Exam 2024_endterm.txt — openai/gpt-5

Exercise a b c d e f g Total
1: Quiz: Reguläre und kontextfreie Sprachen 2.0/2.0 2.0/2.0 2.0/2.0 2.0/2.0 2.0/2.0 3.0/3.0 3.0/3.0 16.0/16.0
2: Residualsprachen und Minimierung 5.0/5.0 2.0/2.0 2.0/2.0 2.0/2.0 3.0/3.0 4.0/4.0 18.0/18.0
3: NFA-Konstruktion 3.0/3.0 7.0/7.0 3.0/3.0 13.0/13.0
4: NFA zu regulärem Ausdruck 9.0/9.0 3.0/3.0 12.0/12.0
5: Kontextfreie Sprachen 6.0/6.0 4.0/4.0 3.0/3.0 13.0/13.0
6: Quiz: Berechenbarkeit und Komplexität 2.0/2.0 2.0/2.0 2.0/2.0 2.0/2.0 2.0/2.0 4.0/4.0 14.0/14.0
7: Reduktion 6.0/6.0 8.0/8.0 14.0/14.0
8: Bonus 2.0/2.0 1.0/1.0 2.0/2.0 5.0/5.0
Exam total 105.0/105.0

Exercise 1: Quiz: Reguläre und kontextfreie Sprachen

Teilaufgaben (a-e): Für diese Fragen ist eine Begründung nicht gefordert. Sie erhalten die Punkte auf eine Teilaufgabe genau dann, wenn Sie alle Antwortmöglichkeiten korrekt angekreuzt haben.
Es ist immer mindestens eine Antwortmöglichkeit richtig.
Jede Frage bringt 2P.

In dieser Aufgabe verwenden wir durchgehend das Alphabet Σ:={a,b}\Sigma:=\{a,b\}.

Subproblem a (2.0/2.0P) 

Sei L⊆Σ∗L\subseteq\Sigma^* eine endliche Sprache mit ∣L∣=∣L∗∣|L|=|L^*|. Welche Aussagen sind wahr?
☒LL ist regulär☒ε∈L\varepsilon\in L☒∣L∣=∣LL∣|L|=|LL|

Subproblem b (2.0/2.0P) 

Sei L⊆Σ∗L\subseteq\Sigma^* und L′:={w∈L:∣w∣2≤10∣w∣}L':=\{w\in L : |w|^2\le 10|w|\}. Welche Aussagen sind wahr?
☒L′L' ist regulär☒L′L' ist kontextfrei☒L′L' ist deterministisch kontextfrei

Subproblem c (2.0/2.0P) 

Sei L⊆Σ∗L\subseteq\Sigma^* regulär und k>0k>0. Welche der folgenden Sprachen sind regulär?
☒{w∈L:∣w∣≡0(modk)}\{w\in L: |w| \equiv 0\pmod k\}☒{w1...wk:w1,...,wk∈L}\{w_1...w_k: w_1,...,w_k\in L\}☐{wk:w∈L}\{w^k: w\in L\}

Subproblem d (2.0/2.0P) 

Sei L⊆Σ∗L\subseteq\Sigma^* kontextfrei. Welche der folgenden Sprachen sind kontextfrei?

Hinweis: LR:={xk...x1:x1...xk∈L∧x1,...,xk∈Σ∧k≥0}L^R:=\{x_k...x_1 : x_1...x_k\in L\wedge x_1,...,x_k\in\Sigma\wedge k\ge0\} ist die Spiegelung von LL.
☐L‾\overline{L}☒L∪LRL\cup L^R☐L∩LRL\cap L^R

Subproblem e (2.0/2.0P) 

Sei GG die Grammatik mit Produktionen S→aTS\rightarrow aT, T→SbT\rightarrow Sb. Welche Aussagen sind wahr?
☐GG ist rechtslinear☒GG ist kontextfrei☒L(G)L(G) ist regulär☒L(G)L(G) ist kontextfrei

Subproblem f (3.0/3.0P) 

Seien L1,L2,L3⊆{a,b}∗L_1,L_2,L_3\subseteq\{a,b\}^* Sprachen, sodass L1L_1 genau die Wörter gerader Länge enthält, L2L_2 genau die Wörter enthält, in denen auf jedes aa unmittelbar ein bb folgt, und L3:=L1∩L2L_3:= L_1\cap L_2. Es gilt etwa ε,ab,babb∈L3\varepsilon,ab,babb\in L_3 und b,ba,aabb∉L3b,ba,aabb\notin L_3. Geben Sie reguläre Ausdrücke r1,r2,r3r_1,r_2,r_3 an, sodass L(ri)=LiL(r_i)=L_i, für i∈{1,2,3}i\in\{1,2,3\}.

r1=((a∣b)(a∣b))∗r_1=((a|b)(a|b))*
r2=(b∣ab)∗r_2=(b|ab)*
r3=(ab)∗(b(ab)∗b(ab)∗)∗r_3=(ab)*(b(ab)*b(ab)*)*

Subproblem g (3.0/3.0P) 

Sei MM der folgende DFA. Gibt es einen DFA M′M', sodass L(M)L(M) und L(M′)L(M') die gleichen Residualsprachen haben, aber nicht gleich sind; also {L(M)w:w∈Σ∗}={L(M′)w:w∈Σ∗}\{L(M)^w:w\in\Sigma^*\}=\{L(M')^w:w\in\Sigma^*\} und L(M)≠L(M′)L(M)\ne L(M')?

Falls ja, geben Sie einen solchen DFA an; falls nein, begründen Sie Ihre Antwort kurz.
Zustände: 0, 1, 2
Startzustand: 0
Finalzustände: 2
Transitionen:
    0, a -> 1
    0, b -> 2
    1, a -> 0
    1, b -> 2
    2, a -> 0
    2, b -> 2
☒Wahr, DFA☐Falsch, Begründung 
Zustände: A, B
Startzustand: A
Finalzustände: A
Transitionen:
    A, a -> B
    A, b -> A
    B, a -> B
    B, b -> A

Exercise 2: Residualsprachen und Minimierung





Subproblem a (5.0/5.0P) 






Minimieren Sie den folgenden DFA MM unter Verwendung des erweiterten Minimierungsalgorithmus. Bestimmen Sie also für jedes Paar an Zuständen (q,p)(q,p), ob diese äquivalent sind. Wenn ja, tragen Sie ein Gleichheitszeichen „==" in die entsprechende Zelle ein, wenn nein, tragen Sie ein möglichst kurzes Wort ein, das dies beweist.
Zustände: 0, 1, 2, 3, 4, 5
Startzustand: 0
Finalzustände: 5
Transitionen:
    0, a -> 3
    0, b -> 2
    1, a -> 4
    1, b -> 2
    2, a -> 5
    2, b -> 4
    3, a -> 1
    3, b -> 4
    4, a -> 1
    4, b -> 4
    5, a -> 5
    5, b -> 4



Äquivalenztabelle:
(0,1): ==
(0,2): aa
(0,3): baba
(0,4): baba
(0,5): ε\varepsilon
(1,2): aa
(1,3): baba
(1,4): baba
(1,5): ε\varepsilon
(2,3): aa
(2,4): aa
(2,5): ε\varepsilon
(3,4): ==
(3,5): ε\varepsilon
(4,5): ε\varepsilon






Subproblem b (2.0/2.0P) 






Sei QQ die Menge der Zustände von MM, also Q={0,1,2,3,4,5}Q=\{0,1,2,3,4,5\}. Bestimmen Sie S:={q∈Q:[q]M={q}}S := \{q\in Q:[q]_M=\{q\}\}, also die Menge der Zustände, die nur zu sich selbst äquivalent sind. Beschreiben Sie, wie die Menge sich aus der Tabelle ergibt.



S={2,5}S=\{2,5\}

Erklärung:
Ein Zustand gehört genau dann zu SS, wenn er in der Äquivalenztabelle mit keinem anderen Zustand ein „=“ bildet. In der Tabelle aus (a) gibt es Gleichheit nur für (0,1) und (3,4). Für Zustand 2 steht bei allen Paaren mit anderen Zuständen ein Unterscheidungswort (z.B. „a“ bzw. bei (2,5) „ε“), und für Zustand 5 unterscheidet „ε“ ihn von allen nicht-finalen Zuständen. Daher sind nur 2 und 5 alleinstehend.






Subproblem c (2.0/2.0P) 





Zeichnen Sie den minimalen DFA, der L(M)L(M) erkennt. Beschriften Sie jeden Zustand mit der entsprechenden Menge an äquivalenten Zuständen aus MM.



Zustände: {0,1}, {2}, {3,4}, {5}
Startzustand: {0,1}
Finalzustände: {5}
Transitionen:
    {0,1}, a -> {3,4}
    {0,1}, b -> {2}
    {3,4}, a -> {0,1}
    {3,4}, b -> {3,4}
    {2}, a -> {5}
    {2}, b -> {3,4}
    {5}, a -> {5}
    {5}, b -> {3,4}






Subproblem d (2.0/2.0P) 






Wir betrachten den folgenden DFA M′M':
Zustände: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Startzustand: 0
Finalzustände: 0, 3, 7
Transitionen:
    0, a -> 1
    1, a -> 2
    2, b -> 3
    3, a -> 3
    4, b -> 5
    5, a -> 6
    6, a -> 7
    7, b -> 7
    0, b -> 4
    1, b -> 6
    2, a -> 6
    3, b -> 1
    4, a -> 4
    5, b -> 1
    6, b -> 4
    7, a -> 3
Nach Vorlesung korrespondiert jeder Zustand von M′M' zu einer Residualsprache. Geben Sie für jeden Zustand das kürzeste Wort an, das in der entsprechenden Residualsprache liegt. Falls es mehrere passende kürzeste Wörter gibt, geben Sie das alphabetisch kleinste davon an. Falls die entsprechende Residualsprache leer ist, geben Sie stattdessen „∅\emptyset" an.



0: ε\varepsilon
1: abab
2: bb
3: ε\varepsilon
4: baabaa
5: aaaa
6: aa
7: ε\varepsilon






Subproblem e (3.0/3.0P) 






Sei L:={wcwR:w∈{a,b}∗}⊆{a,b,c}∗L := \{wcw^R:w \in\{a,b\}^*\}\subseteq\{a,b,c\}^*. Es gilt also z.B. c,abcba∈Lc,abcba\in L und ε,abba,abcab∉L\varepsilon,abba,abcab\notin L.

Sei n≥0n\geq 0 beliebig. Bestimmen Sie die folgenden Residualsprachen und geben Sie sie als Mengen an.



Lanbnc={bnan}L^{a^nb^nc}=\{b^na^n\}
Lcban=∅L^{cba^n}=\emptyset
Lan={ wcwRan∣w∈{a,b}∗}L^{a^n}=\{\,w c w^R a^n \mid w\in\{a,b\}^*\}






Subproblem f (4.0/4.0P) 






Sei L:={anbm:n,m≥0∧n≠m}L := \{a^nb^m:n,m\ge0\wedge n\ne m\}. Zeigen Sie, dass LL nicht regulär ist, indem Sie für jedes n∈Nn\in\N ein Wort wn∈{a,b}∗w_n\in\{a,b\}^* angeben, sodass Lw0,Lw1,...L^{w_0},L^{w_1},... paarweise verschieden sind, und beweisen Sie dies.



wn:=anw_n := a^n

Beweis Lwi≠LwjL^{w_i}\ne L^{w_j} für i,j∈N,i≠ji,j\in\N,i\ne j:
Sei i≠ji\neq j beliebig und setze x:=bix:=b^i. Dann gilt
- aix=aibi∉La^i x = a^i b^i \notin L, da die Anzahlen von aa und bb gleich sind. Also x∉Laix\notin L^{a^i}.
- ajx=ajbi∈La^j x = a^j b^i \in L, da ajbia^j b^i die Form anbma^n b^m hat und wegen j≠ij\neq i auch n≠mn\neq m. Also x∈Lajx\in L^{a^j}.

Damit ist Lai≠LajL^{a^i}\neq L^{a^j} für alle i≠ji\neq j. Es gibt also unendlich viele paarweise verschiedene Residualsprachen von LL. Nach dem Satz von Myhill–Nerode ist LL daher nicht regulär.








Exercise 3: NFA-Konstruktion


Sei Σ:={0,1}\Sigma:=\{0,1\}. Für eine Sprache L⊆Σ∗L\subseteq\Sigma^* bezeichnet L↓0L^{\downarrow 0} die Sprache, die man erhält, wenn man den Wörtern aus LL jeweils genau zwei Nullen entfernt. Z.B. gilt {0,010,1}↓0={1}\{0,010, 1\}^{\downarrow 0}=\{1\} und {1,101,0}↓0=∅\{1,101, 0\}^{\downarrow 0}=\emptyset. Formal:
L↓0:={uvw:u0v0w∈L∧u,v,w∈Σ∗}L^{\downarrow 0}:= \{uvw: u0v0w\in L \wedge u,v,w\in\Sigma^*\}
Beachten Sie insbesondere, dass das Löschen nicht optional ist.





Subproblem a (3.0/3.0P) 






Gegeben sind drei reguläre Ausdrücke r1,r2,r3r_1,r_2,r_3 über Σ\Sigma. Geben Sie jeweils reguläre Ausdrücke s1,s2,s3s_1,s_2,s_3 an, sodass L(si)=L(ri)↓0L(s_i)=L(r_i)^{\downarrow 0} für i∈{1,2,3}i\in\{1,2,3\}.



r1:=(0∣1)(0∣1)r_1:=(0\mid 1)(0\mid 1), s1=εs_1=\varepsilon
r2:=(0∣1)∗r_2:=(0\mid 1)^*, s2=(0∣1)∗s_2=(0\mid 1)^*
r3:=(01)∗r_3:=(01)^*, s3=(01)∗1(01)∗1(01)∗s_3=(01)^*1(01)^*1(01)^*






Subproblem b (7.0/7.0P) 






Sei M=(Q,Σ,δ,q0,F)M=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F) ein beliebiger NFA. Es gilt weiterhin Σ={0,1}\Sigma=\{0,1\}. Konstruieren Sie einen ϵ\epsilon-NFA M′=(Q′,Σ,δ′,q0′,F′)M'=(Q',\Sigma,\delta',q_0',F') mit L(M′)=L(M)↓0L(M')=L(M)^{\downarrow 0}, indem Sie Q′Q', q0′q_0', F′F', und δ′\delta' präzise angeben.

Sie können (müssen aber nicht) zusätzlich die Idee hinter Ihrer Konstruktion erläutern. Dies kann uns helfen, Ihre Definitionen zu verstehen.

Wenden Sie anschließend Ihre Konstruktion auf den nachfolgenden NFA M1M_1 an und zeichnen Sie das Ergebnis.

Hinweis: Sie können δ′\delta' in Form von Gleichungen „δ′(q′,x):={...}\delta'(q',x):=\{...\}" oder alternativ Mengen von Tripeln „{(q′,x,p′)∣...}\{(q',x,p')\mid...\}" mit q′,p′∈Q′,x∈Σ∪{ϵ}q',p'\in Q',x\in\Sigma\cup\{\epsilon\} angeben.
NFA M1M_1:
Zustände: q1, q2, q3
Startzustand: q1
Finalzustände: q3
Transitionen:
    q1, 0 -> q2
    q2, 1 -> q1
    q2, 0 -> q3
    q2, 1 -> q3
    q3, 1 -> q2



Q′:=Q×{0,1,2}Q':=Q\times\{0,1,2\}
q0′:=(q0,0)q_0':=(q_0,0)
F′:={(q,2)∣q∈F}F':=\{(q,2)\mid q\in F\}

δ′\delta':
Für alle q∈Qq\in Q, i∈{0,1,2}i\in\{0,1,2\}, a∈{0,1}a\in\{0,1\}:
- δ′((q,i),a):={(p,i)∣p∈δ(q,a)}\delta'((q,i),a):=\{(p,i)\mid p\in\delta(q,a)\}
- δ′((q,0),ϵ):={(p,1)∣p∈δ(q,0)}\delta'((q,0),\epsilon):=\{(p,1)\mid p\in\delta(q,0)\}
- δ′((q,1),ϵ):={(p,2)∣p∈δ(q,0)}\delta'((q,1),\epsilon):=\{(p,2)\mid p\in\delta(q,0)\}
- δ′((q,2),ϵ):=∅\delta'((q,2),\epsilon):=\emptyset

Konstruktionsidee (optional):
Wir simulieren MM und dürfen genau zweimal eine zusätzliche 0 „einspeisen“, ohne ein Eingabesymbol zu verbrauchen. Ein Zähler i∈{0,1,2}i\in\{0,1,2\} in den Zuständen zählt, wie viele solcher Einspeisungen bereits erfolgt sind. Epsilon-Kanten entsprechen dem Lesen einer 0 in MM ohne Eingabeverbrauch und erhöhen den Zähler. Akzeptiert wird nur, wenn genau zwei Einspeisungen erfolgt sind.

Ihr Konstruktionsergebnis für M1M_1:
- Zustände: {(q1,i),(q2,i),(q3,i)∣i=0,1,2}\{(q1,i),(q2,i),(q3,i)\mid i=0,1,2\}
- Startzustand: (q1,0)(q1,0)
- Finalzustände: {(q3,2)}\{(q3,2)\}
- Konsumierende Kanten (für jedes i∈{0,1,2}i\in\{0,1,2\}):
  - (q1,i)→0(q2,i)(q1,i)\xrightarrow{0}(q2,i)
  - (q2,i)→0(q3,i)(q2,i)\xrightarrow{0}(q3,i)
  - (q2,i)→1(q1,i)(q2,i)\xrightarrow{1}(q1,i)
  - (q2,i)→1(q3,i)(q2,i)\xrightarrow{1}(q3,i)
  - (q3,i)→1(q2,i)(q3,i)\xrightarrow{1}(q2,i)
- Epsilon-Kanten (eingefügte 0, erhöhen den Zähler):
  - (q1,0)→ϵ(q2,1)(q1,0)\xrightarrow{\epsilon}(q2,1)
  - (q2,0)→ϵ(q3,1)(q2,0)\xrightarrow{\epsilon}(q3,1)
  - (q1,1)→ϵ(q2,2)(q1,1)\xrightarrow{\epsilon}(q2,2)
  - (q2,1)→ϵ(q3,2)(q2,1)\xrightarrow{\epsilon}(q3,2)






Subproblem c (3.0/3.0P) 






Es gilt weiterhin Σ={0,1}\Sigma=\{0,1\}. Für eine Sprache L⊆Σ∗L\subseteq\Sigma^* bezeichnet L↑0L^{\uparrow 0} die Sprache, die man erhält, wenn man den Wörtern aus LL jeweils zwei Nullen hinzufügt. Formal gilt
L↑0:={u0v0w∣uvw∈L∧u,v,w∈Σ∗}L^{\uparrow 0}:= \{u0v0w \mid uvw\in L \wedge u,v,w\in\Sigma^*\}.
Zeigen oder widerlegen Sie: Für jede nichtleere Sprache L⊆Σ∗L\subseteq \Sigma^* gilt L↑0≠LL^{\uparrow 0}\neq L.
Falls Sie die Aussage mit einem Gegenbeispiel widerlegen möchten, zeigen Sie auch die Korrektheit des Gegenbeispiels.




☒Wahr☐Falsch



Angenommen, es gäbe eine nichtleere Sprache L mit L^{\uparrow 0}=L. Wähle w∈L mit minimaler Anzahl an Nullen, d.h. minimalem |w|_0. Aus w∈L^{\uparrow 0} folgt: Es gibt u,v,x∈Σ^* und w'∈L mit w=u0v0x und w'=uvx. Dann gilt |w'|_0=|w|_0−2, also w'∈L hat strikt weniger Nullen als w — Widerspruch zur Minimalität von |w|_0. Also kann für keine nichtleere L die Gleichheit L^{\uparrow 0}=L gelten. Damit ist die Aussage wahr.








Exercise 4: NFA zu regulärem Ausdruck






Subproblem a (9.0/9.0P) 






Wir betrachten den rechts abgebildeten NFA NN über dem Alphabet {a,b}\{a,b\}. Berechnen Sie mit dem graphischen Algorithmus aus der Vorlesung (nicht mit Ardens Lemma) einen regulären Ausdruck rr, sodass L(r)=L(N)L(r) = L(N). Geben Sie dabei nach jeder Anwendung einer Transformationsregel den Automaten graphisch an und vereinfachen Sie die regulären Ausdrücke in den Zwischenschritten nicht. (Ausnahme: Sie dürfen die Vereinfachung εα≡αε≡α\varepsilon \alpha \equiv \alpha \varepsilon \equiv \alpha anwenden.) Entfernen Sie die Zustände in aufsteigender Reihenfolge (bezüglich ihrer Zustandsnummer).
NFA N:
Zustände: 1, 2, 3
Startzustand: 1
Finalzustände: 3
Transitionen:
    1, a -> 2
    1, b -> 3
    2, a -> 1
    3, a -> 3
    3, b -> 2



Zwischenschritte:
Initialer GNFA (neue Start-/Endzustände s,f):
- Zustände: s, 1, 2, 3, f
- Start: s; Final: f
- Kantenbeschriftungen (alle nicht aufgeführten sind ∅\emptyset):
  s→1: ε\varepsilon; 1→2: aa; 1→3: bb; 2→1: aa; 3→3: aa; 3→2: bb; 3→f: ε\varepsilon

Eliminiere Zustand 1:
- Zustände: s, 2, 3, f
- Start: s; Final: f
- Kantenbeschriftungen (alle nicht aufgeführten sind ∅\emptyset):
  s→2: (∅)∗a(\emptyset)^* a  
  s→3: (∅)∗b(\emptyset)^* b  
  s→f: ∅∣(∅)∗∅\emptyset \mid (\emptyset)^* \emptyset  
  2→2: a(∅)∗aa (\emptyset)^* a  
  2→3: a(∅)∗ba (\emptyset)^* b  
  2→f: ∅∣a(∅)∗∅\emptyset \mid a (\emptyset)^* \emptyset  
  3→2: b∣∅(∅)∗ab \mid \emptyset (\emptyset)^* a  
  3→3: a∣∅(∅)∗ba \mid \emptyset (\emptyset)^* b  
  3→f: ε∣∅(∅)∗∅\varepsilon \mid \emptyset (\emptyset)^* \emptyset

Eliminiere Zustand 2:
- Zustände: s, 3, f
- Start: s; Final: f
- Kantenbeschriftungen (alle nicht aufgeführten sind ∅\emptyset):
  s→3: (∅)∗b∣(∅)∗a (a(∅)∗a)∗a(∅)∗b(\emptyset)^* b \mid (\emptyset)^* a \,(a (\emptyset)^* a)^* a (\emptyset)^* b  
  s→f: (∅∣(∅)∗∅)∣((∅)∗a (a(∅)∗a)∗(∅∣a(∅)∗∅))(\emptyset \mid (\emptyset)^* \emptyset) \mid \big((\emptyset)^* a \,(a (\emptyset)^* a)^* (\emptyset \mid a (\emptyset)^* \emptyset)\big)  
  3→3: (a∣∅(∅)∗b)∣((b∣∅(∅)∗a) (a(∅)∗a)∗a(∅)∗b)(a \mid \emptyset (\emptyset)^* b) \mid \big((b \mid \emptyset (\emptyset)^* a)\,(a (\emptyset)^* a)^* a (\emptyset)^* b\big)  
  3→f: (ε∣∅(∅)∗∅)∣((b∣∅(∅)∗a) (a(∅)∗a)∗(∅∣a(∅)∗∅))(\varepsilon \mid \emptyset (\emptyset)^* \emptyset) \mid \big((b \mid \emptyset (\emptyset)^* a)\,(a (\emptyset)^* a)^* (\emptyset \mid a (\emptyset)^* \emptyset)\big)

Eliminiere Zustand 3 (End-GNFA mit nur s,f):
- Zustände: s, f
- Start: s; Final: f
- Kantenbeschriftung:
  s→f:
  Big((∅∣(∅)∗∅)∣((∅)∗a (a(∅)∗a)∗(∅∣a(∅)∗∅))Big) ∣\Big((\emptyset \mid (\emptyset)^* \emptyset) \mid \big((\emptyset)^* a \,(a (\emptyset)^* a)^* (\emptyset \mid a (\emptyset)^* \emptyset)\big)\Big)\ \mid
  Big( ((∅)∗b∣(∅)∗a (a(∅)∗a)∗a(∅)∗b) ((a∣∅(∅)∗b)∣((b∣∅(∅)∗a) (a(∅)∗a)∗a(∅)∗b))∗ ((ε∣∅(∅)∗∅)∣((b∣∅(∅)∗a) (a(∅)∗a)∗(∅∣a(∅)∗∅))) Big)\Big(\ \big((\emptyset)^* b \mid (\emptyset)^* a \,(a (\emptyset)^* a)^* a (\emptyset)^* b\big)\ \big( (a \mid \emptyset (\emptyset)^* b) \mid \big((b \mid \emptyset (\emptyset)^* a)\,(a (\emptyset)^* a)^* a (\emptyset)^* b\big) \big)^*\ \big((\varepsilon \mid \emptyset (\emptyset)^* \emptyset) \mid \big((b \mid \emptyset (\emptyset)^* a)\,(a (\emptyset)^* a)^* (\emptyset \mid a (\emptyset)^* \emptyset)\big)\big)\ \Big)

Regulärer Ausdruck: r=Big((∅∣(∅)∗∅)∣((∅)∗a (a(∅)∗a)∗(∅∣a(∅)∗∅))Big) ∣ Big( ((∅)∗b∣(∅)∗a (a(∅)∗a)∗a(∅)∗b) ((a∣∅(∅)∗b)∣((b∣∅(∅)∗a) (a(∅)∗a)∗a(∅)∗b))∗ ((ε∣∅(∅)∗∅)∣((b∣∅(∅)∗a) (a(∅)∗a)∗(∅∣a(∅)∗∅))) Big)r = \Big((\emptyset \mid (\emptyset)^* \emptyset) \mid \big((\emptyset)^* a \,(a (\emptyset)^* a)^* (\emptyset \mid a (\emptyset)^* \emptyset)\big)\Big)\ \mid\ \Big(\ \big((\emptyset)^* b \mid (\emptyset)^* a \,(a (\emptyset)^* a)^* a (\emptyset)^* b\big)\ \big( (a \mid \emptyset (\emptyset)^* b) \mid \big((b \mid \emptyset (\emptyset)^* a)\,(a (\emptyset)^* a)^* a (\emptyset)^* b\big) \big)^*\ \big((\varepsilon \mid \emptyset (\emptyset)^* \emptyset) \mid \big((b \mid \emptyset (\emptyset)^* a)\,(a (\emptyset)^* a)^* (\emptyset \mid a (\emptyset)^* \emptyset)\big)\big)\ \Big)






Subproblem b (3.0/3.0P) 






Geben Sie eine rechtslineare Grammatik für L(N)L(N) mit höchstens 3 Nichtterminalen an.

Hinweis: In rechtslinearen Grammatiken sind keine ε\varepsilon-Produktionen außer S→εS \to \varepsilon erlaubt.



S -> aA | b | bB
A -> aS
B -> a | aB | bA








Exercise 5: Kontextfreie Sprachen


Gegeben sind folgende drei Sprachen über dem Alphabet Σ:={a,b}\Sigma := \{a,b\}:
L1:={aibjak:(i=j∨j=k)∧i,j,k≥0}L_1 := \{a^ib^ja^k : (i = j\vee j = k)\wedge i,j,k\geq 0\}
L2:={anw:w∈Σ∗∧∣w∣≥n∧n>0}L_2 := \{a^nw : w\in \Sigma^* \wedge |w|\geq n\wedge n>0\}
L3:={aibjak:j>i+k∧i,j,k≥0}L_3 := \{a^ib^ja^k : j>i + k\wedge i,j,k\geq 0\}





Subproblem a (6.0/6.0P) 






Geben Sie kontextfreie Grammatiken für L1,L2,L3L_1,L_2,L_3 mit jeweils höchstens 5 Nichtterminalen und 10 Produktionen an.

Hinweis: Sie dürfen ε\varepsilon-Produktionen verwenden.



Grammatik für L1L_1:
S -> X A | A Y
X -> a X b | ε
Y -> b Y a | ε
A -> a A | ε

Grammatik für L2L_2:
S -> a S C | a C R
C -> a | b
R -> a R | b R | ε

Grammatik für L3L_3:
S -> T R
T -> a T E | ε
E -> b E | b
R -> b R | b R a | b






Subproblem b (4.0/4.0P) 






Genau eine der drei Sprachen ist sogar regulär. Entscheiden Sie welche und geben Sie einen regulären Ausdruck an, der die gleiche Sprache beschreibt.




☐L1L_1☒L2L_2☐L3L_3



a(a|b)(a|b)*






Subproblem c (3.0/3.0P) 






Untenstehend finden Sie einen PDA MM, der mit leerem Keller akzeptiert und das initiale Kellerzeichen ZZ verwendet. Bestimmen Sie für jede Sprache Li∈{L1,L2,L3}L_i\in\{L_1,L_2,L_3\} jeweils, ob Lϵ(M)=LiL_\epsilon(M)=L_i gilt. Falls nein, geben Sie ein Wort ww mit Länge höchstens 2 an, sodass ww in genau einer der Sprachen Lϵ(M)L_\epsilon(M) und LiL_i ist.

Hinweis: Es gilt Lϵ(M)=LiL_\epsilon(M)=L_i für genau ein i∈{1,2,3}i\in\{1,2,3\}.
Die Transition „q,a,X→p,YZq, a, X \rightarrow p, YZ“ eines PDAs bedeutet, das der PDA in Zustand qq ist, Zeichen aa liest, und das oberste Stacksymbol XX hat. Anschließend geht der PDA in Zustand pp, nimmt XX vom Stack, und legt YZYZ auf den Stack (YY ist oben). Eine Transition mit a=εa=\varepsilon ist erlaubt, in dem Fall wird kein Zeichen eingelesen.
PDA M:
Zustände: q0, q1, q2, q3
Startzustand: q0
Initialzeichen: Z
Transitionen:
    q0, a, A -> q0, AA
    q0, a, Z -> q0, AZ
    q0, ε, A -> q1, A
    q0, ε, Z -> q1, Z
    q1, b, A -> q1, ε
    q1, b, Z -> q2, B
    q2, b, B -> q2, BB
    q2, ε, B -> q3, ε
    q3, a, B -> q3, ε
    q3, ε, B -> q3, ε




☐L1=Lϵ(M)L_1=L_\epsilon(M)☒L1≠Lϵ(M)L_1\neq L_\epsilon(M)☐L2=Lϵ(M)L_2=L_\epsilon(M)☒L2≠Lϵ(M)L_2\neq L_\epsilon(M)☒L3=Lϵ(M)L_3=L_\epsilon(M)☐L3≠Lϵ(M)L_3\neq L_\epsilon(M)



Wort, falls Li≠Lϵ(M)L_i\neq L_\epsilon(M), sonst „-“.
L1L_1: ε
L2L_2: b
L3L_3: -








Exercise 6: Quiz: Berechenbarkeit und Komplexität


Teilaufgaben (a-e): Für diese Fragen ist eine Begründung nicht gefordert. Sie erhalten die Punkte auf eine Teilaufgabe genau dann, wenn Sie alle Antwortmöglichkeiten korrekt angekreuzt haben.
Es ist immer mindestens eine Antwortmöglichkeit richtig.

In dieser Aufgabe verwenden wir durchgehend das Alphabet Σ:={0,1}\Sigma:=\{0,1\}.





Subproblem a (2.0/2.0P) 






Welche der folgenden Sprachen sind entscheidbar?




☐{w∈Σ∗:φw ist total}\{w\in\Sigma^* :\varphi_w \text{ ist total}\}☐{w∈Σ∗:φw(0)=0}\{w\in\Sigma^* :\varphi_w(0) = 0\}☒{w∈Σ∗:φw ist berechenbar}\{w \in \Sigma^* :\varphi_w \text{ ist berechenbar}\}







Subproblem b (2.0/2.0P) 





Sei LL eine beliebige unentscheidbare Sprache und a∈Σa\in\Sigma. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

Hinweis: LaL^a ist die Residualsprache bezüglich aa von LL.




☒L‾\overline L ist unentscheidbar☐LaL^a ist unentscheidbar☐Es gibt keine TM MM mit L(M)=LL(M) = L







Subproblem c (2.0/2.0P) 






Sei MM eine beliebige deterministische Turingmaschine, sodass es eine Eingabe w∈Σ∗w \in \Sigma^* gibt, auf der MM unendlich viele Schritte macht. Welche Aussagen sind wahr?




☒w∉L(M)w \notin L(M)☐L(M)L(M) ist unentscheidbar☒L(M)L(M) ist semi-entscheidbar







Subproblem d (2.0/2.0P) 






Welche Aussagen sind wahr?




☒Jede reguläre Sprache ist in NP\text{NP}.☒Jede kontextfreie Sprache ist in P\text{P}.☒Sei L∈PL \in \text{P}. Dann gilt L‾∈NP\overline L \in \text{NP}.







Subproblem e (2.0/2.0P) 





Angenommen, P≠NP\text{P} \neq \text{NP}. Seien A,B⊆Σ∗A,B\subseteq\Sigma^* beliebige Sprachen, sodass A∈NPA \in \text{NP} und BB NP\text{NP}-vollständig ist. Welche Aussagen sind wahr?




☐A⊆BA \subseteq B☐B⊆AB \subseteq A☒A≤pBA \leq_p B☐B≤pAB \leq_p A







Subproblem f (4.0/4.0P) 






Seien A,B⊆Σ∗A,B\subseteq\Sigma^* beliebige Sprachen, sodass AA unentscheidbar ist. Zeigen oder widerlegen Sie: Mindestens eine der Sprachen A∪BA \cup B und A∪B‾A \cup \overline B ist unentscheidbar.




☒Wahr☐Falsch



Beweis: Angenommen, sowohl A∪BA \cup B als auch A∪B‾A \cup \overline{B} seien entscheidbar. Dann ist auch ihr Durchschnitt entscheidbar. Es gilt
(A∪B)∩(A∪B‾)  =  A∪(B∩B‾)  =  A.
(A \cup B) \cap (A \cup \overline{B}) \;=\; A \cup (B \cap \overline{B}) \;=\; A.

Damit wäre AA entscheidbar — Widerspruch zur Voraussetzung. Also können nicht beide Vereinigungen entscheidbar sein; mindestens eine von ihnen ist unentscheidbar.








Exercise 7: Reduktion


Zeigen Sie für jedes der folgenden Probleme AA entweder, dass es in P\mathsf{P} liegt, oder, dass es NP\mathsf{NP}-hart ist.
Geben Sie hierfür jeweils eine geeignete polynomielle Reduktion an und begründen Sie deren Korrektheit.

Reduktionsfunktionen müssen präzise definiert sein und Sie müssen klar angeben, welche Probleme Sie reduzieren. Die Korrektheit der Reduktion müssen Sie aber nur skizzieren und nicht formal beweisen.

Achtung: Auch um zu zeigen, dass das Problem in P\mathsf{P} liegt, ist eine Reduktion anzugeben!

Hinweis: Um zu zeigen, dass ein Problem AA in P\mathsf{P} liegt, geben Sie eine Reduktion A≤pBA\le_p B für ein B∈PB\in\mathsf{P} an, reduzieren Sie also AA auf ein Problem BB, von dem wir wissen, dass es in P\mathsf{P} liegt, z.B. 2COL\mathsf{2COL} oder 2KNF-SAT\mathsf{2KNF\text{-}SAT}.

Um zu zeigen, dass ein Problem AA NP\mathsf{NP}-hart ist, geben Sie eine Reduktion B≤pAB\le_p A an, wobei BB ein bekanntes NP-hartes Problem ist, etwa 3COL\mathsf{3COL}, SAT\mathsf{SAT}, oder CLIQUE\mathsf{CLIQUE}.





Subproblem a (6.0/6.0P) 






Gegeben: Drei KNF-Formeln F1,F2,F3F_1, F_2, F_3 mit Variablen aus VV.

Problem AA: Gibt es eine Belegung σ:V→{0,1}\sigma:V\rightarrow\{0,1\}, die genau zwei der drei Formeln erfüllt?




☐A∈PA\in\mathsf{P}☒AA ist NP\mathsf{NP}-hart



Reduktion: SAT ≤p A
Begründung:
Gegeben eine KNF-Formel φ über Variablenmenge V. Definiere eine Abbildung f, die φ auf ein Triple (F1,F2,F3) abbildet:
- F1 := φ.
- Falls V ≠ ∅, wähle ein beliebiges x ∈ V und setze F2 := (x ∨ ¬x) (eine tautologische Klausel), F3 := (x) ∧ (¬x) (zwei widersprüchliche Einheitsklauseln).
- Falls V = ∅, setze F2 := ⊤ (leere Konjunktion) und F3 := ⊥ (leere Klausel).
Alle drei Formeln sind KNF-Formeln über Variablen aus V, und f ist in polynomieller Zeit berechenbar.

Korrektheitsskizze: Für jede Belegung σ gilt stets σ ⊨ F2 und σ ⊭ F3. Damit sind genau zwei der drei Formeln F1,F2,F3 unter σ erfüllt genau dann, wenn σ ⊨ F1. Also ist φ erfüllbar genau dann, wenn f(φ) eine Belegung hat, die genau zwei der drei Formeln erfüllt. Damit zeigt f die Reduktion SAT ≤p A und A ist NP-hart.






Subproblem b (8.0/8.0P) 






Gegeben: Eine 2KNF-Formel FF mit Variablenmenge V={x1,...,xn}V=\{x_1, ..., x_n\}, eine Menge {1,...,l}\{1, ..., l\} von Farben (mit l>0l>0) und eine Funktion g:V→{1,...,l}g: V \to \{1 ,...,l\}, die jeder Variable eine Farbe zuordnet.

Problem AA: Gibt es eine erfüllende Belegung σ\sigma, sodass alle Variablen, die von σ\sigma zu Wahr gesetzt werden, unterschiedliche Farben haben? Formal: gibt es eine erfüllende Belegung σ:V→{0,1}\sigma:V\rightarrow\{0,1\} mit g(xi)≠g(xj)g(x_i) \neq g(x_j) für alle i<j≤ni<j \leq n mit σ(xi)=1=σ(xj)\sigma(x_i)=1= \sigma(x_j)?




☒A∈PA\in\mathsf{P}☐AA ist NP\mathsf{NP}-hart



Reduktion: A ≤p 2KNF-SAT
Begründung:
Gegeben eine Instanz (F, V, l, g). Konstruiere eine 2KNF-Formel F' über denselben Variablen durch
F' := F ∧ ⋀_{c=1}^l ⋀_{i<j, g(x_i)=g(x_j)=c} (¬x_i ∨ ¬x_j).
Diese Zusatzklauseln erzwingen, dass nicht zwei Variablen derselben Farbe zugleich wahr sein können. Die Anzahl der hinzugefügten Klauseln ist höchstens O(n^2), die Konstruktion ist polynomiell, und F' ist eine 2KNF-Formel.

Korrektheit:
- Wenn es eine erfüllende Belegung σ von F gibt, in der alle wahren Variablen paarweise verschiedene Farben haben, dann verletzt σ keine Klausel (¬x_i ∨ ¬x_j) für gleichfarbige Paare; also erfüllt σ auch F'.
- Umgekehrt garantiert jede erfüllende Belegung σ von F' die Erfüllung aller (¬x_i ∨ ¬x_j) für gleichfarbige Paare, also ist pro Farbe höchstens eine Variable wahr. Damit haben alle wahren Variablen unterschiedliche Farben und σ erfüllt F.

Also ist (F, g, l) ein Ja-Fall von A genau dann, wenn F' erfüllbar ist. Da 2KNF-SAT ∈ P, folgt A ∈ P.








Exercise 8: Bonus


Die Punkte dieser Aufgabe sind Bonuspunkte, d.h. sie zählen wie normale Punkte, werden bei der Berechnung des Notenschemas jedoch außer Acht gelassen.

Mindestens eine Antwortmöglichkeit ist immer richtig.





Subproblem a (2.0/2.0P) 






Sei Σ:={a,b}\Sigma := \{a,b\}. Für welche der folgenden Sprachen LiL_i, wobei i∈{1,2,3}i\in\{1,2,3\}, gilt, dass (Li)∗(L_i)^* nicht regulär ist? (Es können mehrere sein.) Wählen Sie ein solches ii und begründen Sie kurz, dass (Li)∗(L_i)^* nicht regulär ist.




☐L1:={(ab)n:n∈N}L_1 := \{(ab)^n:n\in\mathbb{N}\}☒L2:={anbn:n∈N}L_2 := \{a^nb^n:n\in\mathbb{N}\}☐L3:={anbm:n,m∈N∧n≠m}L_3 := \{a^nb^m:n,m\in\mathbb{N}\wedge n\ne m\}



Begründung für i=2i=2:
Betrachte R:=a∗b∗R := a^*b^* regulär. Dann gilt
(L2)∗∩R={(an1bn1)⋯(ankbnk):k≥0}∩a∗b∗={anbn:n∈N}=L2(L_2)^* \cap R = \{(a^{n_1}b^{n_1})\cdots(a^{n_k}b^{n_k}) : k\ge 0\} \cap a^*b^* = \{a^n b^n : n\in\mathbb{N}\} = L_2,
denn jede Konkatenation von mindestens zwei Blöcken erzeugt ein Vorkommen von „ba“ und liegt somit nicht in a∗b∗a^*b^*. Wäre (L2)∗(L_2)^* regulär, so wäre wegen Abschluss unter Schnitt auch L2L_2 regulär — Widerspruch. Also ist (L2)∗(L_2)^* nicht regulär.






Subproblem b (1.0/1.0P) 






Gibt es eine kontextfreie Grammatik GG in Chomsky-Normalform mit höchstens 66 Produktionen und L(G)={a12,a9}L(G)=\{a^{12},a^9\}? Falls ja, geben Sie eine solche Grammatik an, falls nein, begründen Sie dies kurz.




☒Ja, Grammatik:☐Nein, Begründung:



S -> C D
S -> D D
D -> C C
C -> A B
B -> A A
A -> a






Subproblem c (2.0/2.0P) 






Sei L⊆{0,1}∗L\subseteq\{0,1\}^* eine beliebige kontextfreie und nicht reguläre Sprache. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? (Es können mehrere sein.) Wählen Sie eine solche Aussage und begründen Sie kurz, wieso diese Aussage wahr ist.




☒Es gibt eine unentscheidbare Sprache L′⊆LL'\subseteq L.☐Jede Sprache L′⊆LL'\subseteq L ist entscheidbar.



Begründung für Aussage 1:
Da LL kontextfrei, nicht regulär und damit unendlich ist, hat die Potenzmenge P(L)\mathcal{P}(L) überabzählbar viele Elemente, während es nur abzählbar viele Turingmaschinen (und damit entscheidbare Sprachen) gibt. Also gibt es (sogar überabzählbar viele) unentscheidbare Teilmengen L′⊆LL'\subseteq L.