible to CFG-LEERHEIT, then 3KNF-SAT would be in P, because P is closed under reductions. However, under the assumption that P ≠ NP, 3KNF-SAT can't be in P. Therefore, such a reduction can't exist. Wait, so the question here is whether such a reduction exists. If the reduction exists, then that would imply that CFG-LEERHEIT is NP-hard, but since CFG-LEERHEIT is in P (I think so because the emptiness problem for CFGs can be decided in linear time using a reachability analysis), that would imply that P=NP. But since the question assumes P≠NP, the reduction must not be possible. So the statement is false. Therefore, the correct answer here would be that the statement does not hold. The options are option 1: the statement holds (1) or option 2: it doesn't (0). Wait, the options are for the user to select either 1 or 2. So for subproblem b, if the statement is "3KNF-SAT ≤p CFG-LEERHEIT", then under P≠NP, this can't be. Because CFG-LEERHEIT is in P, which is a subset of NP. Therefore, if there's a poly-time reduction to CFG-LEERHEIT, then 3KNF-SAT is in P, contradicting the assumption. Hence, the statement is false. So the options would be option 1 is false, so in the answer, the user would have to mark option 1 as 0 and option 2 as 1. Wait, the options are: <option id="1">Die Aussage gilt</option> <option id="2">Die Aussage gilt nicht</option> So option 1 is "the statement holds", option 2 is "the statement does not hold". Since the statement is false, the answer is option 2:1. But I should make sure that CFG-LEERHEIT is indeed in P. Let me confirm that. The standard way to check if a CFG can generate any string is to find whether any nonterminal can produce a string of terminals by using dependency graphs and reachability (marking variables that can generate terminals, then those that can generate those ones, etc., until no changes occur. If the start variable is marked). This process is linear in the size of the grammar, so it's in P. Therefore, CFG-LEERHEIT is in P. Since 3KNF-SAT is NP-complete, and under the assumption that P≠NP, there can't be a polynomial time reduction from an NP-complete problem to a problem in P. Therefore, the statement HAMILTON-PFAD ≤p HAMILTON-KREIS is not true here would be the case. Wait, no, this is subproblem b. The statement here is 3KNF-SAT ≤p CFG-LEERHEIT. So if such a reduction exists, then since CFG-LEERHEIT is in P, 3KNF-SAT would be in P, which contradicts P≠NP. Therefore, the answer is that the statement does not hold. Therefore, the options are 0 for option 1 and 1 for option 2. Therefore, the user's answer would be: <option id="1">0</option> <option id="2">1</option> And the answer id 3 would be that the statement doesn't hold, so there's no reduction. Therefore, in the answer element, it should say that the statement does not hold. However, the user is instructed that if the statement does not hold, they must prove that it doesn't. In this case, the proof would rely on the assumption that P≠NP. So the reasoning is as follows: Since CFG-LEERHEIT is decidable in P, if there were a polynomial time reduction from 3KNF-SAT to CFG-LEERHEIT, then 3KNF-SAT would be in P. But since 3KNF-SAT is NP-complete and P≠NP by assumption, this is impossible. Therefore, the statement does not hold. The correct answer is that the statement does not hold, hence the answer to option 1 is 0, option 2 is 1. So the final answer should be: <option id="1">0</option> <option id="2">1</option> <answer id="3"> Beweis der Unmöglichkeit: Angenommen, es gäbe eine polynomielle Reduktion von 3KNF-SAT auf CFG-LEERHEIT. Dann wäre L(3KNF-SAT) ≤p L(CFG-LEERHEIT). Da CFG-LEERHEIT in P liegt (Entscheidbarkeit der Leerheit in linearer Zeit), folgt, dass 3KNF-SAT in P wäre. Das steht im Widerspruch zur Annahme P ≠ NP, da 3KNF-SAT NP-vollständig ist. Daher kann die Aussage unter der gegebenen Annahme nicht gelten. </answer> But I need to make sure that the answer structure matches what's required. The user has to state that the statement is invalid. For part b, since the statement is "3KNF-SAT ≤p CFG-LEERHEIT", and this is false, then the answer requires that we prove that it doesn't hold. The answer must state the proof, which is the one I sketched here.
Answer
<option id="1">0</option> <option id="2">1</option> <answer id="3"> Beweis der Unmöglichkeit: **Schlüsselargument:** CFG-LEERHEIT liegt in P, da die Leerheit einer kontextfreien Grammatik in linearer Zeit entschieden werden kann (z. B. durch Erreichbarkeitsanalyse der Startvariablen). Angenommen, die Aussage gelte. Dann gäbe es eine Reduktion von 3KNF-SAT auf CFG-LEERHEIT. Dies würde bedeuten, dass 3KNF-SAT ∈ P. **Widerspruch zu P ≠ NP:** Unter der Annahme P ≠ NP ist dies unmöglich, da 3KNF-SAT ein NP-vollständiges Problem ist. Ein polynomieller Algorithmus für 3KNF-SAT würde somit die Annahme P ≠ NP verletzen. Daher gilt die Aussage nicht. </answer>
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik kein Wort erzeugt, also ob gilt. Aussage: 3KNF-SAT CFG-LEERHEIT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
☐Die Aussage gilt☒Die Aussage gilt nicht
Beweis der Unmöglichkeit: Schlüsselargument: CFG-LEERHEIT liegt in P, da die Leerheit einer kontextfreien Grammatik in linearer Zeit entschieden werden kann (z. B. durch Erreichbarkeitsanalyse der Startvariablen). Angenommen, die Aussage gelte. Dann gäbe es eine Reduktion von 3KNF-SAT auf CFG-LEERHEIT. Dies würde bedeuten, dass 3KNF-SAT ∈ P. Widerspruch zu P ≠ NP: Unter der Annahme P ≠ NP ist dies unmöglich, da 3KNF-SAT ein NP-vollständiges Problem ist. Ein polynomieller Algorithmus für 3KNF-SAT würde somit die Annahme P ≠ NP verletzen. Daher gilt die Aussage nicht.
Subproblem c (7.0/7.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
<ul>
<li><strong>Reduktionsfunktion:</strong></li>
Dabei wird für einen gegebenen Graphen $ G = (V, E) $ ein neuer Graph $ G' = (V \cup \{w\}, E \cup \{\{w, v\} \mid v \in V\}) $ konstruiert. Ein Hamilton-Kreis in $ G' $ korrespondiert mit einem Hamilton-Pfad in $ G $.
<li><strong>Anwendung auf den Graphen:</strong></li>
Der Originalgraph $ G $ mit Knoten $ A, B, C, D, E $ wird um den Knoten $ w $ erweitert, der mit allen existierenden Knoten verbunden ist. Die Kanten von $ w $ zu den Knoten sind: $ w\text{--}A, w\text{--}B, w\text{--}C, w\text{--}D, w\text{--}E $.
<li><strong>Korrektheitsargument (Skizze):</strong></li>
<ul>
<li>$ \Rightarrow $: Ein Hamilton-Pfad $ A\text{--}B\text{--}C\text{--}D\text{--}E $ in $ G $ wird zu einem Hamilton-Kreis $ A\text{--}B\text{--}C\text{--}D\text{--}E\text{--}w\text{--}A $ in $ G' $ erweitert.</li>
<li>$ \Leftarrow $: Ein Hamilton-Kreis in $ G' $ durchläuft alle Knoten, einschließlich $ w $. $ w $ hat nur Kanten zu $ G $, daher muss ein Pfad durch alle Knoten von $ G $ existieren, sobald $ w $ entfernt wird.</li>
</ul>
</ul>
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Beweis der Unmöglichkeit:
**Schlüsselargument:** CFG-LEERHEIT liegt in P, da die Leerheit einer kontextfreien Grammatik in linearer Zeit entschieden werden kann (z. B. durch Erreichbarkeitsanalyse der Startvariablen).
Angenommen, die Aussage gelte. Dann gäbe es eine Reduktion von 3KNF-SAT auf CFG-LEERHEIT. Dies würde bedeuten, dass 3KNF-SAT ∈ P.
**Widerspruch zu P ≠ NP:** Unter der Annahme P ≠ NP ist dies unmöglich, da 3KNF-SAT ein NP-vollständiges Problem ist. Ein polynomieller Algorithmus für 3KNF-SAT würde somit die Annahme P ≠ NP verletzen.
Daher gilt die Aussage nicht.
</answer>
user:
## subproblem c (7.0 points)
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem:
Eingabe: Eine endliche Menge $M=\{m_1, ..., m_k\}$ und eine Menge $T=\{T_1, ..., T_n\}$ von Teilmengen von $M$.
Ausgabe: Enthält $T$ eine *exakte Überdeckung* von $M$, d.h. gibt es eine Menge $S \subseteq T$, sodass jedes Element von $M$ in **genau** einer der Teilmengen in $S$ vorkommt?
**Aussage:** EXAKTE-ÜBERDECKUNG $\leq_p$ SAT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an.
$M\coloneqq\{1,2,3,4\}$
$T\coloneqq\{T_1,T_2,T_3,T_4,T_5\}$
wobei
$T_1\coloneqq\{1\}$,
$T_2\coloneqq\{1,3\}$,
$T_3\coloneqq\{1,2,3\}$,
$T_4\coloneqq\{2,4\}$,
$T_5\coloneqq\emptyset$.
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Okay, let's tackle this problem. So, the question is whether EXAKTE-ÜBERDECKUNG can be reduced to SAT in polynomial time. Since we're assuming P ≠ NP, and both problems are known NP-complete, the reduction should exist. But wait, SAT is NP-complete, and EXACT COVER is also NP-complete, so there should be a reduction. But let me think carefully.
First, the task is to create a reduction from EXAKTE-ÜBERDECKUNG to SAT. The user wants us to either construct the reduction and apply it to a specific instance or show that the reduction is impossible. But under the assumption P ≠ NP, this reduction must exist because both are in NP and SAT is NP-complete. Therefore, the answer should be that the statement holds.
But wait, wait. Let me make sure. The exact cover problem is NP-complete, right? Yes, because it's one of Karp's 21 problems. SAT is also NP-complete. So any problem in NP can be reduced to SAT, which implies there is a polynomial-time reduction. Therefore, the statement "EXAKTE-ÜBERDECKUNG ≤p SAT" must hold. Therefore, the answer should be yes.
Now, I need to construct such a reduction and apply it to the given instance.
How to reduce EXACT COVER to SAT?
In general, to model exact cover as a SAT problem, we need variables that represent the choice of whether to include each subset in the solution. For each element in M, we need clauses that ensure it is covered exactly once.
Let me break it down:
For each element m in M, the exact cover requires that exactly one subset T_j in S contains m. So, in SAT:
For each element m_i (i from 1 to k), we need two parts:
1. At least one subset containing m_i is selected. So, OR clause over variables x_j where T_j contains m_i.
2. No two subsets containing m_i are both selected. So, for every pair j ≠ l where T_j contains m_i and T_l contains m_i, we have a clause (¬x_j ∨ ¬x_l).
Then, the total formula is the conjunction of all these clauses for all elements and all such pairs. If a variable x_j is true, it means subset T_j is selected.
Therefore, the reduction would be:
Given an EXACT COVER instance (M,T), construct a SAT formula where variables are x_1,...,x_n (one per subset in T), and add two types of clauses per element:
- A clause that says that at least one subset covering the element must be chosen.
- Clauses that ensure that at most one subset covering the element is chosen (by negating any two overlapping possibilities).
Let me check if that works. If the SAT problem is satisfiable, then exactly one subset for each element is chosen, and since the selected subsets (x_j = true) must cover all elements exactly once. But wait, how do we know that the subsets corresponding to true variables don't conflict? Because the exact over requires that every element is in exactly one subset, which the clauses ensure.
Therefore, the reduction makes sense. So for each element, the clauses enforce that exactly one subset containing it is chosen. Hence, the SAT formula is satisfiable exactly when there's an exact cover.
Now, applying this to the given instance.
Given M = {1,2,3,4}, T = {T1, T2, T3, T4, T5} where:
T1: {1}, T2: {1,3}, T3: {1,2,3}, T4: {2,4}, T5: empty.
Variables would be x1, x2, x3, x4, x5 (each corresponds to Ti).
Now, for each element in M:
Element 1: appears in T1, T2, T3.
So, clauses:
At least one: (x1 ∨ x2 ∨ x3)
For pairs (x1,x2), (x1,x3), (x2,x3): add clauses (¬x1 ∨ ¬x2), (¬x1 ∨ ¬x3), (¬x2 ∨ ¬x3)
Element 2: in T3, T4.
At least one: (x3 ∨ x4)
For pairs: (¬x3 ∨ ¬x4)
Element 3: in T2, T3.
At least one: (x2 ∨ x3)
Clauses: (¬x2 ∨ ¬x3)
Element 4: in T4.
At least one: x4
Optional? Well, since it's exactly one. Here, exactly one subset covers 4. So since x4 is the only subset containing 4, the clause "x4" must be satisfied. So we need a clause (x4), and since T4 can't have multiple elements violated (since there's only one), that's enough.
So putting all together:
Clauses:
From element 1:
(x1 ∨ x2 ∨ x3)
(¬x1 ∨ ¬x2)
(¬x1 ∨ ¬x3)
(¬x2 ∨ ¬x3)
From element 2:
(x3 ∨ x4)
(¬x3 ∨ ¬x4)
From element 3:
(x2 ∨ x3)
(¬x2 ∨ ¬x3)
From element 4:
(x4)
Wait, but element 3's clauses include (¬x2 ∨ ¬x3), which already occurs in element 1's clauses and also here. So duplicates can be removed.
But when constructing the formula, these are included in the overall conjunction, but duplicates don't affect the result.
Now, solving this SAT instance: let's see possible assignments.
We need x4 to be true (from clause (x4)). Then, element 2's clause x3 ∨ x4, so x3 or true. If x4 is true, then element 2 is satisfied if x3 is false. But in element 3, x2 ∨ x3 must be true. Also, in element 1, x1 ∨ x2 ∨ x3 must be true.
If we take S = {T4, T1}? Wait, T4 covers 2 and 4. T1 covers 1. Element 3 isn't covered. No. Let's think of a real solution.
From the given instance: M={1,2,3,4}, T1={1}, T2={1,3}, T3={1,2,3}, T4={2,4}, T5=empty.
We need a selection S of subsets where each element appears once.
T4 covers 2 and 4. So to cover 4 exactly once, T4 must be in S or another subset that covers 4. Let's see: T4 is the only subset that contains 4 and is non-empty. So S must include T4, since T5 doesn't cover 4. So x4 must be true.
Then, element 2: it is covered by T3 and T4. Since x4 is true, so element 2 is in T4, which is in S. Therefore, no other subset containing 2 can be in S. T3 covers 2. Therefore, T3 is not in S. So x3 is false.
From element 3, which can be covered by either T2 or T3. But T3 is excluded (x3 is false), so T2 must be included. So x2 is true.
Element 1 is covered by T1, T2, T3. But T3 is out (x3 is false). So element 1 must be covered by T1 or T2. However, in S we already have T4 and T2. If we include T2, then T1 must be excluded. Let's see:
So S is {T4, T2, T1}?
Wait, no. If S includes T2, then element 1 is covered. But then for element 3, T2 includes 3. S includes T2, so 3 is covered there. Let's check:
S would be {T2, T4, ...}? Wait, but T4 covers elements 2 and 4. T2 covers elements 1 and 3. Then each element is covered exactly once. Yes! So {T2, T4} covers 1 and 3 (via T2) and 2 and 4 (via T4). Each element is in exactly one set. So that's a valid exact cover.
So in the SAT instance, x2 and x4 should be true. Let's check if this assignment works.
Clauses:
From element 1:
At least one: x1 ∨ x2 ∨ x3. x2 is true. this is satisfied.
Clauses for at most: x1 and x2 can't both be true? Because we have (¬x1 ∨ ¬x2) (the pair in element 1).
If x2 is true, then x1 must be false. Also, x3 must be false.
If S is {T2, T4}, then x2 is true, x4 is true. x3 is false. x1 is false.
Now check all clauses:
Check element 1:
Clauses (x1 ∨ x2 ∨ x3) → true.
Clauses (¬x1 ∨ ¬x2): since x1 is false, ¬x1 is true → clause is satisfied. Similarly, (¬x1 ∨ ¬x3) → since x3 is false, ¬x3 is true. (¬x2 ∨ ¬x3) → x2 true, x3 false: (false ∨ true) → true.
Check element 2:
(x3 ∨ x4) → x4 is true. Satisfied.
(¬x3 ∨ ¬x4) → x3 false, x4 true → ¬x3 is true, so clause satisfied.
Check element 3:
(x2 ∨ x3) → x2 true. Satisfied.
(¬x2 ∨ ¬x3) → both clauses same here. x2 true, x3 false: ¬x2 is false, but ¬x3 is true. So clause satisfied.
Check element 4:
x4 → true. Satisfied.
Thus, the SAT formula has a satisfying assignment (x2 and x4 true, others false), which corresponds to the exact cover {T2, T4}.
So the reduction works. Therefore, the answer is "Die Aussage gilt".
Now, to structure this into the answer format:
Reduktionsfunktion: For each element in M, create clauses that ensure exactly one subset in T covering that element is selected. For each element m in M:
- A clause with variables corresponding to subsets that include m, OR'ed.
- For every pair of subsets that include m, a clause ¬x_j ∨ ¬x_l.
Then, perform this in polynomial time as the number of clauses is O(n^2 * k), where k is the number of elements, and n is the number of subsets.
Anwendung auf die Instanz: The variables are x1-x5, representing the subsets. Then the clauses as explained above.
Korrektheitas Argument: The clauses enforce that for each element, exactly one subset is selected. Thus, a satisfying assignment gives an exact cover by selecting the corresponding subsets.
So, that's the plan.
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
<ul>
<li><strong>Reduktionsfunktion:</strong></li>
Für jede Teilmengeproblem-Instanz $ (M, T) $ wird ein SAT-Problem wie folgt konstruiert:
<ul>
<li>Eine Variable $ x_j $ wird für jede Teilmenge $ T_j \in T $ eingeführt.</li>
<li>Für jedes Element $ m \in M $ werden zwei Arten von Klauseln hinzugefügt:
<ol>
<li><em>Mindestens eine:</em> $ \bigvee_{T_j \ni m} x_j $ (Deckel der alle $ m $ enthalten).</li>
<li><em>Höchstens eine:</em> $ \neg x_j \vee \neg x_{j'} $ für alle Paare $ T_j, T_{j'} \ni m $ mit $ j \ne j' $.</li>
</ol>
</ul>
Die Reduktion führt in polynomialer Zeit aus einer exakten Überdeckung eine erfüllbare Belegung und umgekehrt.
<li><strong>Anwendung auf die Instanz:</strong></li>
Variablen: $ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 $ für $ T_1, T_2, T_3, T_4, T_5 $.
**Element $ 1 $:** Klauseln
\begin{align*}
\text{Mindestens eine:} & x_1 \vee x_2 \vee x_3 \\
\text{Höchstens eine:} & \text{(nur Paare, die 1 enthalten)} \\
& \neg x_1 \vee \neg x_2,\, \neg x_1 \vee \neg x_3,\, \neg x_2 \vee \neg x_3
\end{align*}
**Element $ 2 $:** Klauseln
\begin{align*}
\text{Mindestens eine:} & x_3 \vee x_4 \\
\text{Höchstens eine:} & \neg x_3 \vee \neg x_4
\end{align*}
**Element $ 3 $:** Klauseln
\begin{align*}
\text{Mindestens eine:} & x_2 \vee x_3 \\
\text{Höchstens eine:} & \neg x_2 \vee \neg x_3
\end{align*}
**Element $ 4 $:** Klauseln
\begin{align*}
\text{Mindestens eine:} & x_4 \\
\text{(Trivial: Höchstens eine, da nur $ T_4 $ enthält 4)}
\end{align*}
<li><strong>Korrektheitsargument (Skizze):</strong></li>
<ul>
<li>$ \Rightarrow $: Existiert eine exakte Überdeckung $ S \subseteq T $, dann ist $ x_j = \top $ für $ T_j \in S $. Für jedes Element $ m $ ist genau eine Variable in allen Klauseln wahr, und für Paare gilt $ \neg x_j \vee \neg x_{j'} $, da keine zweifache Abdeckung.</li>
<li>$ \Leftarrow $: Eine erfüllende Belegung definiert $ S \subseteq T $ durch $ T_j \in S \iff x_j = \top $. Klauseln fuer Mindestens-eine und Höchstens-eine garantieren, dass $ S $ eine exakte Überdeckung ist.</li>
</ul>
</ul>
</answer>
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem: Eingabe: Eine endliche Menge und eine Menge von Teilmengen von . Ausgabe: Enthält eine exakte Überdeckung von , d.h. gibt es eine Menge , sodass jedes Element von in genau einer der Teilmengen in vorkommt? Aussage: EXAKTE-ÜBERDECKUNG SAT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an. wobei , , , , .
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
<ul>
<li><strong>Reduktionsfunktion:</strong></li>
Für jede Teilmengeproblem-Instanz $ (M, T) $ wird ein SAT-Problem wie folgt konstruiert:
<ul>
<li>Eine Variable $ x_j $ wird für jede Teilmenge $ T_j \in T $ eingeführt.</li>
<li>Für jedes Element $ m \in M $ werden zwei Arten von Klauseln hinzugefügt:
<ol>
<li><em>Mindestens eine:</em> $ \bigvee_{T_j \ni m} x_j $ (Deckel der alle $ m $ enthalten).</li>
<li><em>Höchstens eine:</em> $ \neg x_j \vee \neg x_{j'} $ für alle Paare $ T_j, T_{j'} \ni m $ mit $ j \ne j' $.</li>
</ol>
</ul>
Die Reduktion führt in polynomialer Zeit aus einer exakten Überdeckung eine erfüllbare Belegung und umgekehrt.
<li><strong>Anwendung auf die Instanz:</strong></li>
Variablen: $ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 $ für $ T_1, T_2, T_3, T_4, T_5 $.
**Element $ 1 $:** Klauseln
\begin{align*}
\text{Mindestens eine:} & x_1 \vee x_2 \vee x_3 \\
\text{Höchstens eine:} & \text{(nur Paare, die 1 enthalten)} \\
& \neg x_1 \vee \neg x_2,\, \neg x_1 \vee \neg x_3,\, \neg x_2 \vee \neg x_3
\end{align*}
**Element $ 2 $:** Klauseln
\begin{align*}
\text{Mindestens eine:} & x_3 \vee x_4 \\
\text{Höchstens eine:} & \neg x_3 \vee \neg x_4
\end{align*}
**Element $ 3 $:** Klauseln
\begin{align*}
\text{Mindestens eine:} & x_2 \vee x_3 \\
\text{Höchstens eine:} & \neg x_2 \vee \neg x_3
\end{align*}
**Element $ 4 $:** Klauseln
\begin{align*}
\text{Mindestens eine:} & x_4 \\
\text{(Trivial: Höchstens eine, da nur $ T_4 $ enthält 4)}
\end{align*}
<li><strong>Korrektheitsargument (Skizze):</strong></li>
<ul>
<li>$ \Rightarrow $: Existiert eine exakte Überdeckung $ S \subseteq T $, dann ist $ x_j = \top $ für $ T_j \in S $. Für jedes Element $ m $ ist genau eine Variable in allen Klauseln wahr, und für Paare gilt $ \neg x_j \vee \neg x_{j'} $, da keine zweifache Abdeckung.</li>
<li>$ \Leftarrow $: Eine erfüllende Belegung definiert $ S \subseteq T $ durch $ T_j \in S \iff x_j = \top $. Klauseln fuer Mindestens-eine und Höchstens-eine garantieren, dass $ S $ eine exakte Überdeckung ist.</li>
</ul>
</ul>qwen/qwen3-235b-a22b-thinking-2507
Exercise 7: Reduktion
Nehmen Sie an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „“ für Entscheidungsprobleme . Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben und (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
Subproblem a (4.0/4.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Okay, let's try to tackle this problem. So, the question is whether HAMILTON-PFAD (Hamilton Path) is polynomial-time reducible to HAMILTON-KREIS (Hamiltonian Circuit) under the assumption that P ≠ NP. And we need to decide if the statement HAMILTON-PFAD ≤p HAMILTON-KREIS is true. If it is, we have to provide a reduction function and apply it to the given instance. If not, prove why not.
First, let me recall what these problems are. A Hamilton Path is a path that visits every vertex exactly once, and a Hamilton Circuit (or cycle) is a Hamilton Path that starts and ends at the same vertex, forming a cycle.
The standard approach when reducing between these problems is often to modify the original graph in some way to transform a Hamilton Path problem into a Hamilton Circuit problem. Wait, but here the reduction is from Hamilton Path to Hamilton Circuit. Wait, no—the problem says HAMILTON-PFAD ≤p HAMILTON-KREIS. So given a graph G for which we want to know if it has a Hamilton Path, we need to construct a graph G' such that G has a Hamilton Path iff G' has a Hamilton Circuit.
Hmm. Let me remember common reductions here. There's a known reduction from Hamilton Path (on directed graphs) to Hamilton Circuit, but this is for undirected. Alternatively, maybe adding a new node connected to all others?
Wait, one common technique for the reduction from Hamilton Path to Hamilton Circuit for undirected graphs is adding two new nodes. Wait, but let's think.
Alternatively, to check if a graph G has a Hamilton Path, you can create a graph G' by adding a new vertex connected to all existing vertices. Then, if G has a Hamilton Path, you can connect the start and end via the new vertex to form a cycle. Wait, but I might be mixing things up.
Wait, the standard reduction from Hamilton Path to Hamilton Cycle is as follows. Suppose we have a graph G where we want to know if there's a Hamilton Path. We construct G' by adding a new vertex, say, u. Then connect u to every vertex in G. Now, does G have a Hamilton Path iff G' has a Hamilton Cycle?
Wait, let's see. If G has a Hamilton Path (v1, v2, ..., vn), then in G', connect u to v1 and vn. So the cycle would be u → v1 → ... → vn → u. But wait, but in G', we need the cycle to go through all nodes. So yes, adding u connected to all, then a Hamilton Path in G corresponds to a Hamilton Cycle in G' that starts and ends at u via the Path's endpoints.
Wait, but maybe another approach is better. Alternatively, take two copies of the graph and link the corresponding nodes. Hmm, perhaps I need to be precise here.
Wait, actually, the standard way to reduce Hamilton Path (decision problem) to Hamilton Cycle is as follows. Given G = (V, E), create a new graph G' which includes all the vertices of G plus an extra vertex u. Then, for every vertex v in G, add an edge between u and v. Now, G has a Hamilton Path if and only if G' has a Hamilton Cycle.
Wait, let me check that.
Suppose G has a Hamilton Path v1, v2, ..., vn. Then in G', we can form a cycle by u → v1 → v2 → ... → vn → u. Since all edges from u to vi's are present. So that would be a cycle. Conversely, if G' has a Hamilton Cycle, then since u has to be included. The cycle would have to enter and exit u through two edges. But since u is connected to every node, the cycle must go u → v_i → ... → v_j → u. The part between v_i and v_j must be a path covering all other vertices, so v_i ... v_j is a Hamilton Path in G.
But wait, the problem here is that the endpoints of the Hamilton Path would have to be connected to u. So yes, the cycle in G' would correspond to a Hamilton Path in G whose endpoints are adjacent to u, but since u is connected to all, the path can be from any two endpoints. Hmm, perhaps this works.
Wait, but let's see. Suppose G has a Hamilton Path. Then G' has a Hamilton Cycle. Conversely, if G' has a Hamilton Cycle, then removing u from the cycle gives a Hamilton Path in G. Wait, yes. Because the cycle in G' must enter u through one edge and leave via another. So the cycle would look like ... v_i - u - v_j ..., so the rest of the cycle is a path from v_i to v_j covering all other vertices. Which is a Hamilton Path in G between v_i and v_j. So G has a Hamilton Path. So yes, G has a Hamilton Path iff G' has a Hamilton Cycle.
But wait, the problem is that in this construction, G' will have a Hamilton Cycle exactly when G has a Hamilton Path. Wait, but that's the reduction. Wait, but the reduction should be from HAMILTON-PFAD (does G have a Hamilton Path?) to HAMILTON-KREIS (does G' have a Hamilton Circuit?).
Wait, but according to this, if we can create G' as above, then solving HAMILTON-KREIS on G' gives an answer for HAMILTON-PFAD on G. So the reduction would be valid.
Wait, but the specific approach here is that given a graph G (instance of Hamilton Path), construct G' by adding a new node connected to all nodes in G. Then G has a Hamilton Path iff G' has a Hamilton Cycle.
Wait, but wait another thought: In the standard reduction between these problems, to turn a Hamilton Path problem into a Hamilton Cycle problem, sometimes we fix the start and end. Wait, for example, another approach is: pick a vertex s and make a graph where you force entering through s. Hmm, maybe not.
Alternatively, perhaps another method: add two new vertices, s and t, connect s to all vertices, and t to all vertices, then check for a Hamilton path from s to t. Not sure.
Wait, let's think again. The question here is whether HAMILTON-PFAD ≤p HAMILTON-KREIS. So given a graph G for which we want to know if there is a Hamilton Path, can we transform it to a graph G' such that G has a Hamilton Path iff G' has a Hamilton Cycle.
Wait, here's a different approach. If you take G and add two new vertices, a and b. Connect a to all vertices in G, and connect b to all vertices. Then, a Hamilton Cycle in G' would need to go through a and b, but I'm not sure. Alternatively, make a and b connected only to a specific vertex. Hmm.
Wait, but maybe the standard reduction is as follows: Given G, create G' by adding a new vertex u, and making u adjacent to all vertices in G. Then, G has a Hamilton Path if and only if G' has a Hamilton Circuit.
Let me verify this.
Suppose G has a Hamilton Path: v1 → v2 → ... → vn. Then, in G', create the cycle u → v1 → v2 → ... → vn → u. Since all edges (u, v1), (vn, u) exist, this is a Hamilton Circuit.
Conversely, if G' has a Hamilton Circuit, then since u has degree n (connected to all n original vertices), the circuit must enter u and exit via two different edges. So, the sequence around u would be some vi → u → vj. The rest of the circuit is a path from vj to vi covering all other n-1 original vertices. But since there are n original vertices (excluding u), the path from vj to vi must cover all of them. Wait, the original graph G has n vertices, G' has n+1 vertices. So the cycle in G' must traverse all n+1 vertices, so the path from vj back to vi must cover all n vertices (excluding u), which would make it a Hamilton Path in G from vi to vj. Wait, but does it cover all n vertices? Because the path from vi to vj (as part of the cycle that skips u) would have to include all original vertices except none: since u is part of the cycle only once. Wait, no: the cycle in G' is a permutation of all n+1 vertices, so between vi and vj in G', the cycle goes through u, but the rest of the cycle is a path of length n (since total vertices n+1). Wait, maybe better phrased:
Suppose G has n vertices. G' has n+1 vertices. A Hamilton Circuit in G' has n+1 edges. The circuit must include u, so let's say the neighbors of u in the cycle are x and y (two vertices in G). Then the cycle can be written as x → ... → y → u → x. The path from x to y (not including u) must cover all vertices of G (since u is only included once), which are n vertices, so the path x → ... → y must be length n-1, visiting all n vertices (including x and y). So this path is a Hamilton Path in G from x to y. Thus, G has a Hamilton Path.
Therefore, this reduction works. So the reduction function f takes an instance G of HAMILTON-PFAD and outputs the graph G' which is G plus a new vertex u connected to all vertices of G.
Therefore, HAMILTON-PFAD ≤p HAMILTON-KREIS.
Wait, but the problem is stated as HAMILTON-PFAD ≤p HAMILTON-KREIS, so yes, this reduction would show that.
But wait, there's another consideration. The HAMILTON-KREIS problem is NP-complete, and HAMILTON-PFAD is also NP-complete. So reducing one to the other should be possible.
Wait, but is this construction correct? Let me think about the direction. If G has a Hamilton Path, then G' has a Hamilton Circuit. If G' has a Hamilton Circuit, then G has a Hamilton Path. So yes, the equivalence holds.
Another check: take a graph with two vertices and one edge. G has V={a,b}, E={(a,b)}. Hamilton Path exists (a-b). Then G' adds u connected to a and b. So the Hamilton Circuit would be u-a-b-u. Correct.
If G is a triangle (three nodes all connected), then Hamilton Path exists. Adding u connected to all three. Then G' has a Hamilton Circuit: u-a-b-c-u. Wait, but in G, a Hamilton Path is a-b-c (though in a triangle, there's a cycle, but a path would still exist). Wait, but regardless, the reduction holds.
Another example: G is a path graph A-B-C. So three nodes in a line. Does G have a Hamilton Path? Yes: A-B-C. Then G' has u connected to A, B, C. Then G' has a Hamilton Circuit: u-A-B-C-u.
Conversely, if G is two disconnected nodes. Then G has no Hamilton Path (needs to cover both, but no edge). G' has u connected to both. G' has three nodes: u, A, B. Edges: u-A, u-B. So the graph G' is a star with u in center. Can we have a Hamilton Circuit? A cycle covering all three nodes. But in G', edges are u-A, u-B. To make a cycle, you'd need A-u-B-A, but there's no edge B-A. So no Hamilton Circuit. Correct, as G had no Hamilton Path.
So the reduction seems correct.
Therefore, the answer is that the statement holds.
Now, the next part is to apply the reduction to the given instance.
The instance of HAMILTON-PFAD is a graph with nodes A,B,C,D,E and edges as listed.
We need to apply the reduction function: add a new node (let's say F), connect F to all existing nodes (A,B,C,D,E).
So the reduced instance G' has nodes A,B,C,D,E,F. Edges include all original edges plus F connected to each of A,B,C,D,E.
Now, the original graph's edges are:
A-B, A-C, B-C, C-D, C-E, D-E.
Now, applying the reduction. The task says: "apply the reduction on the given instance" — probably meaning to construct the graph G' as per the reduction.
So the specific answer should describe G'.
Now, the next step is to see if the original graph has a Hamilton Path. Wait, but the problem says to apply the reduction function (which constructs G') and presumably, we don't need to solve it, just construct G'.
Wait, the problem states: "wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an." So apply the reduction function to the instance. That means take the given graph and describe G'.
But in the answer format, it says to provide the answer in the answer element. The answer is supposed to have a reduction and then apply it.
Wait, the question requires:
If the statement holds: (1) precise reduction function, (2) apply to given instance.
So in the answer, we need to specify the reduction function (which is adding a universal vertex), then show G' as constructed.
So first, the reduction function f is as follows: Given graph G=(V,E), f(G) = G' where G' has vertex set V ∪ {u}, with u a new vertex, and edge set E ∪ {{u, v} | v ∈ V }.
Then, for the specific instance:
Original nodes A,B,C,D,E. Add new node, say call it X. Edges added: X-A, X-B, X-C, X-D, X-E.
Therefore, the new graph G' has edges:
Original edges:
A-B, A-C, B-C, C-D, C-E, D-E.
Plus:
X-A, X-B, X-C, X-D, X-E.
Now, to describe it properly.
The problem asks to apply the reduction to the given instance, so the answer should describe G'.
Now, we need to make sure that this construction correctly transforms the problem. Since the original graph G has a Hamilton Path iff G' has a Hamilton Circuit.
The original question's graph: let's check if G has a Hamilton Path. But the problem doesn't ask us to solve it, just to apply the reduction.
Assuming the reduction works, applying it to the given instance would produce G' as described.
So the answer should state the reduction function and show the graph G'.
Now, the answer format requires the answer to have:
- Options selected (which one holds, 1 or 2)
- Then in the answer section, the reduction function and the application.
But according to the instructions:
"If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1."
So here, option 1 is "Die Aussage gilt", option 2 "Die Aussage gilt nicht". So we need to set option 1 to 1 (true), option 2 to 0.
Then in the answer element, need to describe the reduction and application.
The answer must follow the template. Wait, looking at the answer format:
<answer id="3">
...
</answer>
No specific template is given in the problem (no <answer-template> or <example>), so perhaps the user wants a textual answer explaining the reduction and the application.
But looking back, in the problem statement:
"Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an."
So since the statement does hold, we need to:
1. Specify the reduction function precisely.
2. Apply it to the given instance.
3. Sketch the correctness.
In the answer section, we need to provide all that.
So the answer should be structured as:
- Definition of reduction function.
- Application to given instance (describe G').
- Sketch of correctness.
Given that, in the answer.
So writing this:
Reduktion function f: Given graph G = (V, E), construct G' = (V ∪ {u}, E ∪ {{u, v} | v ∈ V}), where u is a new vertex.
Then, applying to the given instance: Nodes are A,B,C,D,E,X (assuming X is the new node). Edges include all original edges plus X connected to A,B,C,D,E.
Sketch of correctness: As explained above, G has a Hamilton Path iff G' has a Hamilton Cycle.
Now, the problem specifies to only sketch the correctness. So the answer should be like that.
Now, the given graph: does it have a Hamilton Path?
Wait, the graph edges:
A connected to B, C.
B connected to A, C.
C connected to A, B, D, E.
D connected to C, E.
E connected to C, D.
Let me visualize:
Nodes: A and B are connected to each other and to C. C is connected to D and E. D and E are connected.
So possible Hamilton Path:
Let's see. Starting at A: A-B-C-D-E. That's a path covering all 5 nodes. Yes. So A, B, C, D, E.
A-B is edge, B-C, C-D, D-E. Wait, no. C-D and D-E are edges. So the sequence A-B-C-D-E: edges A-B, B-C, C-D, D-E. Yes, all present. So original graph does have a Hamilton Path.
Therefore, the reduced graph G' should have a Hamilton Cycle.
Indeed, using the construction: add node X connected to all. Then the cycle would be X-A-B-C-D-E-X.
Check edges: X-A exists, A-B (yes), B-C (yes), C-D (yes), D-E (yes), E-X (yes). So cycle is formed.
Therefore, the transformed instance G' should have a Hamilton Cycle, which it does.
But the problem doesn't require us to solve the instance, just to apply the reduction.
So the final answer is option 1 selected (1), option 2 (0), then the answer describes the reduction, applies it, and sketches correctness.
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion:** Sei $G = (V, E)$ eine Instanz von HAMILTON-PFAD. Definiere die Reduktionsfunktion $f$, die $G$ auf einen neuen Graphen $G' = (V', E')$ abbildet, wobei:
- $V' = V \cup \{u\}$ ($u$ ist ein neu hinzugefügter Knoten),
- $E' = E \cup \{\{u, v\} \mid v \in V\}$.
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
Gegebener Graph $G$ mit Knoten $\{A, B, C, D, E\}$ und Kanten $\{A\text{--}B, A\text{--}C, B\text{--}C, C\text{--}D, C\text{--}E, D\text{--}E\}$.
Der transformierte Graph $G' = f(G)$ hat:
- Knoten: $A, B, C, D, E, u$,
- Kanten: Alle Kanten von $G$ **und** zusätzliche Kanten $\{u\text{--}A, u\text{--}B, u\text{--}C, u\text{--}D, u\text{--}E\}$.
**Korrektheit (Skizze):**
- **Hinrichtung:** Besitzt $G$ einen Hamilton-Pfad $v_1\text{--}\dots\text{--}v_n$, so bildet $u\text{--}v_1\text{--}\dots\text{--}v_n\text{--}u$ einen Hamilton-Kreis in $G'$, da $u$ mit allen Knoten verbunden ist.
- **Rückrichtung:** Enthält $G'$ einen Hamilton-Kreis, so muss dieser $u$ enthalten. Durch Entfernen von $u$ und Verbinden seiner Nachbarn entsteht ein Hamilton-Pfad in $G$.
- Die Reduktion ist offensichtlich in polynomieller Zeit berechenbar, da sie lediglich einen Knoten und $n$ Kanten hinzufügt.
</answer>
Sei ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von ist eine Permutation der Knoten von mit für jedes . Ein Hamilton-Kreis von ist ein Hamilton-Pfad von , der zusätzlich erfüllt. Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat. Aussage: HAMILTON-PFAD HAMILTON-KREIS Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an. Knoten: A, B, C, D, E Kanten: A -- B A -- C B -- C C -- D C -- E D -- E
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Reduktionsfunktion: Sei eine Instanz von HAMILTON-PFAD. Definiere die Reduktionsfunktion , die auf einen neuen Graphen abbildet, wobei: - ( ist ein neu hinzugefügter Knoten), - . Anwendung auf die gegebene Instanz: Gegebener Graph mit Knoten und Kanten . Der transformierte Graph hat: - Knoten: , - Kanten: Alle Kanten von und zusätzliche Kanten . Korrektheit (Skizze): - Hinrichtung: Besitzt einen Hamilton-Pfad , so bildet einen Hamilton-Kreis in , da mit allen Knoten verbunden ist. - Rückrichtung: Enthält einen Hamilton-Kreis, so muss dieser enthalten. Durch Entfernen von und Verbinden seiner Nachbarn entsteht ein Hamilton-Pfad in . - Die Reduktion ist offensichtlich in polynomieller Zeit berechenbar, da sie lediglich einen Knoten und Kanten hinzufügt.
Subproblem b (3.0/3.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion:** Sei $G = (V, E)$ eine Instanz von HAMILTON-PFAD. Definiere die Reduktionsfunktion $f$, die $G$ auf einen neuen Graphen $G' = (V', E')$ abbildet, wobei:
- $V' = V \cup \{u\}$ ($u$ ist ein neu hinzugefügter Knoten),
- $E' = E \cup \{\{u, v\} \mid v \in V\}$.
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
Gegebener Graph $G$ mit Knoten $\{A, B, C, D, E\}$ und Kanten $\{A\text{--}B, A\text{--}C, B\text{--}C, C\text{--}D, C\text{--}E, D\text{--}E\}$.
Der transformierte Graph $G' = f(G)$ hat:
- Knoten: $A, B, C, D, E, u$,
- Kanten: Alle Kanten von $G$ **und** zusätzliche Kanten $\{u\text{--}A, u\text{--}B, u\text{--}C, u\text{--}D, u\text{--}E\}$.
**Korrektheit (Skizze):**
- **Hinrichtung:** Besitzt $G$ einen Hamilton-Pfad $v_1\text{--}\dots\text{--}v_n$, so bildet $u\text{--}v_1\text{--}\dots\text{--}v_n\text{--}u$ einen Hamilton-Kreis in $G'$, da $u$ mit allen Knoten verbunden ist.
- **Rückrichtung:** Enthält $G'$ einen Hamilton-Kreis, so muss dieser $u$ enthalten. Durch Entfernen von $u$ und Verbinden seiner Nachbarn entsteht ein Hamilton-Pfad in $G$.
- Die Reduktion ist offensichtlich in polynomieller Zeit berechenbar, da sie lediglich einen Knoten und $n$ Kanten hinzufügt.
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Okay, let's tackle this problem. So, the question is whether 3KNF-SAT is polynomial-time reducible to CFG-LEERHEIT. The statement given is "3KNF-SAT ≤ₚ CFG-LEERHEIT", and we need to determine if this holds under the assumption that P ≠ NP. First, I need to recall what CFG-LEERHEIT is. It's the problem of deciding whether a given context-free grammar (CFG) generates an empty language, i.e., L(G) = ∅. Now, 3KNF-SAT is the problem of determining if a given Boolean formula in 3-conjunctive normal form (3CNF) is satisfiable. The classic result here is that 3SAT is NP-complete, so it's in NP, and CFG-LEERHEIT... Wait, what's the complexity of CFG-LEERHEIT? I remember that checking if a CFG generates an empty language is decidable and can be done in linear time by checking if the start symbol can derive any string of terminals. This is a standard algorithm where you mark symbols as reachable starting from the start symbol and see if any terminal strings can be formed. So CFG-LEERHEIT is in P. Wait, but if CFG-LEERHEIT is in P, then if 3KNF-SAT (which is NP-complete) reduces to it, that would imply that P = NP, because any NP problem would reduce to a P problem. But the problem states to assume that P ≠ NP. Therefore, such a reduction would not exist under that assumption. Let me verify. If A ≤ₚ B and B is in P, then A must also be in P. Since 3KNF-SAT is NP-complete, if it reduced to CFG-LEERHEIT (which is in P), then P would equal NP. But under the assumption that P ≠ NP, this reduction cannot exist. Therefore, the statement "3KNF-SAT ≤ₚ CFG-LEERHEIT" must be false. So the answer should be that the statement does not hold. Therefore, option 2 (Die Aussage gilt nicht) gets a 1, and option 1 gets 0. Now, to confirm, let's think again. CFG-LEERHEIT is in P, right? The emptiness problem for CFGs is solvable in polynomial time. Yes, the standard algorithm is non-recursive: mark all terminal symbols, then iteratively mark non-terminals that can derive marked symbols until no more can be added. If the start symbol is marked, then the language is non-empty; otherwise, empty. So this is O(n), linear time. Since 3SAT is NP-hard, if there were a polynomial-time reduction from 3SAT to CFG-LEERHEIT, then since CFG-LEERHEIT is in P, 3SAT would be in P, which contradicts P ≠ NP. Therefore, under the assumption P ≠ NP, such a reduction cannot exist. Therefore, the statement is false. So for subproblem b, the correct answer is that the statement does not hold. So options: id=1 is 0, id=2 is 1. No need to provide a reduction because it's supposed to not hold, so the answer is just the options and then a proof of why it doesn't hold. The user instruction says: If the statement holds, provide reduction and apply it; if not, prove it. Since it's not holding, I need to explain why it can't hold. So in the answer, since the statement does not hold, option 2 is 1, and the answer should explain that because CFG-LEERHEIT is in P, while 3KNF-SAT is NP-hard, so such a reduction would imply P=NP, contradicting the assumption. Yes, that's the proof. So that's correct.
Answer
<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
**Beweis, dass die Aussage nicht gilt:**
Unter der Annahme $\P \ne \NP$ gilt, dass CFG-LEERHEIT in $\P$ liegt. Das Problem CFG-LEERHEIT ist effizient lösbar: Ein Algorithmus mit Laufzeit $\mathcal{O}(|G|)$ prüft, ob das Startsymbol der Grammatik $G$ terminale Zeichen ableiten kann (durch Markieren von Symbolen, die zu Terminalen reduzieren). Da $3\text{KNF-SAT}$ $\NP$-vollständig ist, würde eine polynomielle Reduktion $3\text{KNF-SAT} \leq_p \text{CFG-LEERHEIT}$ implizieren, dass $3\text{KNF-SAT}$ in $\P$ liegt. Dies widerspricht $\P \ne \NP$. Somit kann die Reduktion nicht existieren.
</answer>
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik kein Wort erzeugt, also ob gilt. Aussage: 3KNF-SAT CFG-LEERHEIT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
☐Die Aussage gilt☒Die Aussage gilt nicht
Beweis, dass die Aussage nicht gilt: Unter der Annahme gilt, dass CFG-LEERHEIT in liegt. Das Problem CFG-LEERHEIT ist effizient lösbar: Ein Algorithmus mit Laufzeit prüft, ob das Startsymbol der Grammatik terminale Zeichen ableiten kann (durch Markieren von Symbolen, die zu Terminalen reduzieren). Da -vollständig ist, würde eine polynomielle Reduktion implizieren, dass in liegt. Dies widerspricht . Somit kann die Reduktion nicht existieren.
Subproblem c (7.0/7.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion:** Sei $G = (V, E)$ eine Instanz von HAMILTON-PFAD. Definiere die Reduktionsfunktion $f$, die $G$ auf einen neuen Graphen $G' = (V', E')$ abbildet, wobei:
- $V' = V \cup \{u\}$ ($u$ ist ein neu hinzugefügter Knoten),
- $E' = E \cup \{\{u, v\} \mid v \in V\}$.
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
Gegebener Graph $G$ mit Knoten $\{A, B, C, D, E\}$ und Kanten $\{A\text{--}B, A\text{--}C, B\text{--}C, C\text{--}D, C\text{--}E, D\text{--}E\}$.
Der transformierte Graph $G' = f(G)$ hat:
- Knoten: $A, B, C, D, E, u$,
- Kanten: Alle Kanten von $G$ **und** zusätzliche Kanten $\{u\text{--}A, u\text{--}B, u\text{--}C, u\text{--}D, u\text{--}E\}$.
**Korrektheit (Skizze):**
- **Hinrichtung:** Besitzt $G$ einen Hamilton-Pfad $v_1\text{--}\dots\text{--}v_n$, so bildet $u\text{--}v_1\text{--}\dots\text{--}v_n\text{--}u$ einen Hamilton-Kreis in $G'$, da $u$ mit allen Knoten verbunden ist.
- **Rückrichtung:** Enthält $G'$ einen Hamilton-Kreis, so muss dieser $u$ enthalten. Durch Entfernen von $u$ und Verbinden seiner Nachbarn entsteht ein Hamilton-Pfad in $G$.
- Die Reduktion ist offensichtlich in polynomieller Zeit berechenbar, da sie lediglich einen Knoten und $n$ Kanten hinzufügt.
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
**Beweis, dass die Aussage nicht gilt:**
Unter der Annahme $\P \ne \NP$ gilt, dass CFG-LEERHEIT in $\P$ liegt. Das Problem CFG-LEERHEIT ist effizient lösbar: Ein Algorithmus mit Laufzeit $\mathcal{O}(|G|)$ prüft, ob das Startsymbol der Grammatik $G$ terminale Zeichen ableiten kann (durch Markieren von Symbolen, die zu Terminalen reduzieren). Da $3\text{KNF-SAT}$ $\NP$-vollständig ist, würde eine polynomielle Reduktion $3\text{KNF-SAT} \leq_p \text{CFG-LEERHEIT}$ implizieren, dass $3\text{KNF-SAT}$ in $\P$ liegt. Dies widerspricht $\P \ne \NP$. Somit kann die Reduktion nicht existieren.
</answer>
user:
## subproblem c (7.0 points)
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem:
Eingabe: Eine endliche Menge $M=\{m_1, ..., m_k\}$ und eine Menge $T=\{T_1, ..., T_n\}$ von Teilmengen von $M$.
Ausgabe: Enthält $T$ eine *exakte Überdeckung* von $M$, d.h. gibt es eine Menge $S \subseteq T$, sodass jedes Element von $M$ in **genau** einer der Teilmengen in $S$ vorkommt?
**Aussage:** EXAKTE-ÜBERDECKUNG $\leq_p$ SAT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an.
$M\coloneqq\{1,2,3,4\}$
$T\coloneqq\{T_1,T_2,T_3,T_4,T_5\}$
wobei
$T_1\coloneqq\{1\}$,
$T_2\coloneqq\{1,3\}$,
$T_3\coloneqq\{1,2,3\}$,
$T_4\coloneqq\{2,4\}$,
$T_5\coloneqq\emptyset$.
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Thoughts
Okay, let's see. The problem is whether EXAKTE-ÜBERDECKUNG (Exact Cover) is polynomial-time reducible to SAT. First, I need to recall what these problems are.
EXAKTE-ÜBERDECKUNG: Given a set M and a collection T of subsets of M, is there a subcollection S of T that covers every element of M exactly once? So each element is in exactly one subset from S.
SAT is the Boolean satisfiability problem, where we need to determine if a given Boolean formula in conjunctive normal form (CNF) has a satisfying assignment.
The question is whether we can reduce Exact Cover to SAT. Since Exact Cover is known to be NP-complete, and SAT is also NP-complete, there should be a polynomial-time reduction from Exact Cover to SAT. Because all NP-complete problems are reducible to each other. But wait, the user is asking to confirm if the statement holds, i.e., if such a reduction exists.
Wait, but under the assumption that P ≠ NP, but both problems are in NP, so reductions between them are possible.
So, the statement EXAKTE-ÜBERDECKUNG ≤p SAT should hold because SAT is NP-complete, and Exact Cover is in NP. Wait, but to have a reduction from A to B, B needs to be NP-hard if A is NP-complete. Since SAT is NP-complete, then yes, Exact Cover, being NP-complete, can be reduced to SAT.
Wait, Exact Cover is NP-complete. So there must exist a polynomial reduction from Exact Cover to SAT.
But maybe the question is testing whether the student knows that such reductions exist because SAT is NP-complete. So the answer should be that the statement holds.
Now, the user wants, if the statement is true, to provide a precise reduction function and apply it to the given instance.
So first, I need to construct a reduction from Exact Cover to SAT.
How to model Exact Cover as a SAT problem?
Each subset T_i can be a variable x_i, where x_i is true if T_i is included in the solution S.
Constraints:
1. For every element m in M, m must be covered by exactly one subset in S.
So for each element m, consider all subsets T_i that contain m. Let these subsets be T_{i1}, T_{i2}, ..., T_{ik}. Then exactly one of x_{i1}, x_{i2}, ..., x_{ik} must be true.
The constraint for being exactly one is: at least one of them is true, and at most one is true.
So for each element m:
- Clause ensuring at least one: (x_{i1} ∨ x_{i2} ∨ ... ∨ x_{ik})
- Clauses ensuring at most one: For every pair j < l, (¬x_{ij} ∨ ¬x_{il})
Additionally, subsets that are empty (like T_5 in the instance) cannot be part of the solution because they don't cover any elements. Wait, but if T_5 is empty, including it in S would cover no elements, but since elements must be covered exactly once, an empty set in S would violate nothing, but the exact cover requires that every element is in exactly one set. So S can include empty sets, but they don't affect the coverage. However, the problem says "exactly one of the subsets in S", so if a subset is empty, it doesn't cover any elements. So S could have empty sets, but since elements need to be covered, maybe the empty sets can be ignored. However, the problem statement says "jedes Element von M in genau einer der Teilmengen in S vorkommt". So the empty subsets don't contribute, so they can be included or not, but to have the exact cover, the union of S must be M, and disjoint.
Therefore, in the SAT encoding, variables corresponding to empty subsets might not be necessary. Wait, but T_5 is empty. If we include T_5 in S, it doesn't help in covering any elements, but since the exact cover requires that each element is in exactly one subset from S, including T_5 would mean that S has extra subsets, but they don't affect the coverage. However, the problem is whether S exists such that the union is M and all subsets are disjoint.
But the original question is about the decision problem: does there exist such an S. So S can have any number of subsets, as long as they are pairwise disjoint and their union is M.
Now, back to the reduction.
For each subset T_i (i from 1 to n), create a variable x_i.
For each element m in M:
Let the subsets containing m be T_{i1}, ..., T_{ik}.
Then:
1. At least one of these subsets must be chosen: x_{i1} ∨ x_{i2} ∨ ... ∨ x_{ik}
2. For each pair of these subsets, at most one can be chosen: ¬x_{ij} ∨ ¬x_{il} for j < l.
The conjunction of all these clauses for all elements forms the CNF formula for SAT.
So the SAT instance is the conjunction of all these clauses.
This reduction should be correct.
Now, applying this to the given instance:
M = {1,2,3,4}
T = {T1, T2, T3, T4, T5}, where:
T1 = {1}
T2 = {1,3}
T3 = {1,2,3}
T4 = {2,4}
T5 = ∅
We need to create variables x1, x2, x3, x4, x5.
For each element (1,2,3,4), process their clauses.
Element 1: appears in T1, T2, T3.
So for element 1:
- At least one: x1 ∨ x2 ∨ x3
- At most one: (¬x1 ∨ ¬x2), (¬x1 ∨ ¬x3), (¬x2 ∨ ¬x3)
Element 2: appears in T3, T4.
- At least one: x3 ∨ x4
- At most one: (¬x3 ∨ ¬x4)
Element 3: appears in T2, T3.
- At least one: x2 ∨ x3
- At most one: (¬x2 ∨ ¬x3)
Element 4: appears in T4.
- Only T4: x4 must be true (since at least one, and there's only one, so clause x4)
Also, for element 4, at most one is automatically satisfied because there's only one subset containing it.
Now, T5 is empty. Since T5 contains no elements, it doesn't affect any of the coverage constraints. However, including T5 in S would add an empty set, which doesn't cover anything. But since the exact cover requires that all elements in M are covered exactly once, T5's inclusion doesn't affect the coverage. However, the problem is just existence of S, which may or may not include T5. But since T5 is empty, adding it to S would not cause any element to be covered more than once (as it covers nothing), but since the elements must be covered exactly once, the presence of T5 in S doesn't interfere. However, the SAT clauses are built to ensure coverage for elements. Since T5 doesn't cover any elements, there are no clauses involving x5. Therefore, x5 can be either true or false in the SAT instance, but the problem statement's Exact Cover problem allows S to include empty subsets. However, the exact cover problem requires that S is a subset where each element is covered exactly once. Since empty subsets don't affect coverage, S could include them, but in this case, since M is non-empty (elements 1-4), including T5 doesn't help. However, the SAT instance will have no constraints on x5. So the SAT formula is satisfiable iff there's a solution to Exact Cover (possibly including x5, but since x5 isn't constrained, we can set it to true or false). But the actual solution S for Exact Cover doesn't need to include empty subsets, so maybe x5 can be set to false. However, in the SAT instance, x5's value doesn't affect the truth of the clauses, so the formula is satisfiable if and only if there exists a solution S without T5 (since including T5 is optional but irrelevant).
So the SAT instance should capture whether there's a solution, regardless of x5.
Now, processing the given instance:
For element 1:
At least one: x1 ∨ x2 ∨ x3
At most one:
¬x1 ∨ ¬x2
¬x1 ∨ ¬x3
¬x2 ∨ ¬x3
Element 2:
At least one: x3 ∨ x4
At most one: ¬x3 ∨ ¬x4
Element 3:
At least one: x2 ∨ x3
At most one: ¬x2 ∨ ¬x3
Element 4:
At least one: x4
So the clauses are:
1. (x1 ∨ x2 ∨ x3)
2. (¬x1 ∨ ¬x2)
3. (¬x1 ∨ ¬x3)
4. (¬x2 ∨ ¬x3)
5. (x3 ∨ x4)
6. (¬x3 ∨ ¬x4)
7. (x2 ∨ x3)
8. (¬x2 ∨ ¬x3)
9. (x4)
Now, let's see if there's a satisfying assignment.
Let's look at clause 9: x4 must be true.
Clause 5: x3 ∨ x4. Since x4 is true, this is satisfied regardless of x3.
Clause 6: ¬x3 ∨ ¬x4. Since x4 is true, this becomes ¬x3. So x3 must be false.
So x3 = false.
From clause 7: x2 ∨ x3. Since x3 is false, x2 must be true.
From clause 8: ¬x2 ∨ ¬x3. Since x3 is false, ¬x3 is true, so this is satisfied regardless of x2. But x2 is true, so ¬x2 is false, but since ¬x3 is true, the clause holds.
Element 1's at least one: x1 ∨ x2 ∨ x3. x2 is true, so satisfied.
Element 1's at most one:
Clause 2: ¬x1 ∨ ¬x2. Since x2 is true, ¬x2 is false, so x1 must be false.
Clause 3: ¬x1 ∨ ¬x3. Since x3 is false, ¬x3 is true, so clause holds regardless of x1.
Clause 4: ¬x2 ∨ ¬x3. x2 is true, x3 is false. ¬x3 is true, so clause holds.
So x1 must be false (from clause 2: since x2 is true, to have ¬x1 ∨ false, x1 must be false).
Now, variables:
x1 = false
x2 = true
x3 = false
x4 = true
x5 is free (not constrained), so set to true or false.
Let's check if this assignment leads to a valid exact cover.
S would be {T2, T4} since x2 and x4 are true.
Check coverage:
T2 = {1,3}, T4 = {2,4}
Elements:
1: in T2 (only once)
2: in T4 (only once)
3: in T2 (only once)
4: in T4 (only once)
So yes, S = {T2, T4} is an exact cover. Which matches the assignment.
So the SAT instance is satisfiable, which corresponds to the Exact Cover instance being a yes-instance.
Another possible solution: Let's see if x1 could be part of the solution.
Suppose x1 is true. Then, from element 1's at most one clauses:
Clause 2: x1 and x2 can't both be true.
Clause 3: x1 and x3 can't both be true.
Clause 4: x2 and x3 can't both be true.
If x1 is true, then x2 and x3 must be false.
Element 2: x3 ∨ x4. x3 is false, so x4 must be true.
Element 4: x4 must be true, which is satisfied.
Element 3: x2 ∨ x3. Both false, so this clause is not satisfied. Therefore, x1 true leads to element 3 not covered. So invalid.
Thus, the only possible solution is x2 and x4.
Therefore, the reduction works for this instance.
Now, the answer should confirm that the statement holds (option 1 is chosen, option 2 is not), and then provide the reduction function and apply it to the instance.
The reduction function maps each Exact Cover instance (M, T) to a SAT instance where:
- Variables: x_i for each T_i in T.
- For each element m in M:
- For all T_i containing m, add a clause (x_i1 ∨ x_i2 ∨ ... ∨ x_ik) for at least one.
- For each pair of subsets T_i, T_j containing m, add a clause (¬x_i ∨ ¬x_j) for at most one.
This is a polynomial-time reduction because the number of clauses is O(k * n^2), where k is the size of M and n the size of T, which is polynomial in the input size.
Applying it to the given instance:
Variables: x1, x2, x3, x4, x5
Clauses as detailed above.
The answer should list the clauses for the SAT instance.
In the example, they asked to apply the reduction to the specific instance, so we need to write the CNF formula resulting from the instance.
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion:**
Sei $(M, T)$ eine Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG mit $M = \{m_1, \dotsc, m_k\}$ und $T = \{T_1, \dotsc, T_n\}$. Definiere eine SAT-Instanz mit Variablen $x_1, \dotsc, x_n$, wobei $x_i$ angibt, ob $T_i \in S$ gilt. Für jedes $m_j \in M$ sei $I_j = \{i \mid m_j \in T_i\}$. Die SAT-Formel besteht aus:
1. **„Mindestens ein“-Klauseln**: $\bigvee_{i \in I_j} x_i$ für jedes $m_j \in M$,
2. **„Höchstens ein“-Klauseln**: $(\neg x_i \vee \neg x_{i'})$ für alle $i < i' \in I_j$ und jedes $m_j \in M$.
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
$M = \{1,2,3,4\}$, $T = \{T_1, T_2, T_3, T_4, T_5\}$ mit $T_1 = \{1\}$, $T_2 = \{1,3\}$, $T_3 = \{1,2,3\}$, $T_4 = \{2,4\}$, $T_5 = \emptyset$.
- Variablen: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$.
- **Klauseln**:
- Für $m=1$ ($I_1 = \{1,2,3\}$):
$(x_1 \vee x_2 \vee x_3)$,
$(\neg x_1 \vee \neg x_2)$, $(\neg x_1 \vee \neg x_3)$, $(\neg x_2 \vee \neg x_3)$.
- Für $m=2$ ($I_2 = \{3,4\}$):
$(x_3 \vee x_4)$, $(\neg x_3 \vee \neg x_4)$.
- Für $m=3$ ($I_3 = \{2,3\}$):
$(x_2 \vee x_3)$, $(\neg x_2 \vee \neg x_3)$.
- Für $m=4$ ($I_4 = \{4\}$):
$(x_4)$.
- $T_5$ enthält kein Element, also keine Klauseln für $x_5$.
- Resultierende CNF:
\[
(x_1 \vee x_2 \vee x_3) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_2) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_2 \vee \neg x_3) \wedge \\
(x_3 \vee x_4) \wedge (\neg x_3 \vee \neg x_4) \wedge (x_2 \vee x_3) \wedge (\neg x_2 \vee \neg x_3) \wedge (x_4).
\]
**Korrektheit (Skizze):**
- **Hinrichtung:** Eine exakte Überdeckung $S \subseteq T$ definiert eine erfüllende Belegung mit $x_i = 1 \iff T_i \in S$. Die Klauseln garantieren, dass jedes Element *genau* einmal abgedeckt wird.
- **Rückrichtung:** Eine erfüllende Belegung induziert ein $S = \{T_i \mid x_i = 1\}$, das eine exakte Überdeckung ist, da die Klauseln die Disjunktheit und Vollständigkeit der Abdeckung erzwingen.
- Die Reduktion ist polynomiell, da die Anzahl der Klauseln $\mathcal{O}(k \cdot n^2)$ ist ($k = |M|$, $n = |T|$).
</answer>
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem: Eingabe: Eine endliche Menge und eine Menge von Teilmengen von . Ausgabe: Enthält eine exakte Überdeckung von , d.h. gibt es eine Menge , sodass jedes Element von in genau einer der Teilmengen in vorkommt? Aussage: EXAKTE-ÜBERDECKUNG SAT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an. wobei , , , , .
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
**Reduktionsfunktion:**
Sei $(M, T)$ eine Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG mit $M = \{m_1, \dotsc, m_k\}$ und $T = \{T_1, \dotsc, T_n\}$. Definiere eine SAT-Instanz mit Variablen $x_1, \dotsc, x_n$, wobei $x_i$ angibt, ob $T_i \in S$ gilt. Für jedes $m_j \in M$ sei $I_j = \{i \mid m_j \in T_i\}$. Die SAT-Formel besteht aus:
1. **„Mindestens ein“-Klauseln**: $\bigvee_{i \in I_j} x_i$ für jedes $m_j \in M$,
2. **„Höchstens ein“-Klauseln**: $(\neg x_i \vee \neg x_{i'})$ für alle $i < i' \in I_j$ und jedes $m_j \in M$.
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
$M = \{1,2,3,4\}$, $T = \{T_1, T_2, T_3, T_4, T_5\}$ mit $T_1 = \{1\}$, $T_2 = \{1,3\}$, $T_3 = \{1,2,3\}$, $T_4 = \{2,4\}$, $T_5 = \emptyset$.
- Variablen: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$.
- **Klauseln**:
- Für $m=1$ ($I_1 = \{1,2,3\}$):
$(x_1 \vee x_2 \vee x_3)$,
$(\neg x_1 \vee \neg x_2)$, $(\neg x_1 \vee \neg x_3)$, $(\neg x_2 \vee \neg x_3)$.
- Für $m=2$ ($I_2 = \{3,4\}$):
$(x_3 \vee x_4)$, $(\neg x_3 \vee \neg x_4)$.
- Für $m=3$ ($I_3 = \{2,3\}$):
$(x_2 \vee x_3)$, $(\neg x_2 \vee \neg x_3)$.
- Für $m=4$ ($I_4 = \{4\}$):
$(x_4)$.
- $T_5$ enthält kein Element, also keine Klauseln für $x_5$.
- Resultierende CNF:
\[
(x_1 \vee x_2 \vee x_3) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_2) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_2 \vee \neg x_3) \wedge \\
(x_3 \vee x_4) \wedge (\neg x_3 \vee \neg x_4) \wedge (x_2 \vee x_3) \wedge (\neg x_2 \vee \neg x_3) \wedge (x_4).
\]
**Korrektheit (Skizze):**
- **Hinrichtung:** Eine exakte Überdeckung $S \subseteq T$ definiert eine erfüllende Belegung mit $x_i = 1 \iff T_i \in S$. Die Klauseln garantieren, dass jedes Element *genau* einmal abgedeckt wird.
- **Rückrichtung:** Eine erfüllende Belegung induziert ein $S = \{T_i \mid x_i = 1\}$, das eine exakte Überdeckung ist, da die Klauseln die Disjunktheit und Vollständigkeit der Abdeckung erzwingen.
- Die Reduktion ist polynomiell, da die Anzahl der Klauseln $\mathcal{O}(k \cdot n^2)$ ist ($k = |M|$, $n = |T|$).x-ai/grok-4
Exercise 7: Reduktion
Nehmen Sie an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „“ für Entscheidungsprobleme . Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben und (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
Subproblem a (4.0/4.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion:**
Gegeben sei ein ungerichteter Graph $G = (V, E)$. Konstruiere $G' = (V', E')$ wie folgt:
- $V' = V \cup \{k\}$, wobei $k$ ein neuer Knoten ist (nicht in $V$).
- $E' = E \cup \bigl\{ \{k, v\} \mid v \in V \bigr\}$.
Die Reduktionsfunktion $f$ bildet die Instanz $G$ auf $G'$ ab. Diese Konstruktion ist in polynomieller Zeit möglich (Addition eines Knotens und $|V|$ Kanten).
**Skizze der Korrektheit:**
$G$ hat einen Hamilton-Pfad $\Leftrightarrow$ $G'$ hat einen Hamilton-Kreis.
- ($\Rightarrow$) Sei $p_1 - p_2 - \dots - p_n$ ein Hamilton-Pfad in $G$ ($V = \{p_1, \dots, p_n\}$). Dann ist $p_n - k - p_1 - p_2 - \dots - p_n$ ein Hamilton-Kreis in $G'$ (da $\{p_n, k\}$ und $\{k, p_1\}$ in $E'$).
- ($\Leftarrow$) Sei ein Hamilton-Kreis in $G'$ gegeben. Da $k$ Grad $|V|$ hat, tritt $k$ im Kreis zwischen zwei Knoten $a, b \in V$ auf: $\dots - a - k - b - \dots - a$. Der Teil von $b$ nach $a$ ist ein Pfad in $G$, der alle Knoten aus $V$ genau einmal besucht (also ein Hamilton-Pfad in $G$).
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
Gegebener Graph $G = (V, E)$ mit
- $V = \{A, B, C, D, E\}$,
- $E = \bigl\{ \{A, B\}, \{A, C\}, \{B, C\}, \{C, D\}, \{C, E\}, \{D, E\} \bigr\}$.
Der reduzierte Graph $G' = (V', E')$ ist:
- $V' = \{A, B, C, D, E, K\}$ (wähle $K$ als neuen Knoten),
- $E' = E \cup \bigl\{ \{K, A\}, \{K, B\}, \{K, C\}, \{K, D\}, \{K, E\} \bigr\}$.
</answer>
Sei ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von ist eine Permutation der Knoten von mit für jedes . Ein Hamilton-Kreis von ist ein Hamilton-Pfad von , der zusätzlich erfüllt. Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat. Aussage: HAMILTON-PFAD HAMILTON-KREIS Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an. Knoten: A, B, C, D, E Kanten: A -- B A -- C B -- C C -- D C -- E D -- E
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Reduktionsfunktion: Gegeben sei ein ungerichteter Graph . Konstruiere wie folgt: - , wobei ein neuer Knoten ist (nicht in ). - . Die Reduktionsfunktion bildet die Instanz auf ab. Diese Konstruktion ist in polynomieller Zeit möglich (Addition eines Knotens und Kanten). Skizze der Korrektheit: hat einen Hamilton-Pfad hat einen Hamilton-Kreis. - () Sei ein Hamilton-Pfad in (). Dann ist ein Hamilton-Kreis in (da und in ). - () Sei ein Hamilton-Kreis in gegeben. Da Grad hat, tritt im Kreis zwischen zwei Knoten auf: . Der Teil von nach ist ein Pfad in , der alle Knoten aus genau einmal besucht (also ein Hamilton-Pfad in ). Anwendung auf die gegebene Instanz: Gegebener Graph mit - , - . Der reduzierte Graph ist: - (wähle als neuen Knoten), - .
Subproblem b (3.0/3.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
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If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion:**
Gegeben sei ein ungerichteter Graph $G = (V, E)$. Konstruiere $G' = (V', E')$ wie folgt:
- $V' = V \cup \{k\}$, wobei $k$ ein neuer Knoten ist (nicht in $V$).
- $E' = E \cup \bigl\{ \{k, v\} \mid v \in V \bigr\}$.
Die Reduktionsfunktion $f$ bildet die Instanz $G$ auf $G'$ ab. Diese Konstruktion ist in polynomieller Zeit möglich (Addition eines Knotens und $|V|$ Kanten).
**Skizze der Korrektheit:**
$G$ hat einen Hamilton-Pfad $\Leftrightarrow$ $G'$ hat einen Hamilton-Kreis.
- ($\Rightarrow$) Sei $p_1 - p_2 - \dots - p_n$ ein Hamilton-Pfad in $G$ ($V = \{p_1, \dots, p_n\}$). Dann ist $p_n - k - p_1 - p_2 - \dots - p_n$ ein Hamilton-Kreis in $G'$ (da $\{p_n, k\}$ und $\{k, p_1\}$ in $E'$).
- ($\Leftarrow$) Sei ein Hamilton-Kreis in $G'$ gegeben. Da $k$ Grad $|V|$ hat, tritt $k$ im Kreis zwischen zwei Knoten $a, b \in V$ auf: $\dots - a - k - b - \dots - a$. Der Teil von $b$ nach $a$ ist ein Pfad in $G$, der alle Knoten aus $V$ genau einmal besucht (also ein Hamilton-Pfad in $G$).
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
Gegebener Graph $G = (V, E)$ mit
- $V = \{A, B, C, D, E\}$,
- $E = \bigl\{ \{A, B\}, \{A, C\}, \{B, C\}, \{C, D\}, \{C, E\}, \{D, E\} \bigr\}$.
Der reduzierte Graph $G' = (V', E')$ ist:
- $V' = \{A, B, C, D, E, K\}$ (wähle $K$ als neuen Knoten),
- $E' = E \cup \bigl\{ \{K, A\}, \{K, B\}, \{K, C\}, \{K, D\}, \{K, E\} \bigr\}$.
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Answer
<option id="1">0</option> <option id="2">1</option> <answer id="3"> Die Aussage gilt nicht unter der Annahme $\P \ne \NP$. **Beweis:** Angenommen, es gäbe eine polynomielle Reduktion von 3KNF-SAT nach CFG-LEERHEIT. Das bedeutet, es existiert eine in polynomieller Zeit berechenbare Funktion $f$, die eine 3CNF-Formel $\phi$ auf eine kontextfreie Grammatik $G = f(\phi)$ abbildet, sodass $\phi$ erfüllbar ist genau dann, wenn $L(G) = \emptyset$. Es ist bekannt, dass CFG-LEERHEIT $\in \P$ (man kann in polynomieller Zeit alle produktiven Nichtterminale bestimmen und prüfen, ob das Startsymbol produktiv ist). Falls eine solche Reduktion existiert, könnte man 3KNF-SAT wie folgt in polynomieller Zeit entscheiden: Berechne $G = f(\phi)$ (poly-Zeit) und entscheide dann, ob $L(G) = \emptyset$ (poly-Zeit). Dies würde bedeuten, dass 3KNF-SAT $\in \P$. Da 3KNF-SAT $\NP$-vollständig ist, folgte $\P = \NP$, was der Annahme widerspricht. Somit kann keine solche polynomielle Reduktion existieren. </answer>
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik kein Wort erzeugt, also ob gilt. Aussage: 3KNF-SAT CFG-LEERHEIT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
☐Die Aussage gilt☒Die Aussage gilt nicht
Die Aussage gilt nicht unter der Annahme . Beweis: Angenommen, es gäbe eine polynomielle Reduktion von 3KNF-SAT nach CFG-LEERHEIT. Das bedeutet, es existiert eine in polynomieller Zeit berechenbare Funktion , die eine 3CNF-Formel auf eine kontextfreie Grammatik abbildet, sodass erfüllbar ist genau dann, wenn . Es ist bekannt, dass CFG-LEERHEIT (man kann in polynomieller Zeit alle produktiven Nichtterminale bestimmen und prüfen, ob das Startsymbol produktiv ist). Falls eine solche Reduktion existiert, könnte man 3KNF-SAT wie folgt in polynomieller Zeit entscheiden: Berechne (poly-Zeit) und entscheide dann, ob (poly-Zeit). Dies würde bedeuten, dass 3KNF-SAT . Da 3KNF-SAT -vollständig ist, folgte , was der Annahme widerspricht. Somit kann keine solche polynomielle Reduktion existieren.
Subproblem c (7.0/7.0P)
Prompt
system:You are an AI assistant specializing in theoretical computer science. Your task is to answer a series of exam questions, providing accurate and well-reasoned responses that demonstrate a deep understanding of theoretical computer science concepts.
# Instructions
You must follow the given answer format.
If the exercises contains yes or no questions for you to answer, there will be one <option> element for each such question. You must answer these with either 0 or 1.
For longer answers, there will be <answer> elements. If the answer must follow a specific template, a corresponding <answer-template> element defines this template, and you MUST follow it precisely when providing your <answer>, as any deviations from the template will cause your answer to be invalid. A '?' symbol indicates a place for you to insert a short text, while a '???' symbol marks places for you to insert multi-line answers. To define the precise syntax to use, an <example> element may be provided. You MUST follow this syntax. However, note that the answers in the example may not be correct answers to the question.
Some questions relate to specific lecture material. In this case, the material will be provided in <context> elements for you to reference.
## Formatting
Always follow the format of the given exercise. If you are writing longer text, you can put text in *italics* or make it **bold**. Formulas should be given as LaTeX and enclosed properly, i.e. $...$ or \[...\].
user:# Exercise: Reduktion
Nehmen Sie $\P\ne\NP$ an. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, welche der folgenden Aussagen gelten. Die Aussagen sind von der Gestalt „$A\le_p B$“ für Entscheidungsprobleme $A, B$. Wenn die Aussage gilt, dann müssen Sie (1) eine präzise definierte Reduktionsfunktion angeben **und** (2) die Reduktionsfunktion auf die gegebene Instanz von Problem $A$ anwenden. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie nur skizzieren. Wenn die Aussage nicht gilt, dann müssen Sie dies beweisen.
## subproblem a (4.0 points)
Sei $G=(V, E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Hamilton-Pfad von $G$ ist eine Permutation $v_1,\dotsc,v_n$ der Knoten von $V$ mit $\{v_i, v_{i+1}\} \in E$ für jedes $i \in \{1, ..., n-1\}$. Ein Hamilton-Kreis von $G$ ist ein Hamilton-Pfad von $G$, der zusätzlich $\{v_n, v_1\} \in E$ erfüllt.
Sei HAMILTON-PFAD das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Pfad hat. Sei HAMILTON-KREIS das Entscheidungsproblem, ob ein gegebener ungerichteter Graph einen Hamilton-Kreis hat.
**Aussage:** HAMILTON-PFAD $\le_p$ HAMILTON-KREIS
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von HAMILTON-PFAD an.
Knoten: A, B, C, D, E
Kanten:
A -- B
A -- C
B -- C
C -- D
C -- E
D -- E
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion:**
Gegeben sei ein ungerichteter Graph $G = (V, E)$. Konstruiere $G' = (V', E')$ wie folgt:
- $V' = V \cup \{k\}$, wobei $k$ ein neuer Knoten ist (nicht in $V$).
- $E' = E \cup \bigl\{ \{k, v\} \mid v \in V \bigr\}$.
Die Reduktionsfunktion $f$ bildet die Instanz $G$ auf $G'$ ab. Diese Konstruktion ist in polynomieller Zeit möglich (Addition eines Knotens und $|V|$ Kanten).
**Skizze der Korrektheit:**
$G$ hat einen Hamilton-Pfad $\Leftrightarrow$ $G'$ hat einen Hamilton-Kreis.
- ($\Rightarrow$) Sei $p_1 - p_2 - \dots - p_n$ ein Hamilton-Pfad in $G$ ($V = \{p_1, \dots, p_n\}$). Dann ist $p_n - k - p_1 - p_2 - \dots - p_n$ ein Hamilton-Kreis in $G'$ (da $\{p_n, k\}$ und $\{k, p_1\}$ in $E'$).
- ($\Leftarrow$) Sei ein Hamilton-Kreis in $G'$ gegeben. Da $k$ Grad $|V|$ hat, tritt $k$ im Kreis zwischen zwei Knoten $a, b \in V$ auf: $\dots - a - k - b - \dots - a$. Der Teil von $b$ nach $a$ ist ein Pfad in $G$, der alle Knoten aus $V$ genau einmal besucht (also ein Hamilton-Pfad in $G$).
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
Gegebener Graph $G = (V, E)$ mit
- $V = \{A, B, C, D, E\}$,
- $E = \bigl\{ \{A, B\}, \{A, C\}, \{B, C\}, \{C, D\}, \{C, E\}, \{D, E\} \bigr\}$.
Der reduzierte Graph $G' = (V', E')$ ist:
- $V' = \{A, B, C, D, E, K\}$ (wähle $K$ als neuen Knoten),
- $E' = E \cup \bigl\{ \{K, A\}, \{K, B\}, \{K, C\}, \{K, D\}, \{K, E\} \bigr\}$.
</answer>
user:
## subproblem b (3.0 points)
Sei CFG-LEERHEIT das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ kein Wort erzeugt, also ob $L(G)=\emptyset$ gilt.
**Aussage:** 3KNF-SAT $\leq_p$ CFG-LEERHEIT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von 3KNF-SAT an.
$(x_1\vee\neg x_2\vee x_3)\wedge(\neg x_1\vee x_2\vee x_3)$
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
assistant:<option id="1">0</option>
<option id="2">1</option>
<answer id="3">
Die Aussage gilt nicht unter der Annahme $\P \ne \NP$.
**Beweis:** Angenommen, es gäbe eine polynomielle Reduktion von 3KNF-SAT nach CFG-LEERHEIT. Das bedeutet, es existiert eine in polynomieller Zeit berechenbare Funktion $f$, die eine 3CNF-Formel $\phi$ auf eine kontextfreie Grammatik $G = f(\phi)$ abbildet, sodass $\phi$ erfüllbar ist genau dann, wenn $L(G) = \emptyset$.
Es ist bekannt, dass CFG-LEERHEIT $\in \P$ (man kann in polynomieller Zeit alle produktiven Nichtterminale bestimmen und prüfen, ob das Startsymbol produktiv ist).
Falls eine solche Reduktion existiert, könnte man 3KNF-SAT wie folgt in polynomieller Zeit entscheiden: Berechne $G = f(\phi)$ (poly-Zeit) und entscheide dann, ob $L(G) = \emptyset$ (poly-Zeit). Dies würde bedeuten, dass 3KNF-SAT $\in \P$. Da 3KNF-SAT $\NP$-vollständig ist, folgte $\P = \NP$, was der Annahme widerspricht.
Somit kann keine solche polynomielle Reduktion existieren.
</answer>
user:
## subproblem c (7.0 points)
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem:
Eingabe: Eine endliche Menge $M=\{m_1, ..., m_k\}$ und eine Menge $T=\{T_1, ..., T_n\}$ von Teilmengen von $M$.
Ausgabe: Enthält $T$ eine *exakte Überdeckung* von $M$, d.h. gibt es eine Menge $S \subseteq T$, sodass jedes Element von $M$ in **genau** einer der Teilmengen in $S$ vorkommt?
**Aussage:** EXAKTE-ÜBERDECKUNG $\leq_p$ SAT
**Falls die Aussage gilt:** Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an.
$M\coloneqq\{1,2,3,4\}$
$T\coloneqq\{T_1,T_2,T_3,T_4,T_5\}$
wobei
$T_1\coloneqq\{1\}$,
$T_2\coloneqq\{1,3\}$,
$T_3\coloneqq\{1,2,3\}$,
$T_4\coloneqq\{2,4\}$,
$T_5\coloneqq\emptyset$.
<options>
<option id="1">Die Aussage gilt</option>
<option id="2">Die Aussage gilt nicht</option>
</options>
### answer format
Give your answer in the following format:
<option id="1">0 or 1</option>
<option id="2">0 or 1</option>
<answer id="3">
...
</answer>
Answer
<option id="1">1</option>
<option id="2">0</option>
<answer id="3">
**Reduktionsfunktion:**
Gegeben eine Instanz $(M, T)$ von EXAKTE-ÜBERDECKUNG mit $M = \{m_1, \dots, m_k\}$ und $T = \{T_1, \dots, T_n\}$. Konstruiere eine CNF-Formel $\phi$ wie folgt:
- Variablen: $x_1, \dots, x_n$, wobei $x_i$ wahr bedeutet, dass $T_i$ in der exakten Überdeckung gewählt wird.
Für jedes Element $m_j \in M$ (für $j = 1, \dots, k$):
Lasse $I_j = \{ i \mid m_j \in T_i \}$ die Indizes der Teilmengen sein, die $m_j$ enthalten.
- *At least one:* Füge die Klausel $\bigvee_{i \in I_j} x_i$ hinzu (falls $I_j = \emptyset$, ist dies die leere Disjunktion, was falsch ist; aber in gültigen Instanzen sollte jedes Element in mindestens einer Teilmenge vorkommen, andernfalls ist es trivial nicht überdeckbar).
- *At most one:* Für jedes Paar $i < l$ mit $i, l \in I_j$ füge die Klausel $(\neg x_i \lor \neg x_l)$ hinzu.
Die Formel $\phi$ ist die Konjunktion aller dieser Klauseln. Die Konstruktion ist in polynomieller Zeit möglich ( polynomiell viele Klauseln, da $O(n^2)$ pro Element, insgesamt $O(k n^2)$).
**Skizze der Korrektheit:**
$\phi$ ist erfüllbar $\Leftrightarrow$ es existiert eine exakte Überdeckung $S \subseteq T$.
- ($\Rightarrow$) Sei $\beta$ eine erfüllende Belegung von $\phi$. Definiere $S = \{ T_i \mid \beta(x_i) = 1 \}$. Für jedes $m_j$ stellt "at least one" sicher, dass mindestens eine $T_i$ mit $m_j \in T_i$ gewählt ist, und "at most one" stellt sicher, dass höchstens eine solche gewählt ist. Also ist $S$ eine exakte Überdeckung.
- ($\Leftarrow$) Sei $S$ eine exakte Überdeckung. Setze $\beta(x_i) = 1$ gdw. $T_i \in S$. Da jedes $m_j$ in genau einer $T_i \in S$ vorkommt, ist für jedes $j$ genau eine $x_i$ mit $i \in I_j$ wahr, was beide Bedingungen ("at least one" und "at most one") erfüllt. (Falls leere Mengen in $T$ sind, können sie optional gewählt werden, ohne die Bedingungen zu verletzen, und entsprechen mehreren möglichen $S$, aber die Existenz bleibt erhalten.)
**Anwendung auf die gegebene Instanz:**
$M = \{1,2,3,4\}$, $T = \{T_1 = \{1\}, T_2 = \{1,3\}, T_3 = \{1,2,3\}, T_4 = \{2,4\}, T_5 = \emptyset\}$.
Variablen: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$.
Klauseln:
- Für 1 ($I_1 = \{1,2,3\}$):
At least one: $(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$
At most one: $(\neg x_1 \lor \neg x_2)$, $(\neg x_1 \lor \neg x_3)$, $(\neg x_2 \lor \neg x_3)$
- Für 2 ($I_2 = \{3,4\}$):
At least one: $(x_3 \lor x_4)$
At most one: $(\neg x_3 \lor \neg x_4)$
- Für 3 ($I_3 = \{2,3\}$):
At least one: $(x_2 \lor x_3)$
At most one: $(\neg x_2 \lor \neg x_3)$
- Für 4 ($I_4 = \{4\}$):
At least one: $(x_4)$
At most one: (keine Paare)
(T_5 betrifft keine Elemente, also keine zusätzlichen Klauseln für $x_5$.)
Die CNF-Formel $\phi$ ist die Konjunktion all dieser Klauseln.
</answer>
EXAKTE-ÜBERDECKUNG ist das folgende Entscheidungsproblem: Eingabe: Eine endliche Menge und eine Menge von Teilmengen von . Ausgabe: Enthält eine exakte Überdeckung von , d.h. gibt es eine Menge , sodass jedes Element von in genau einer der Teilmengen in vorkommt? Aussage: EXAKTE-ÜBERDECKUNG SAT Falls die Aussage gilt: Wenden Sie Ihre Reduktion auf folgende Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG an. wobei , , , , .
☒Die Aussage gilt☐Die Aussage gilt nicht
Reduktionsfunktion: Gegeben eine Instanz von EXAKTE-ÜBERDECKUNG mit und . Konstruiere eine CNF-Formel wie folgt: - Variablen: , wobei wahr bedeutet, dass in der exakten Überdeckung gewählt wird. Für jedes Element (für ): Lasse die Indizes der Teilmengen sein, die enthalten. - At least one: Füge die Klausel hinzu (falls , ist dies die leere Disjunktion, was falsch ist; aber in gültigen Instanzen sollte jedes Element in mindestens einer Teilmenge vorkommen, andernfalls ist es trivial nicht überdeckbar). - At most one: Für jedes Paar mit füge die Klausel hinzu. Die Formel ist die Konjunktion aller dieser Klauseln. Die Konstruktion ist in polynomieller Zeit möglich ( polynomiell viele Klauseln, da pro Element, insgesamt ). Skizze der Korrektheit: ist erfüllbar es existiert eine exakte Überdeckung . - () Sei eine erfüllende Belegung von . Definiere . Für jedes stellt "at least one" sicher, dass mindestens eine mit gewählt ist, und "at most one" stellt sicher, dass höchstens eine solche gewählt ist. Also ist eine exakte Überdeckung. - () Sei eine exakte Überdeckung. Setze gdw. . Da jedes in genau einer vorkommt, ist für jedes genau eine mit wahr, was beide Bedingungen ("at least one" und "at most one") erfüllt. (Falls leere Mengen in sind, können sie optional gewählt werden, ohne die Bedingungen zu verletzen, und entsprechen mehreren möglichen , aber die Existenz bleibt erhalten.) Anwendung auf die gegebene Instanz: , . Variablen: . Klauseln: - Für 1 (): At least one: At most one: , , - Für 2 (): At least one: At most one: - Für 3 (): At least one: At most one: - Für 4 (): At least one: At most one: (keine Paare) (T_5 betrifft keine Elemente, also keine zusätzlichen Klauseln für .) Die CNF-Formel ist die Konjunktion all dieser Klauseln.